3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3.1 Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα της αλγεβρικής της έκφρασης. Η αλγεβρική αναπαράσταση μιας συνάρτησης Boole μπορεί να πάρει πολλές μορφές. Στόχος είναι η παραγωγή απλούστερων μορφών. Οι αλγεβρικοί τρόποι απλοποίησης είναι δύσχρηστοι διότι δεν ακολουθούν συγκεκριμένη μεθοδολογία. Η μέθοδος του χάρτη ή χάρτης Καρνώ είναι μια απλή μέθοδος για την ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων Boole. Ο χάρτης Καρνώ είναι ένα διάγραμμα αποτελούμενο από τετράγωνα όπου κάθε τετράγωνο παριστάνει έναν ελαχιστόρο. Μια συνάρτηση Boole αναγνωρίζεται γραφικά στο χάρτη από την περιοχή που καλύπτουν τα τετράγωνα των ελαχιστόρων που περιέχονται στη συνάρτηση. Μπορούν να δημιουργηθούν εναλλακτικές αλγεβρικές παραστάσεις για την ίδια συνάρτηση. Θεωρούμε απλούστερη αυτήν που έχει τον ελάχιστο αριθμό παραγόντων.

Χάρτης δυο και τριών μεταβλητών Χάρτης δυο μεταβλητών  y 1 x m0 m1 xy xy m2 m3 1 xy xy Τρόπος αναπαράστασης συναρτήσεων Boole στο Χάρτη Καρνώ y y 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 f=xy=m3 f=x+y=xy+xy+xy=m1+m2+m3

Χάρτης τριών μεταβλητών yz 00 01 11 10 x m0 m1 m3 m2 xyz xyz xyz xyz  m4 m5 m7 m6 1 xyz xyz xyz xyz Βασική ιδιότητα: οποιαδήποτε δυο γειτονικά τετράγωνα στο χάρτη διαφέρουν κατά μία μόνο μεταβλητή, η οποία εμφανίζεται ως το συμπλήρωμά της στο ένα τετράγωνο και με την πραγματική της τιμή στο άλλο Το άθροισμα δυο ελαχιστόρων σε γειτονικά τετράγωνα μπορεί να απλοποιηθεί σε έναν όρο AND με δυο μόνο παράγοντες π.χ. m5+m7= xyz +xyz=xz(y+y)=xz

Χάρτης τριών μεταβλητών Π.χ. απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)=Σ(2,3,4,5) Απάντηση: Δημιουργούμε το χάρτη Karnaugh yz 00 01 11 10 x 1 1 1 1 1 Βρίσκουμε και προσθέτουμε τους γειτονικούς ελαχιστόρους xyz + xyz= xy(z+ z)= xy xyz + xyz= xy(z+z)= xy Συνεπώς F= xy+xy

Χάρτης τριών μεταβλητών Π.χ. απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)=Σ(3,4,6,7) yz 00 01 11 10 x 1 F= yz+xz 1 1 1 1 Ο αριθμός των γειτονικών τετραγώνων που μπορούν να συνδυαστούν πρέπει πάντα να αντιπροσωπεύει αριθμό που είναι δύναμη του 2 Καθώς μεγαλώνει ο αριθμός των γειτονικών τετραγώνων που συνδυάζονται παίρνουμε γινόμενα με λιγότερους όρους πχ. m0+m2+m4+m6=xyz+xyz+xyz+xyz= xz(y+y)+ +xz(y+y)= xz+ xz = z(x+ x) = z

Χάρτης τριών μεταβλητών Π.χ. απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)=Σ(0,2,4,5,6) yz 00 01 11 10 x 1 1 F= z+xy 1 1 1 1 Αν μια συνάρτηση δεν εκφράζεται ως άθροισμα ελαχιστόρων, είναι δυνατό να χρησιμοποιήσουμε το χάρτη για να πάρουμε τους ελαχιστόρους της συνάρτησης και μετά να απλοποιήσουμε τη συνάρτηση σε μια έκφραση με ελάχιστο αριθμό όρων Είναι απαραίτητο να εξασφαλίσουμε ότι η αλγεβρική έκφραση είναι σε μορφή αθροίσματος γινομένων. Κάθε όρος γινομένου μπορεί να παρασταθεί στο χάρτη με ένα, δύο ή περισσότερα τετράγωνα

Χάρτης τριών μεταβλητών Π.χ. Δίνεται η συνάρτηση F(A,B,C) = A C + A B + AB C + BC α) να εκφραστεί σε άθροισμα ελαχιστόρων β) να ελαχιστοποιηθεί σε άθροισμα γινομένων BC 00 01 11 10 Α 1 1 1 α) F(A,B,C)= Σ(1,2,3,5,7) β) F = C + A B 1 1 1

3.2 Χάρτης τεσσάρων μεταβλητών yz 00 01 11 10 wx m0 m1 m3 m2 00 wxyz wxyz wxyz wxyz m4 m5 m7 m6 01 wxyz wxyz wxyz wxyz m12 m13 m15 m14 11 wxyz wxyz wxyz wxyz m8 m9 m11 m10 10 wxyz wxyz wxyz wxyz Η ελαχιστοποίηση συναρτήσεων Boole τεσσάρων μεταβλητών με το χάρτη είναι παρόμοια με αυτή των τριών μεταβλητών

Χάρτης τεσσάρων μεταβλητών Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(w,x,y,z)=Σ(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) yz 00 01 11 10 wx 00 1 1 1 01 1 1 1 F(x,y,z)= y + wz+ xz 11 1 1 1 10 1 1 Γίνονται οι παρακάτω ομαδοποιήσεις m0+m1+m4+m5 + m8+m9+m12+m13 = wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+wxyz+ wxyz+ wxyz wxy wxy wxy wxy wy wy y m0+m2+m4+m6 = wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz= wxz+ wxz = wz m4+m6+m12+m14 = wxyz+ wxyz+ wxyz+ +wxyz = wxz+ wxz = xz

Χάρτης τεσσάρων μεταβλητών Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(A,B,C,D)= ABC+ BCD+ ABCD+ ABC yz 00 01 11 10 wx 00 1 1 1 01 1 F (A,B,C,D)= BC+ BD+ ACD 11 10 1 1 1 Γίνονται οι συνδυασμοί m0+m1+m8+m9 = ΑΒCD+ ABCD+ ABCD+ABCD= ΑΒC+ ABC= BC m0+m2+m8+m10 = ΑΒCD+ ABCD+ ABCD+ABCD= ΑΒD+ ABD= BD m0+m6 = ΑΒCD+ ABCD= ACD

Πρώτοι Όροι (Prime Implicants) Η διαδικασία για τον συνδυασμό των τετραγώνων στον χάρτη γίνεται πιο συστηματική με τη χρήση των πρώτων όρων και των ουσιωδών πρώτων όρων Ένας πρώτος όρος είναι ένα γινόμενο παραγόντων που σχηματίζεται συνδυάζοντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό γειτονικών τετραγώνων στο χάρτη Αν ένας ελαχιστόρος σε ένα τετράγωνο καλύπτεται από έναν μόνο πρώτο όρο, αυτός ο πρώτος όρος λέγεται ουσιώδης Γενικά, η απλοποιημένη έκφραση μιας συνάρτησης Boole προκύπτει από το λογικό άθροισμα όλων των ουσιωδών πρώτων όρων και των άλλων πρώτων όρων που μπορεί να χρειάζονται για να καλύψουν κάποιους εναπομείναντες ελαχιστόρους που δεν καλύπτονται από τους ουσιώδεις πρώτους όρους.

Πρώτοι Όροι (Prime Implicants) Να βρεθούν οι πρώτοι όροι της συνάρτησης F(A,B,C,D)= Σ(0,2,3,5,7,8,9,10,11,13,15) yz yz 00 01 11 10 00 01 11 10 wx wx 00 1 1 1 00 1 1 1 01 1 1 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 10 1 1 1 1 Πρώτοι όροι CD, BC, AD και AB Ουσιώδεις πρώτοι όροι ΒD και BD Η απλοποιημένη έκφραση για τη συνάρτηση προκύπτει από το λογικό άθροισμα των ουσιωδών πρώτων όρων και οπιουδήποτε δυο πρώτων όρων οι οποίοι καλύπτουν τους ελαχιστόρους m3, m9, και m11. F = ΒD + BD + CD+ AD = ΒD + BD + CD+ AB = ΒD + BD + BC+ AD = ΒD + BD + BC + AB

3.3 Χάρτης πέντε μεταβλητών A=0 A=1 DE DE 00 01 11 10 00 01 11 10 BC BC m0 m1 m3 m2 m16 m17 m19 m18 00 00 m4 m5 m7 m6 01 01 m20 m21 m23 m22 11 m12 m13 m15 m14 11 m28 m29 m31 m30 m8 m9 m11 m10 m24 m25 m27 m26 10 10 Οι χάρτες για περισσότερες από τέσσερις μεταβλητές είναι δύσχρηστοι Σε κάθε επιμέρους χάρτης των τεσσάρων μεταβλητών μπορεί να εφαρμοστεί η διαδικασία εύρεσης γειτονικών τετραγώνων όπως ορίστηκε προηγουμένως. Επιπλέον, κάθε τετράγωνο στον Α=0 χάρτη είναι γειτονικό με το αντίστοιχο τετράγωνο του Α=1 χάρτη.

Χάρτης πέντε μεταβλητών Γενικά σε ένα χάρτη n μεταβλητών κάθε 2k γειτονικά τετράγωνα όπου k=0,1,2,…n, παριστάνουν μια περιοχή που δίνει ένα γινόμενο n-k παραγόντων. Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(A,B,C,D,E)= Σ(0,2,4,6,9,13,21,23,25,29,31) Α=0 Α=1 DE DE 00 01 11 10 00 01 11 10 BC BC 00 1 1 00 01 1 01 1 1 1 11 1 11 1 1 10 1 10 1 F = ΑΒE+BD E + ACE γειτονικά τετράγωνα

3.4 Απλοποίηση γινομένων αθροισμάτων Διαδικασία Σημειώνουμε 0 στα τετράγωνα του χάρτη που αντιστοιχούν σε ελαχιστόρους που δεν περιέχονται στη συνάρτηση F. Τα τετράγωνα αυτά παριστάνουν τη συμπληρωματική της συνάρτηση F´. Συνδυάζουμε τα γειτονικά τετράγωνα και παίρνουμε απλοποιημένη έκφραση για την F´ σε μορφή αθροίσματος γινομένων Το συμπλήρωμα της F´ δίνει την F σε μορφή γινομένων αθροισμάτων Π.χ. Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole α) σε άθροισμα γινομένων β) σε γινόμενο αθροισμάτων F(A,B,C,D)= Σ(0,1,2,5,8,9,10) α) συνδυάζουμε τα «1» και έχουμε F = BD+BC+ACD β) συνδυάζουμε τα «0» και έχουμε F = ΑΒ+CD+BD F = (A+B)(C+D)(B+D)

Υλοποίηση παραπάνω εκφράσεων σε δύο επίπεδα πυλών

Απλοποίηση γινομένων αθροισμάτων Η παραπάνω διαδικασία απλοποίησης ισχύει και όταν η συνάρτηση δίνεται σε μορφή γινομένου μεγιστόρων, αφού τα μηδενικά της συνάρτησης παριστάνουν τους μεγιστόρους Πχ. Απλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F(x,y,z)= Π(0,2,5,7) Ισχύει F(x,y,z)= Σ(1,3,4,6) yz 00 01 11 10 x 1 1 1 1 1 α) συνδυάζουμε τα «1» και έχουμε F = xz+xz β) συνδυάζουμε τα «0» και έχουμε F = xz+xz  F=(x+z)(x+z)

3.5 Συνθήκες αδιαφορίας Σε πολλές εφαρμογές μια συνάρτηση Boole μπορεί να μην προσδιορίζεται για ορισμένες μεταβλητές Οι ελαχιστόροι για τους οποίους η συνάρτηση δεν προσδιορίζεται λέγονται «συνθήκες αδιαφορίας» και σημειώνονται με X στο χάρτη Ο συνθήκες αδιαφορίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ένα χάρτη για παραπέρα απλοποίηση της έκφρασης Boole Όταν επιλέγουμε γειτονικά τετράγωνα για να απλοποιήσουμε μια συνάρτηση σε ένα χάρτη, οι αδιάφοροι ελαχιστόροι μπορούν να θεωρηθούν ως 1 ή 0.

Συνθήκες αδιαφορίας Απλοποιείστε τη συνάρτηση F(w,x,y,z)= Σ(1,3,7,11,15) με συνθήκες αδιαφορίας d(w,x,y,z)= Σ(1,3,4,6) Και οι δυο εκφράσεις είναι αποδεκτές. Η διαφορά έγκειται στη διαφορετική χρήση των συνθηκών αδιαφορίας

3.6 Υλοποίηση με πύλες NAND και NOR - απλούστερος σχεδιασμός (μικρότερος αριθμός τρανζίστορ) - μεγαλύτερη ταχύτητα Έχουν αναπτυχθεί κανόνες για τη μετατροπή από συναρτήσεις Boole που χρησιμοποιούν πράξεις AND, OR και NOT σε ισοδύναμες που έχουν NAND ή NOR

Υλοποίηση με πύλες NAND Υλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F = ΑΒ+CD - τρεις τρόποι υλοποίησης

Υλοποιείστε τη συνάρτηση Boole με πύλες NAND F(x,y,z) = Σ(1,2,3,4,5)

Κυκλώματα NAND πολλών επιπέδων Για την υλοποίηση συνδυαστικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούνται συχνότερα πύλες NAND και NOR παρά AND και OR καθώς παρουσιάζουν απλούστερη κατασκευή Η πύλη NAND ονομάζεται «οικουμενική» πύλη, καθώς κάθε ψηφιακή κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί με τη χρήση μόνο πυλών NAND Υλοποίηση των NOT, AND και OR με πύλες NAND

Υλοποιείστε με πύλες NAND στη συνάρτηση

Υλοποιείστε με πύλες NAND στη συνάρτηση

Υλοποίηση με πύλες NOR Η πύλη NOR είναι «οικουμενική» πύλη, καθώς κάθε ψηφιακό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί με τη χρήση μόνο πυλών NOR Υλοποίηση των NOT, AND και OR με πύλες NOR

Απαιτεί η συναρτήσεις να είναι εκφρασμένες σε γινόμενο αθροισμάτων Υλοποίηση με πύλες NOR Απαιτεί η συναρτήσεις να είναι εκφρασμένες σε γινόμενο αθροισμάτων Υλοποιείστε τη συνάρτηση Boole F = (Α+Β)(C+D)Ε Υλοποίηση συνάρτησης Σχήματος 3.23(α) με πύλε NOR

Υλοποίηση AND-OR-INVERTER Μπορεί να υλοποιηθεί με δυο μορφές AND-NOR και NAND-AND

Υλοποίηση OR-AND-INVERTER Μπορεί να υλοποιηθεί με δυο μορφές OR-NAND και NOR-OR

Υλοποίηση της συνάρτησης F(x,y,z) = Σ(0,6) σε διαφορετικές μορφές

3.8 Η συνάρτηση XOR Η πράξη XOR συμβολίζεται με  και είναι λογική πράξη που εκτελεί την παρακάτω λογική λειτουργία x  y = xy´+x´y - ισούται με «1» μόνο όταν ένα και μόνο ένα από τα x και y είναι ίσο με «1» Η πράξη XOR συμβολίζεται με  και εκτελεί την παρακάτω λογική λειτουργία x  y = xy +x´y´ - ισούται με «1» για x=y. Οι παρακάτω ταυτότητες ισχύουν για την XOR x  0 = x x  1 = x´ x  x = 0 x  x´= 1 x  y´ = (x  y)´ x´  y = (x  y)´ x  y = y  x (αντιμεταθετική) (x  y) z = x  (y z) = x  y z (προσεταιριστική)

Υλοποίηση συνάρτησης XOR

Περιττή και Άρτια συνάρτηση

Γεννήτρια και ελεγκτής ισοτιμίας Οι συναρτήσεις XOR και XNOR (ισοδυναμίας) είναι πολύ χρήσιμες στα συστήματα που χρειάζονται κώδικες ανίχνευσης και διόρθωσης λαθών. Πίνακας αλήθειας για τη γεννήτρια άρτιας ισοτιμίας Μήνυμα τριών ψηφίων Ψηφίο ισοτιμίας x y z P 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1