ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Η μέτρηση μιας ποσότητας μας δίνει το μέγεθός της Το σφάλμα μας δίνει την αβεβαιότητα (ή την διακύμανση ή την ανοχή) της μέτρησης. Π.χ. Οι επόμενες δυο ομάδες φοιτητών έχουν κατά μέσον όρο το ίδιο ύψος. Ποια από τις δύο θα ήθελες να αντιμετωπίσεις στο μπάσκετ;

1.82m 1.83m 1.82m 1.82m 1.81m 1.82 ± 0.01 m

1.82m 1.83m 1.62m 1.82m 2.01m 1.82 ± 0.20 m

Επομένως η σωστή γραφή των μετρήσεων είναι 1.82 ± 0.20 m Μονάδες (πάντα!!!) Μέτρηση (ή μέσος όρος για πολλές μετρήσεις) Σφάλμα (πάντα 1 ψηφίο)

Υπολογισμός σφάλματος Μια άμεση μέτρηση x Πολλές άμεσες μετρήσεις x1, x2,…, xN Έμμεση μέτρηση από υπολογισμό y = f(x)

Άμεση μέτρηση 1 2 3 Ποιο από όλα είναι σωστό; x = 1.6 ± 0.052 cm 1 2 3

Άμεση μέτρηση 1 2 3 Ποιο από όλα είναι σωστό; x = 1.6 ± 0.052 cm 1 2 3 Μέτρηση ± ½ υποδιαίρεσης

(Σημαντικά ψηφία) Η παραπάνω μέτρηση 1.6 cm έχει 2 σημαντικά ψηφία (αλλά ένα δεκαδικό ψηφίο) τα οποία τα διαβάζουμε στο όργανο. Μπορούμε να προσθέσουμε και ένα «κατ’εκτίμηση» ψηφίο δηλ x = 1.62 ± 0.05 cm 1 2 3 Μέτρηση οργάνου + κατ’εκτίμηση ψηφίο ± ½ υποδιαίρεσης

Πολλές άμεσες μετρήσεις Κομμάτι ξύλο, διάμετρος x1 = 2.72 cm x2 = 2.75 cm x3 = 2.68 cm x4 = 2.73 cm x5 = 2.65 cm x6 = 2.70 cm N = 6 μετρήσεις

Μέσος όρος = (2.72 + 2.75 + 2.68 + 2.73 + 2.65 + 2.70) / 6 = 2.705 cm Μαθηματικώς:

Το σφάλμα δίνεται από την εξής σχέση και ονομάζεται «τυπικό σφάλμα μέσης τιμής» Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής και του σφάλματος κατασκευάζουμε τον εξής πίνακα Δηλαδή x = 2,71 ± 0.01 cm (πάντα 1 ψηφίο στο σφάλμα)

Έμμεση μέτρηση από υπολογισμό Παράδειγμα: Ένας φοιτητής μέτρησε τον χρόνο που χρειάζεται καθημερινώς για να φτάσει στο πανεπιστήμιο με ποδήλατο t = 32 ± 5 min για μια απόσταση x = 8.4 ± 0.5 km Με πόση ταχύτητα έρχεται στο πανεπιστήμιο και ποιο είναι το σφάλμα της ταχύτητας;

t = 32 ± 5 min, x = 8.4 ± 0.5 km Απάντηση: Συνειδητοποιούμε ότι η v δεν μετράται άμεσα αλλά υπολογίζεται από την σχέση v = f(x,t) = x / t = 8.4 / 32 = 0.26 km/min Όσο για το σφάλμα χρησιμοποιούμε την γενική σχέση σ2 = fx2 σx2 + ft2 σt2 Παράγωγος ως προς t Παράγωγος ως προς x Για το συγκεκριμένο παράδειγμα: σ2 = (1/t)2 σx2 + (-x/t2)2 σy2 = (1/32)2 0.52 + (-8.4/322)2 52 = 0,001926 km2/min2 v = 0.26 ± 0.04 km/min