Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος Ιστοσελίδες μαθήματος:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER &ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Βασικές σχέσεις ευθύς μετασχηματισμός Fourier από τον χώρο των αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier από τον χώρο των συχνοτήτων στον χώρο των αριθμών ζεύγος μετασχηματισμού Fourier ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1- Γραμμικότητα ή επαλληλία Εάν είναι: τότε: Απόδειξη:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2- Συμμετρία Εάν είναι: τότε: Απόδειξη: Εξ ορισμού είναι: Αλλάζοντας t με –t: Αλλάζοντας t με ω:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3- Χρονική μετάθεση Εάν είναι:τότε: Απόδειξη: Θέτοντας:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4- Φασματική μετάθεση Εάν είναι:τότε: Απόδειξη:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής και φασματικής μετάθεσης!!!!!! Ο μετασχηματισμός Fourier της εκθετικής συνάρτησης ( exp -at ) (t > 0) και πραγματικό και φανταστικό μέρος

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5- Μεταβολή κλίμακας χρόνου Εάν είναι:τότε: Απόδειξη:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6- Θεώρημα διαμόρφωσης Εάν είναι: τότε: Απόδειξη: Με βάση τη σχέση και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7- Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο Απόδειξη: Εάν είναι:τότε: Λαμβάνουμε υπόψη ότι: Επειδή

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8- Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα Εάν είναι: τότε: Απόδειξη: Με διαφόριση προκύπτει Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9- Θεώρημα ολοκλήρωσης Εάν είναι:και τότε: Απόδειξη: Είναι: και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει: Τελικά είναι:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10- Εξίσωση του Parseval Εάν τότε Απόδειξη: Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική) Είναι: Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αρχίζουμε από τη σχέση:

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [ ,  ] καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier Ευθύς μετασχηματισμός Fourier Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier Ευθύς αντίστροφος Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Βασικές σχέσεις ευθύς μετασχηματισμός Fourier από τον χώρο των αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier από τον χώρο των συχνοτήτων στον χώρο των αριθμών ζεύγος μετασχηματισμού Fourier ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος πραγματικό μέρος φάσματος φανταστικό μέρος φάσματος ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 φάσμα εύρους (amplitude spectrum) φάσμα ενέργειας (energy spectrum) φάσμα φάσης (phase spectrum) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 φάσμα εύρους φάσμα φάσης πολική μορφή: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1) Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα εύρους και το φάσμα φάσης Λύση R(ω) I(ω)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 φάσμα εύρους φάσμα φάσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 με α>0 Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της Λύση (A) Θεώρημα διαμόρφωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 (Β) Αναλυτικός τρόπος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 να βρεθεί ο μετ. Fourier Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 να βρεθεί ο μετ. Fourier της Λύση Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 (α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f 1 (t) (β) Η f 2 (t) είναι το ολοκλήρωμα της f 1 (t). Με βάση το αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f 2 (t) (γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση ολοκλήρωση f 1 (t) t T -T 0 -A/T A/T f 2 (t) t T-T0 A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Λύση (α) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 (β) Τώρα ισχύουν: Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 (γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8) !!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ίδιο με το αποτέλεσμα της (β) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier: Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση) ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Λύση

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (2)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος. Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό. Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση: Λύση Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας όπου τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2) Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/ Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το φάσμα φάσης. ( ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα του μαθήματος )

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική 2014/2015 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2) Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/ Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης g(t)=f(t)*sin(4t) g(t)= f(t)*sin(4t) βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό τρόπο.