Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 1 Από κοινού κατανομή δύο ΤΜ Στην περίπτωση που υπάρχουν δύο ΤΜ ενδιαφέροντος, η συνάρτηση κατανομής της κάθε μίας χωριστά δεν είναι αρκετή για να περιγράψει το υπό μελέτη φαινόμενο. Για παράδειγμα μπορεί να μήν αρκεί η γνώση της κατανομής του Μολύβδου και του Ψευδαργύρου χωριστά για την περιγραφή ενός κοιτάσματος μικτών θειούχων μεταλλευμάτων. Θα ήταν χρήσιμο να γνωρίζουμε αν μαζί με τις ψηλές τιμές του ενός μετάλλου υπάρχουν και ψηλές τιμές του δεύτερου και το αντίθετο. Στην περίπτωση που υπάρχουν δύο ΤΜ ενδιαφέροντος, η συνάρτηση κατανομής της κάθε μίας χωριστά δεν είναι αρκετή για να περιγράψει το υπό μελέτη φαινόμενο. Για παράδειγμα μπορεί να μήν αρκεί η γνώση της κατανομής του Μολύβδου και του Ψευδαργύρου χωριστά για την περιγραφή ενός κοιτάσματος μικτών θειούχων μεταλλευμάτων. Θα ήταν χρήσιμο να γνωρίζουμε αν μαζί με τις ψηλές τιμές του ενός μετάλλου υπάρχουν και ψηλές τιμές του δεύτερου και το αντίθετο. Ορίζεται ως από κοινού συνάρτηση κατανομής F(x,y) δύο ΤΜ Χ,Υ η πιθανότητα του ενδεχομένου Ορίζεται ως από κοινού συνάρτηση κατανομής F(x,y) δύο ΤΜ Χ,Υ η πιθανότητα του ενδεχομένου

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 2 Παράμετροι κατανομής Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας δύο ΤΜ δίνεται από τη σχέση: Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας δύο ΤΜ δίνεται από τη σχέση: Πέρα από τις μέσες τιμές και τις διασπορές των δύο ΤΜ χωριστά, ορίζονται η συνδιασπορά Cov(X,Y) και ο συντελεστής συσχέτισης: Πέρα από τις μέσες τιμές και τις διασπορές των δύο ΤΜ χωριστά, ορίζονται η συνδιασπορά Cov(X,Y) και ο συντελεστής συσχέτισης:

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 3 Τι είναι η συνδιασπορά; Όπως φαίνεται, η συνδιασπορά είναι και αυτή μία ροπή τάξης 2. Εάν παρατηρήσουμε την σχέση ορισμού θα διαπιστώσουμε ότι η C(X,Y) είναι ένα άθροισμα γινομένων το οποίο μεγιστοποιείται σε απόλυτη τιμή όταν στις περιπτώσεις που η ΤΜ Χ παίρνει τιμές κοντά στη μέση τιμή της, ταυτόχρονα συμβαίνει το ίδιο και για την Υ και αντιθέτως. Αυτό όμως σημαίνει ότι οι δύο ΤΜ είναι συσχετισμένες, δηλαδή όταν έχουμε πληροφόρηση για την μία, πχ ότι βρίσκεται κοντά στην μέση τιμή της, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε με μεγάλη ασφάλεια ότι και η δεύτερη θα κινείται κοντά στην δική της μέση τιμή, άρα έχουμε πληροφόρηση και για αυτήν. Αντιθέτως, όταν η συνδιασπορά κυμαίνεται γύρω από το μηδέν, οι ΤΜ είναι ασυσχέτιστες. Όπως φαίνεται, η συνδιασπορά είναι και αυτή μία ροπή τάξης 2. Εάν παρατηρήσουμε την σχέση ορισμού θα διαπιστώσουμε ότι η C(X,Y) είναι ένα άθροισμα γινομένων το οποίο μεγιστοποιείται σε απόλυτη τιμή όταν στις περιπτώσεις που η ΤΜ Χ παίρνει τιμές κοντά στη μέση τιμή της, ταυτόχρονα συμβαίνει το ίδιο και για την Υ και αντιθέτως. Αυτό όμως σημαίνει ότι οι δύο ΤΜ είναι συσχετισμένες, δηλαδή όταν έχουμε πληροφόρηση για την μία, πχ ότι βρίσκεται κοντά στην μέση τιμή της, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε με μεγάλη ασφάλεια ότι και η δεύτερη θα κινείται κοντά στην δική της μέση τιμή, άρα έχουμε πληροφόρηση και για αυτήν. Αντιθέτως, όταν η συνδιασπορά κυμαίνεται γύρω από το μηδέν, οι ΤΜ είναι ασυσχέτιστες.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 4 Το σχήμα της κατανομής Οι δύο μέσες τιμές, οι διασπορές καθώς και η συνδιασπορά των ΤΜ Χ,Υ είναι αρκετές για να καθορίσουν πλήρως την μορφή της κατανομής τους εφόσον αυτή ανήκει σε κάποιες κατηγορίες. Η κανονική κατανομή είναι μία από αυτές. Πώς όμως οι πέντε ανωτέρω παράμετροι καθορίζουν το σχήμα της κανονικής κατανομής; Στο σχήμα φαίνεται η επίδραση της συσχέτισης στο σχήμα της δισδιάστατης κανονικής κατανομής. Οι δύο μέσες τιμές, οι διασπορές καθώς και η συνδιασπορά των ΤΜ Χ,Υ είναι αρκετές για να καθορίσουν πλήρως την μορφή της κατανομής τους εφόσον αυτή ανήκει σε κάποιες κατηγορίες. Η κανονική κατανομή είναι μία από αυτές. Πώς όμως οι πέντε ανωτέρω παράμετροι καθορίζουν το σχήμα της κανονικής κατανομής; Στο σχήμα φαίνεται η επίδραση της συσχέτισης στο σχήμα της δισδιάστατης κανονικής κατανομής.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 5 Παράδειγμα Θεωρούμε τις γεωτρήσεις του πίνακα με τις αναλύσεις τους σε Pb και Zn. Ζητείται να σχεδιαστεί το από κοινού ιστόγραμμα της περιεκτικότητας στα δύο μέταλλα Θεωρούμε τις γεωτρήσεις του πίνακα με τις αναλύσεις τους σε Pb και Zn. Ζητείται να σχεδιαστεί το από κοινού ιστόγραμμα της περιεκτικότητας στα δύο μέταλλα Αρχικά γράφουμε τις τιμές των δειγμάτων στις στήλες Α και Β. Στόχος είναι να αναπτυχθεί ο πίνακας Ε21- J26 όπου σε κάθε μία από τις πέντε κλάσεις με κέντρα 5% έως 45% για κάθε μέταλλο γράφεται η σχετική συχνότητα με την οποία απαντάται το αντίστοιχο ζεύγος τιμών. Επομένως, κάθε ζεύγος τιμών των στηλών Α, Β πρέπει να αντιστοιχηθεί με ένα κελί του Ε21-J26. Για το λόγο αυτό, αντιστοιχίζεται πρώτα η τιμή της κάθε στήλης Α και Β σε μία από τις 5 κλάσεις παίρνοντας το ακέραιο μέρος της διαίρεσης της περιεκτικότητας με το 10 και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας με 10 και προσθέτοντας το 5. Οι δύο αριθμοί, ένας για κάθε μέταλλο, γράφονται ο ένας δίπλα στον άλλο σε μορφή κειμένου στην στήλη C. Αρχικά γράφουμε τις τιμές των δειγμάτων στις στήλες Α και Β. Στόχος είναι να αναπτυχθεί ο πίνακας Ε21- J26 όπου σε κάθε μία από τις πέντε κλάσεις με κέντρα 5% έως 45% για κάθε μέταλλο γράφεται η σχετική συχνότητα με την οποία απαντάται το αντίστοιχο ζεύγος τιμών. Επομένως, κάθε ζεύγος τιμών των στηλών Α, Β πρέπει να αντιστοιχηθεί με ένα κελί του Ε21-J26. Για το λόγο αυτό, αντιστοιχίζεται πρώτα η τιμή της κάθε στήλης Α και Β σε μία από τις 5 κλάσεις παίρνοντας το ακέραιο μέρος της διαίρεσης της περιεκτικότητας με το 10 και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας με 10 και προσθέτοντας το 5. Οι δύο αριθμοί, ένας για κάθε μέταλλο, γράφονται ο ένας δίπλα στον άλλο σε μορφή κειμένου στην στήλη C.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 6 Περισσότερη γεωμετρία Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη μίας δισδιάστατης κανονικής κατανομής των ΤΜ Χ,Υ. Το ψηλότερο σημείο του κώδωνα προβάλλεται στο σημείο Α από όπου διέρχεται και το κατακόρυφο επίπεδο συμμετρίας της. Το Α καθορίζεται από τις μέσες τιμές των δύο ΤΜ. Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη μίας δισδιάστατης κανονικής κατανομής των ΤΜ Χ,Υ. Το ψηλότερο σημείο του κώδωνα προβάλλεται στο σημείο Α από όπου διέρχεται και το κατακόρυφο επίπεδο συμμετρίας της. Το Α καθορίζεται από τις μέσες τιμές των δύο ΤΜ. H ευθεία ΑΒ του σχήματος είναι η συνάρτηση που μας δίνει μέση και πιθανότερη ταυτόχρονα τιμή της ΤΜ Υ δεδομένου του Χ, δηλαδή f(y/X=x). H ευθεία ΑΒ του σχήματος είναι η συνάρτηση που μας δίνει μέση και πιθανότερη ταυτόχρονα τιμή της ΤΜ Υ δεδομένου του Χ, δηλαδή f(y/X=x). Ένας άλλος τρόπος να δούμε την ευθεία ΑΒ είναι να την θεωρήσουμε ως την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της μεταβλητής Υ μέσω της Χ, κατά την μέση τετραγωνική έννοια. Ένας άλλος τρόπος να δούμε την ευθεία ΑΒ είναι να την θεωρήσουμε ως την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της μεταβλητής Υ μέσω της Χ, κατά την μέση τετραγωνική έννοια.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 7 Αριθμός ή διάνυσμα; Όπως έχει τονιστεί στα προηγούμενα, στην περίπτωση που οι ΤΜ ακολουθούν την από κοινού κανονική κατανομή, γεγονός που είναι πολύ συνηθισμένο λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, είναι αρκετές οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης για την περιγραφή της κατανομής αυτής. Στην περίπτωση αυτή ζητείται αν είναι δυνατή η παράσταση των ΤΜ με απλουστευμένο τρόπο, χωρίς την σχεδίαση της κατανομής τους. Μία παράσταση του τύπου αυτού επιτυγχάνεται με την απεικόνισή τους σε στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου με άπειρες διαστάσεις και εσωτερικό γινόμενο. Ο χώρος αυτός ονομάζεται χώρος Hilbert. Όπως έχει τονιστεί στα προηγούμενα, στην περίπτωση που οι ΤΜ ακολουθούν την από κοινού κανονική κατανομή, γεγονός που είναι πολύ συνηθισμένο λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, είναι αρκετές οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης για την περιγραφή της κατανομής αυτής. Στην περίπτωση αυτή ζητείται αν είναι δυνατή η παράσταση των ΤΜ με απλουστευμένο τρόπο, χωρίς την σχεδίαση της κατανομής τους. Μία παράσταση του τύπου αυτού επιτυγχάνεται με την απεικόνισή τους σε στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου με άπειρες διαστάσεις και εσωτερικό γινόμενο. Ο χώρος αυτός ονομάζεται χώρος Hilbert.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 8 Διανυσματική παράσταση ΤΜ Στον χώρο αυτό ορίζεται το μήκος | Χ | ενός διανύσματος ως Στον χώρο αυτό ορίζεται το μήκος | Χ | ενός διανύσματος ως | Χ | = σ x ενώ το εσωτερικό γινόμενο Χ·Υ δύο διανυσμάτων ως Χ·Υ = C(X,Y) Έτσι, το μήκος μίας ΤΜ δείχνει το μέγεθος της διασποράς της, δηλαδή το πόσο οι τιμές της είναι διεσπαρμένες γύρω από την μέση τιμή της. Έτσι, το μήκος μίας ΤΜ δείχνει το μέγεθος της διασποράς της, δηλαδή το πόσο οι τιμές της είναι διεσπαρμένες γύρω από την μέση τιμή της.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 9 Διανύσματα και συνδιασπορά Το εσωτερικό γινόμενο (συνδιασπορά) των δύο ΤΜ είναι ένα μέτρο της προβολής της μίας επάνω στην άλλη, δείχνει δηλαδή τί ποσοστό της μίας ομοιάζει (ακολουθεί) την άλλη υπό την έννοια του πόσο είναι πιθανό να παίρνουν μαζί τιμές κοντά στη μέση της κάθε μίας. Για να γίνει καλύτερα κατανοητό αυτό ορίζουμε την γωνία μεταξύ δύο ΤΜ γράφοντας το εσωτερικό γινόμενο με τον γνωστό τρόπο: Το εσωτερικό γινόμενο (συνδιασπορά) των δύο ΤΜ είναι ένα μέτρο της προβολής της μίας επάνω στην άλλη, δείχνει δηλαδή τί ποσοστό της μίας ομοιάζει (ακολουθεί) την άλλη υπό την έννοια του πόσο είναι πιθανό να παίρνουν μαζί τιμές κοντά στη μέση της κάθε μίας. Για να γίνει καλύτερα κατανοητό αυτό ορίζουμε την γωνία μεταξύ δύο ΤΜ γράφοντας το εσωτερικό γινόμενο με τον γνωστό τρόπο: Χ·Υ = | X | | Y | cosφ οπότε από το σχήμα προκύπτει αμέσως ότι το cosφ ισούται με τον συντελεστή συσχέτισης r των Χ,Υ. οπότε από το σχήμα προκύπτει αμέσως ότι το cosφ ισούται με τον συντελεστή συσχέτισης r των Χ,Υ.

Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 3) 10 Γεωμετρικές αποδείξεις Θα υπολογισθεί η διασπορά της ΤΜ Ζ του αθροίσματος δύο ΤΜ Χ,Υ. Θα υπολογισθεί η διασπορά της ΤΜ Ζ του αθροίσματος δύο ΤΜ Χ,Υ. Από τον νόμο των συνημιτόνων, στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Από τον νόμο των συνημιτόνων, στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: |Ζ| 2 = |Χ| 2 + |Υ| |Χ| |Υ| cosθ = |Χ| 2 + |Υ| |Χ| |Υ| cosφ οπότε σ Χ+Υ 2 =σ Χ 2 + σ Υ σ Χ σ Υ cosφ Εάν οι ΤΜ είναι ασυσχέτιστες, τότε σ Χ+Υ 2 =σ Χ 2 + σ Υ 2 Εάν οι ΤΜ είναι ασυσχέτιστες, τότε σ Χ+Υ 2 =σ Χ 2 + σ Υ 2