x ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ t x x ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΧΑΟΣ t t

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Αυτόνομα και μη αυτόνομα συστήματα

. Ολοκληρωτικές καμπύλες και τροχιές x2 χώρος φάσεων ολοκληρωτική καμπύλη τροχιά x1 t Σημεία ισορροπίας ή ιδιόμορφα σημεία ή μόνιμες καταστάσεις

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σημείο ισορροπίας: x = 0 Λύση: x(t) = eAt x0 λi: ιδιοτιμές του A vi: ιδιοδιανύσματα του A wi: ιδιοδιανύσματα του AT

Ιδιοτιμές του A: Ιδιοδιανύσματα του A: Ευστάθεια της μόνιμης κατάστασης όταν όλες οι ιδιοτιμές έχουν Re(li) < 0

Διδιάστατο γραμμικό σύστημα Ανάλυση επιπέδου φάσεων Ιδιοτιμές πραγματικές, λ1, λ2 < 0 Ευσταθής κόμβος

Ιδιοτιμές πραγματικές, λ1, λ2 > 0 Ασταθής κόμβος Ιδιοτιμές πραγματικές, λ1 > 0 > λ2 Σαγματικό σημείο

Ιδιοτιμές μιγαδικές, Re(λi) < 0 Ευσταθής εστία Ιδιοτιμές μιγαδικές, Re(λi) > 0 Ασταθής εστία

Ιδιοτιμές καθαρά φανταστικές, Re(λi) = 0 Κέντρο (οριακή ευστάθεια)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Aνάπτυγμα Taylor γύρω από xs:

Ιακωβιανός πίνακας Θεώρημα Lyapunov Αν ο Ιακωβιανός πίνακας: (α) Δεν έχει μηδενικές ιδιοτιμές: detJ(xs) ≠ 0 (β) Δεν έχει καθαρά φανταστικές ιδιοτιμές τότε το σημείο ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος είναι γεωμετρικά όμοιο με εκείνο της γραμμικής προσέγγισης, δηλαδή ο χαρακτήρας του προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του Ιακωβιανού πίνακα.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΧΗΜΟΣΤΑΤΗ Μοντέλο Monod Μόνιμες καταστάσεις 1. Έκπλυση: 2. Κανονική μόνιμη κατάσταση: Για να έχει φυσικό νόημα μια μόνιμη κατάσταση πρέπει: xs  0, 0  ss  sF Για την κανονική μόνιμη κατάσταση:

Ανάλυση ευστάθειας μόνιμων καταστάσεων (Koga & Humphrey, 1967) Ιακωβιανός πίνακας Μόνιμη κατάσταση έκπλυσης Ιδιοτιμές: Ευσταθής όταν:

Κανονική μόνιμη κατάσταση Ιδιοτιμές: Ευσταθής όταν έχει φυσικό νόημα (xs > 0)

Χαρακτήρας μόνιμων καταστάσεων Έκπλυση Ευσταθής κόμβος Σαγματικό σημείο (ασταθής) Κανονική μόνιμη κατάσταση χωρίς φυσικό νόημα

Διάγραμμα λειτουργίας Έκπλυση Κανονική μόνιμη κατάσταση

Koga & Humphrey (1967)

Μοντέλο Andrews (Yano & Koga, 1969) s

Μόνιμες καταστάσεις 1. Έκπλυση: 2. Κανονική μόνιμη κατάσταση: Για να υπάρχει: Για να έχει φυσικό νόημα: s

Διάγραμμα λειτουργίας Ιa: δεν υπάρχουν ss1, ss2 > 0 (καμμία κανονική μόνιμη κατάσταση) Ιb: ss1, ss2 > sF χωρίς φυσικό νόημα (καμμία κανονική μόνιμη κατάσταση) ΙΙ: 0 < ss1 < sF, ss2 > sF χωρίς φυσικό νόημα (μία κανονική μόνιμη κατάσταση) ΙIΙ: 0 < ss1 < sF, 0 < ss2 < sF (δύο κανονικές μόνιμες καταστάσεις)

Ανάλυση ευστάθειας μόνιμων καταστάσεων Ιακωβιανός πίνακας Μόνιμη κατάσταση έκπλυσης Ιδιοτιμές: - D, - D + sF) Ευσταθής όταν: D > (sF)

Κανονική μόνιμη κατάσταση Ιδιοτιμές: Κανονική 1: ευσταθής όταν έχει φυσικό νόημα (xs > 0) Κανονική 2: ασταθής όταν έχει φυσικό νόημα (xs > 0)

Ia Ib II III _ Χαρακτήρας μόνιμων καταστάσεων Έκπλυση Ευσταθής κόμβος Σαγματικό σημείο (ασταθής) Κανονική 1 _ χωρίς φυσικό νόημα Κανονική 2

Περιοχή ΙΙ Περιοχή ΙΙΙ Yano & Koga (1969)

Yano & Koga (1969)