3 Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

Παραδείγματα καμπυλόγραμμων (μη καρτεσιανών) συντεταγμένων Σφαιρικές συντεταγμένες Μαθηματικά Γεωδαισία

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων Καρτεσιανή βάση (στο Ο) Διάνυσμα θέσης Τοπική βάση (στο P) ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς λ ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς φ ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς r

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων Καρτεσιανή βάση (στο Ο) Τοπική βάση (στο P)

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων Τοπική βάση (στο P)

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων Η τοπική βάση είναι ορθογώνια !

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων Η τοπική βάση είναι ορθογώνια αλλά δεν είναι κανονική ! Μη ορθοκανονική τοπική βάση !

Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων Οι στήλες του Ιακωβιανού πίνακα J είναι οι καρτεσιανές συνιστώσες των διανυσμάτων της τοπικής βάσης Ιακωβιανός πίνακας J = πίνακας μετατροπής από την καρτεσιανή στην τοπική βάση

Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων

Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων

Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων συνιστώσες του διανύσματος ως προς την καρτεσιανή βάση συνιστώσες του διανύσματος ως προς την καρτεσιανή βάση συνιστώσες του διανύσματος ως προς την καρτεσιανή βάση

Ο μετρικός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων Σχέση μετρικού και Ιακωβιανού πίνακα όπως ήδη έχει υπολογιστεί από τα εσωτερικά γινόμενα

Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Τοπική βάση συνδεδεμένη με τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες q1, q2, q3, στον Ευκλείδειο χώρο: ορίζονται μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένων x1, x2, x3, από σχέσεις της μορφής: ή (κυρίως)

Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Τοπική βάση συνδεδεμένη με τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες καμπύλη κάθε συντεταγμένης : από τη μεταβολή της συντεταγμένης διατηρώντας τις άλλες δύο σταθερές = καρτεσιανή βάση του συστήματος αναφοράς q1, q2 = σταθ. = διάνυσμα θέσης = τοπική βάση του καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων: q1, q3 = σταθ. q2, q3 = σταθ.

Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες καμπύλη του λ = παράλληλος κύκλος

Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες καμπύλη του φ = μεσημβρινός κύκλος

Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες καμπύλη του r = ακτινική ευθεία

φ =σταθερό Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες επιφάνεια του φ φ =σταθερό

λ =σταθερό Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες επιφάνεια του λ λ =σταθερό = μεσημβρινό επίπεδο

r = σταθερό Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες επιφάνεια του r r = σταθερό = επιφάνεια κύκλου

Σχέση τοπικής βάσης με την βάση του συστήματος αναφοράς Πίνακας μετατροπής από την καρτεσιανή βάση στην τοπική βάση J = Ιακωβιανός πίνακας

Σχέση συνιστωσών στην τοπική βάση με τις καρτεσιανές συνιστώσες τυχόν διάνυσμα v0 = καρτεσιανές συνιστώσες v = συνιστώσες στην τοπική βάση αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης: μετατροπή από τη καρτεσιανή στην τοπική βάση μετατροπή από τις καρτεσιανές στις τοπικές συντεταγμένες

Εφαπτόμενο διάνυσμα σε καμπύλη = συνάρτηση περιγραφής καμπύλης = ελεύθερα μεταβαλλόμενη παραμέτρος = διάνυσμα θέσης σημείου P στην καμπύλη εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης σε κάθε σημείο

Τοπική βάση = Εφαπτόμενα διάνυσμα στις καμπύλες των συντεταγμένων καμπύλη q3 q1, q2 = σταθερά καμπύλη q2 q3, q1 = σταθερά καμπύλη q1 q2, q3 = σταθερά

Μήκος τμήματος καμπύλης Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Ερμηνεία: t = χρόνος, v = ταχύτητα Συνήθης απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : αντί για Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο

Μήκος τμήματος καμπύλης – καρτεσιανές συντεταγμένες Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Συνήθης απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο

Μήκος τμήματος καμπύλης – καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο

Μήκος τμήματος καμπύλης – καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Μήκος τμήματος καμπύλης: Μετρικός πίνακας «Μετρά» τα μήκη καμπυλών

Μετρικός πίνακας Μετρικός πίνακας Μήκος διανύσματος της τοπικής βάσης :

Προσδιορισμός του μετρικού πίνακα από τις σχέσεις ορισμού των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων x = x(q)

Ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες = = κάθετα τοπικά διανύσματα βάσης σε κάθε σημείο (για i  k) Μετρικός πίνακας G = διαγώνιος τετραγωνική ρίζα:

σε πίνακα στροφής και πίνακα μεταβολής των μηκών των διανυσμάτων βάσης Ανάλυση του πίνακα μετασχηματισμού ορθογωνίων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων σε πίνακα στροφής και πίνακα μεταβολής των μηκών των διανυσμάτων βάσης ορθοκανονική καρτεσιανή βάση ορθογώνια τοπική βάση ενδιάμεση τοπική βάση (ορθοκανονική) πίνακας στροφής (ορθογώνιος)

Ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σχέση μεταξύ συνιστωσών διανύσματος πρώτα στροφή (R ή RΤ) μετά αλλαγή μηκών (G-1/2 ή G1/2) πρώτα αλλαγή μηκών (G1/2 ή G-1/2) μετά στροφή (RΤ ή R) Υπολογισμός πίνακα στροφής R

υπολογισμός όταν είναι γνωστός ο από την παραγώγιση των σχέσεων υπολογισμός όταν είναι γνωστός ο από την παραγώγιση των σχέσεων Όμως ο πίνακας στροφής μπορεί να υπολογιστεί και απευθείας με βάση τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του συστήματος συντεταγμένων

Σφαιρικές συντεταγμένες (ορθογώνιες)

Σφαιρικές συντεταγμένες (ορθογώνιες)

Σφαιρικές συντεταγμένες (ορθογώνιες)

Σφαιρικές συντεταγμένες Eπαλήθευση της σχέσης για

Σφαιρικές συντεταγμένες Αντίστροφη σχέση

Σφαιρικές συντεταγμένες Σχέση καρτεσιανών συντεταγμένων και σφαιρικών

Κυλινδρικές συντεταγμένες καμπύλη z καμπύλη λ καμπύλη ρ

Κυλινδρικές συντεταγμένες επιφάνεια λ = σταθερό

Κυλινδρικές συντεταγμένες επιφάνεια z = σταθερό

Κυλινδρικές συντεταγμένες επιφάνεια ρ = σταθερό

Κυλινδρικές συντεταγμένες

Κυλινδρικές συντεταγμένες Ιακωβιανός πίνακας

Κυλινδρικές συντεταγμένες Ιακωβιανός πίνακας Αντίστροφος Ιακωβιανός πίνακας

Κυλινδρικές συντεταγμένες Μετρικός πίνακας Πίνακας στροφής

Γεωδαιτικές συντεταγμένες καμπύλη h λ = γεωδαιτικό μήκος = σφαιρικό μήκος καμπύλη λ καμπύλη   = γεωδαιτικό πλάτος  σφαιρικό πλάτος φ h = γεωδαιτικό ύψος (κατά μηκος της καθέτου στο ΕΠ ΕΠ = Ελλειψοειδές Αναφοράς

Γεωδαιτικές συντεταγμένες Μεσημβρινή έλλειψη

Γεωδαιτικές συντεταγμένες

Γεωδαιτικές συντεταγμένες γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος  και γεωδαιτικό ύψος h σχετίζονται με ένα πεπλατυσμένο ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ελλειψοειδές αναφοράς) Παράμετροι σχήματος ελλειψοειδούς: a, b ή a, e a, b = ημιάξονες της γενεσιουργού έλλειψης (περιστροφή γύρω από τον b), e = εκκεντρότητα Σχέση γεωδαιτικών και καρτεσιανών συντεταγμένων : Ν = ακτίνα καμπυλότητας της κάθετης στο μεσημβρινό επίπεδο τομής στο P0 (κάθετη προβολή του P στο ελλειψοειδές) Μ = ακτίνα καμπυλότητας της μεσημβρινής έλλειψης

Βοηθητικές σχέσεις για τον υπολογισμό του Ιακωβιανού πίνακα ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Ο Ιακωβιανός πίνακας των γεωδαιτικών συντεταγμένων 1η στήλη Ιακωβιανού 2η στήλη Ιακωβιανού 3η στήλη Ιακωβιανού

Ο Ιακωβιανός πίνακας των γεωδαιτικών συντεταγμένων ορθογώνιες συντεταγμένες ! Μετρικός πίνακας: Πίνακας στροφής: Πίνακας μεταβολής μηκών: Ιακωβιανός πίνακας: Αντίστροφος Ιακωβιανός :

Υπολογισμός του μετρικού πίνακα G

Υπολογισμός του μετρικού πίνακα G Ορθογώνιες συντεταγμένες !

Υπολογισμός του μετρικού πίνακα G

x0 = καρτεσιανές συντεταγμένες της προβολής P0 του σημείου P Διαχωρισμός του διανύσματος των καρτεσιανών συντεταγμένων x0 = καρτεσιανές συντεταγμένες της προβολής P0 του σημείου P πάνω στο ελλειψοειδές αναφοράς m = μοναδιάιο διάνυσμα κάθετο στο ελλειψοειδές αναφοράς στο σημείο P0 P P0 m x0

Ελλειψοειδείς συντεταγμένες Μεσημβρινή τομή: ομοεστιακές ελείψεις (με τις ίδιες εστίες F και F) Oρισμός έλειψης: σημεία P με |FP|+|FP| = σταθερό Για P στο μεγάλο ημιάξονα |FP|+|FP| = (v-E)+(v+E) = 2v =σταθερό Για P στο μικρό ημιάξονα |FP|+|FP| = 2(Ε2+u2)1/2 = σταθερό = 2v Για τη βασική έλειψη (ελειψοειδές αναφοράς  γη:

Ελλειψοειδείς συντεταγμένες Ορίζονται με τη βοήθεια μιας οικογένειας «ομοεστιακών» ελλειψοειδών εκ περιστροφής Μεσημβρινές τομές των ελλειψοειδών = ελλείψεις με τις ίδιες εστίες με την μεσημβρινή τομή του ελλειψοειδούς αναφοράς. q1 = λ : ταυτίζεται με το σφαιρικό μήκος q2 = β : ελλειψοειδές πλάτος: ορίζεται μέσω του περιγεγραμμένου στη μεσημβρινή έλλειψη κύκλου (σχήμα) q3 = u : μικρός ημιάξονας του ελλειψοειδούς που διέρχεται από το σημείο Σχέση μεταξύ καρτεσιανών και ελλειψοειδών συντεταγμένων = γραμμική εκκεντρότητα

Πίνακας μεταβολής μηκών: Ιακωβιανός πίνακας Μετρικός πίνακας Πίνακας στροφής: Πίνακας μεταβολής μηκών: βοηθητικές παράμετροι: βοηθητική γωνία

Ολοκληρώματα ως προς καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Oλοκλήρωση συνάρτησης f(x1,x2,x3) σε τμήμα Ω του ευκλείδειου χώρου (καρτεσιανές συντεταγμένες) Ο χώρος χωρίζεται σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ακμές δx1, δx2, δx3 Κάθε παραλληλεπίπεδο Π(x1, x2, x3) έχει τη μία κορυφή στο σημείο με συντεταγμένες (x1, x2, x3) και όγκο Για τα παραλληλεπίπεδα που περιλαμβάνονται στο τμήμα Ω σχηματίζεται το άθροισμα Επιλέγοντας συνεχώς μικρότερα παραλληλεπίπεδα, καθώς δx1, δx2, δx30 προκύπτει ως όριο το ολοκλήρωμα

Έκφραση του δV(x1, x2, x3) μέσω των διανυσμάτων των ακμών του παραλληλεπιπέδου = τοπική βάση στο σημείο (x1, x2, x3) (από την παράλληλη μετάθεση της βάσης του συστήματος αναφοράς) Όγκος = μικτό διανυσματικό γινόμενο: επειδή:

Oλοκλήρωση συνάρτησης f(q1,q2,q3) σε τμήμα Ω του ευκλείδειου χώρου (καμπυλόγραμμες συντεταγμένες) Aυξήσεις κατά δq1,δq2,δq3: ορθογώνια παραλληλεπίπεδα στον χώρο των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων q1,q2,q3 Στον ευκλείδειο χώρο: μετακινήσεις κατά μήκος των καμπύλων των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Mικρές αυξήσεις: τμήματα των καμπυλών  ευθύγραμμα τμήματα   πλάγιο παραλληλεπίπεδο με ακμές τα διανύσματα

ek = καρτεσιανές συνιστώσες = τοπική βάση στο σημείο (q1, q2, q3) ek = καρτεσιανές συνιστώσες διανύσματος βάσης Όγκος πλάγιου παραλληλεπιπέδου που αντιστοιχεί στις αυξήσεις δq1, δq2, δq3 :

Σχηματίζεται το άθροισμα Καθώς δq1, δq2, δq3  0 προκύπτει ως όριο το ολοκλήρωμα Γράφουμε συμβολικά για το «στοιχείο όγκου»: = Ιακωβιανή ορίζουσα

Eιδική περίπτωση: ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σφαιρικές συντεταγμένες: Γεωδαιτικές συντεταγμένες: Ελλειψοειδείς συντεταγμένες:

Π.χ. q3 = σταθερή, q1, q2 = επιφανειακές συντεταγμένες. Επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια που προκύπτει διατηρώντας μία συντεταγμένη σταθερή Π.χ. q3 = σταθερή, q1, q2 = επιφανειακές συντεταγμένες. Διαχωρισμός σε τμήματα που αντιστοιχούν σε βήματα δq1, δq2 Στοιχειώδες παραλληλόγραμμο σε κάθε σημείο q1, q2 , q3 : σχηματίζεται από τα διανύσματα και έχει επιφάνεια Στοιχείο επιφάνειας:

Ειδική περίπτωση ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

Σφαιρικές συντεταγμένες (r = σταθ.): Γεωδαιτικές συντεταγμένες (h = σταθ.): Ελλειψοειδές αναφοράς (h = 0): Ελλειψοειδείς συντεταγμένες (u = σταθ.): Ελλειψοειδές αναφοράς (u = b):

u, v = καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με εφαπτόμενα διανύσματα Επιφανειακό ολοκλήρωμα για οποιαδήποτε επιφάνεια u, v = καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με εφαπτόμενα διανύσματα Στοιχείο επιφάνειας Συντελεστής στοιχείου επιφάνειας

Παράδειγμα: μοντέλο αναγλύφου z = h(x,y) Στοιχείο επιφάνειας