ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Επιμέλεια : Χρήστου Γιάννης Φυσικός ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ Στη σελίδα αυτή έγεινε προσπάθεια να αναπαραστίσω την ταχύτητα που έχουν τα σώματα με τέτοιο τρόπο ώστε να γίνει κατανοητή στους μαθητές μας . ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

Ι. Κίνηση με ταχύτητα που ελαττώνεται Το διάγραμμα παρακάτω αναπαριστάνει μια φωτογραφία που λήφθηκε με τη βοήθεια ενός στροβοσκοπίου για μια μπάλα που ανεβαίνει μια τροχιά. (Στη στροβοσκοπική φωτογράφηση, η θέση ενός αντικειμένου δείχνεται σε χρονικές στιγμές που απέχουν ίσα χρονικά διαστήματα) Σχεδίασε διανύσματα στο διάγραμμα σου που να παριστάνουν τις στιγμιαίες ταχύτητες της μπάλας σε κάθε μία από τις σημειωμένες θέσεις. Αν η ταχύτητα είναι μηδέν σε κάποια στιγμή, να το γράψεις ξεκάθαρα. Να εξηγήσεις γιατί σχεδίασες τα διανύσματα με τον τρόπο που τα έκανες. Θα ονομάσουμε τα διαγράμματα του τύπου που έκανες πιο πάνω διαγράμματα ταχύτητας. Αν δεν δηλώνεται ειδικά, ένα διάγραμμα ταχύτητας δείχνει τη θέση και την ταχύτητα ενός αντικειμένου σε χρονικές στιγμές που χωρίζονται με ίσα χρονικά διαστήματα.

Θα ονομάσουμε τα διαγράμματα του τύπου που έκανες πιο πάνω διαγράμματα ταχύτητας. Αν δεν δηλώνεται ειδικά, ένα διάγραμμα ταχύτητας δείχνει τη θέση και την ταχύτητα ενός αντικειμένου σε χρονικές στιγμές που χωρίζονται με ίσα χρονικά διαστήματα. Σχεδίασε , και Δ . + = Α. Στο χώρο δεξιά, να συγκρίνεις τις ταχύτητες στα σημεία 1 και 2 με το να σχεδιάσεις τα διανύσματα που αναπαριστούν αυτές τις ταχύτητες. Να σχεδιάσεις τα διανύσματα το ένα δίπλα στο άλλο και να τα ονομάσεις και αντίστοιχα. Γιατί ταιριάζει η ονομασία μεταβολή της ταχύτητας σ’ αυτό το διάνυσμα; Πώς συγκρίνεται η διεύθυνση του διανύσματος της μεταβολής της ταχύτητας με τη διεύθυνση των διανυσμάτων της ταχύτητας; Θα μεταβαλλόταν η απάντηση σου αν επέλεγες δύο διαφορετικά διαδοχικά σημεία (πχ τα σημεία 3 και 4) για το διάστημα που η μπάλα επιβραδύνεται; Να το εξηγήσεις. Να σχεδιάσεις ένα διάνυσμα που θα πρέπει να προστεθεί στην ταχύτητα σε μια προηγούμενη χρονική στιγμή για να γίνει ίση με την ταχύτητα σε μια κατοπινή στιγμή. Να σημειώσεις δίπλα σ’ αυτό το διάνυσμα την ετικέτα Δ . Έχουμε ίδια μεταβολή ανά μονάδα χρόνου

Πώς συγκρίνεται το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας μεταξύ των σημείων 1 και 2 σε σχέση με το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας μεταξύ των δύο διαφορετικών διαδοχικών σημείων (π.χ. των σημείων 3 και 4); Εξήγησε. (Μπορείς να το βρεις χρήσιμο να αναφερθείς σε ένα διάγραμμα υ vs t για την κίνηση της μπάλας καθώς κυλά προς τα πάνω στην τροχιά.)

Β. Να σκεφτείς τη μεταβολή στο διάνυσμα της ταχύτητας μεταξύ δύο σημείων στο διάγραμμα της ταχύτητας για δύο σημεία που δεν είναι διαδοχικά, π.χ. τα σημεία 1 και 4. Είναι η διεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας διαφορετική από αυτή που είχε για διαδοχικά σημεία; Εξήγησε. Διαφέρει το μήκος του διανύσματος της μεταβολής της ταχύτητας από αυτό που είχε για διαδοχικά σημεία; Αν συμβαίνει αυτό, πόσες φορές είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το αντίστοιχο διάνυσμα για τα διαδοχικά σημεία; Εξήγησε. Είναι τριπλάσιο.

Επιτάχυνση = μεταβολή της ταχύτητας δια του αντίστοιχου χρόνου. Γ. Να χρησιμοποιήσεις τον ορισμό της επιτάχυνσης για να σχεδιάσεις ένα διάνυσμα στο χώρο δεξιά που να αντιπροσωπεύει την επιτάχυνση της μπάλας μεταξύ των σημείων 1 και 2. Επιτάχυνση = μεταβολή της ταχύτητας δια του αντίστοιχου χρόνου. Να σχεδιάσεις το διάνυσμα της επιτάχυνσης Πώς συγκρίνεται η διεύθυνση του διανύσματος μεταβολής της ταχύτητας με τα διανύσματα της ταχύτητας σ’ αυτή την περίπτωση; Η επιτάχυνση έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας Να σχεδιάσεις το διάνυσμα της επιτάχυνσης Θα άλλαζε η απάντηση σου αν διάλεγες δύο διαφορετικά σημεία για το χρονικό διάστημα που επιταχυνόταν η μπάλα; Εξήγησε Β. Στο χώρο δίπλα να σχεδιάσεις ένα διάνυσμα που να αναπαριστά το διάνυσμα της επιτάχυνσης της μπάλας μεταξύ των σημείων που διάλεξες πιο πάνω

Γ. Να γενικεύσεις τα αποτελέσματα για να απαντήσεις στην ακόλουθη ερώτηση. Ποια είναι η σχέση μεταξύ της κατεύθυνσης της επιτάχυνσης και της κατεύθυνσης της ταχύτητας του αντικειμένου που επιβραδύνεται; Εξήγησε. Να περιγράψεις τη κατεύθυνση της επιτάχυνσης μιας μπάλας που κυλά προς τα πάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο. Η ταχύτητα έχει αντίθετη κατεύθυνση από την επιτάχυνση στην επιβραδυνόμενη κίνηση Η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο και φορά προς τα κάτω.

Αυξανόμενη ταχύτητα Σχεδίασε , και Δ . Α. Διάλεξε δύο διαδοχικά σημεία. Στο χώρο δεξιά, να σχεδιάσεις τα διανύσματα της ταχύτητας που αντιστοιχούν σ’ αυτά τα σημεία. Να σχεδιάσεις τα διανύσματα το ένα δίπλα στο άλλο και να τα ονομάσεις και αντίστοιχα Σχεδίασε , και Δ . Πώς συγκρίνεται η διεύθυνση του διανύσματος μεταβολής της ταχύτητας με τα διανύσματα της ταχύτητας σ’ αυτή την περίπτωση; Β. Στο χώρο δίπλα να σχεδιάσεις ένα διάνυσμα που να αναπαριστά το διάνυσμα της επιτάχυνσης της μπάλας μεταξύ των σημείων που διάλεξες πιο πάνω

2 διαστάσεις Β Α Ο Ελλειπτική τροχιά Διάλεξε ένα σημείο που θα το θεωρήσεις ως αρχή των συντεταγμένων Σχεδίασε διανύσματα θέσης (διανύσματα που φέρνεις από την αρχή στα Α και Β) Σχεδίασε την μετατόπιση από το Α στο Β Β Α Ο

Μέση ταχύτητα = Μετατόπιση/χρονικό διάστημα Ταχύτητα `Ενα σώμα κινείται σε μια ελλειπτική τροχιά. Σχεδίασε την τροχιά του σώματος σε ένα μεγάλο φύλλο χαρτί (Να κάνεις μεγάλο διάγραμμα) Α. Διάλεξε ένα σημείο που θα το θεωρήσεις ως αρχή των συντεταγμένων στο σύστημα αναφοράς σου. Σημείωσε ένα Ο δίπλα σ’ αυτό το σημείο (σημείο της αρχής των συντεταγμένων). Διάλεξε δύο σημεία της τροχιάς που να απέχουν περίπου το ένα όγδοο του μήκους της έλλειψης και γράψε δίπλα σ’ αυτά τα σημεία Α και Β. Σχεδίασε διανύσματα θέσης (διανύσματα που φέρνεις από την αρχή στα Α και Β) Σχεδίασε την μετατόπιση από το Α στο Β. Περίγραψε πως θα χρησιμοποιήσεις το διάνυσμα της μετατόπισης για να καθορίσεις την μέση ταχύτητα του σώματος μεταξύ Α και Β. Σχεδίασε ένα διάνυσμα που να δείχνει την μέση ταχύτητα. Β Β' Μέση Ταχύτητα Α Ο Διάλεξε ένα σημείο ανάμεσα στα Α και Β και ονόμασε το Β’ Καθώς το Β’ βρίσκεται πιο κοντά στο Α από ότι στο Β πως συγκρίνεται η μέση ταχύτητα στο ΑΒ’ με την μέση ταχύτητα στο ΑΒ; Μέση ταχύτητα = Μετατόπιση/χρονικό διάστημα

Β Β' Α Ο Ο' Η μέση ταχύτητα για ΑΒ' έχει περίπου το ίδιο μέτρο με τη μέση ταχύτητα για το ΑΒ. Όμως η κατεύθυνση της είναι πιο κοντά στην εφαπτομένη στο Α. Β Στιγμιαία Ταχύτητα Β' Μέση Ταχύτητα Α Ο Ο' Περίγραψε την διεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας στο σημείο Α. Πως θα βρεις (σημειώσεις) την στιγμιαία ταχύτητα σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς; Η στιγμιαία ταχύτητα θα έχει κατεύθυνση εφαπτόμενη στην τροχιά στο σημείο Α Εξαρτάται η απάντηση σου από του αν το σώμα αυξάνει την ταχύτητα του, ελαττώνει την ταχύτητα του ή κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου; Εξήγησε Β. Αν διάλεγες κάποια διαφορετική αρχή για το σύστημα συντεταγμένων σου, ποια από τα διανύσματα που σχεδίασες στο τμήμα Α θα άλλαζαν και ποια όχι;

Α Στιγμιαία Ταχύτητα Στιγμιαία Ταχύτητα Στιγμιαία Ταχύτητα Η εικόνα αυτή δείχνει διάφορες στιγμιαίες ταχύτητες σε διάφορα σημεία της τροχιάς

ΙΙ. Επιτάχυνση ενός σώματος με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Δ Στιγμιαία Ταχύτητα Υπόθεσε ότι το σώμα στο τμήμα Ι κινείται στην τροχιά με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Σχεδίασε διανύσματα που θα παραστήσουν την ταχύτητα σε δύο σημεία της τροχιάς, αλλά τα σημεία να μην είναι απομακρυσμένα. ( Σχεδίασε μεγάλα διανύσματα). Ονόμασε τα σημεία Γ και Δ. Γ Α. Σε ένα διαφορετικό μέρος του χαρτιού σου, αντίγραψε τα διανύσματα της ταχύτητας και . Από αυτά τα διανύσματα να βρεις την ­μεταβολή στο διάνυσμα της ταχύτητας

Πώς συγκρίνεται με τις 90° η γωνία που σχηματίζει ”κεφαλή” του και η ”ουρά” του ; (”Συγκρίνεται” σ’ αυτή την περίπτωση σημαίνει ”είναι μικρότερη, μεγαλύτερη, ή ίση με 90°;”) Στιγμιαία Ταχύτητα Δ Γ Είναι λίγο μικρότερη από 90° Αν το σημείο Δ πλησιάζει όλο και περισσότερο στο σημείο Γ η γωνία αυτή αυξάνει, ελαττώνεται ή παραμένει η ίδια; Γράψε αν μπορείς να φτάσεις σε ασφαλές συμπέρασμα από τις παρατηρήσεις σου; Η γωνία πλησιάζει περισσότερο τις 90°

Μήπως αυτή η γωνία έχει κάποια οριακή τιμή; Αν ναι ποια είναι αυτή ; Περίγραψε πως μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη μεταβολή στο διάνυσμα της ταχύτητας για να καθορίσεις τη μέση επιτάχυνση του σώματος μεταξύ Γ και Δ. Σχεδίασε ένα διάνυσμα που να δείχνει τη μέση επιτάχυνση του σώματος μεταξύ των Γ και Δ. Η γωνία αυτή έχει οριακή τιμή 90° Τι συμβαίνει με το μέτρο της καθώς διαλέγομε το Δ να βρίσκεται πιο κοντά και πιο κοντά στο Γ; Μήπως και η επιτάχυνση μεταβάλλεται με τον ίδιο τρόπο; Το μέτρο της ελαττώνεται και γίνεται μηδέν. Η επιτάχυνση δε γίνεται μηδέν γιατί είναι ίση με και καθώς το Δ πλησιάζει το Γ, το Δt πλησιάζει και αυτό το μηδέν. Σκέψου το διάνυσμα της επιτάχυνσης στο Γ. Παρατήρησε προσεχτικά την γωνία μεταξύ του διανύσματος της επιτάχυνσης και του διανύσματος της ταχύτητας. Σύγκρινε την με τις 90°. (Σημείωση: η γωνία των δύο διανυσμάτων καθορίζεται αν τα τοποθετήσουμε το ένα δίπλα στο άλλο με το να αγγίζουν οι ουρές τους.) 90°

Β. Υπόθεσε ότι διαλέγεις ένα νέο σημείο στην τροχιά με διαφορετική καμπυλότητα από αυτή που έχει το σημείο Γ. Σύγκρινε την επιτάχυνση σ’ αυτό το σημείο με την επιτάχυνση στο σημείο Γ. Περίγραψε την διεύθυνση της επιτάχυνσης στο νέο σημείο. Δ Ε Γ Ζ

ΙΙΙ. Επιτάχυνση όταν μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας. Υπόθεσε ότι αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας καθώς το σώμα κινείται στην τροχιά. Σχεδίασε διανύσματα σε δύο σημεία που να είναι σχετικά κοντά. (Σχεδίασε τα διανύσματα μεγάλα). Ονόμασε τα δύο σημεία Ε, Ζ. Α. Σε ένα διαφορετικό τμήμα του χαρτιού σου αντίγραψε τα διανύσματα και . Καθόρισε το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας . Σύγκρινε την γωνία της κορυφής της με την ουρά της . Είναι διαφορετική από 90°; Ε Ζ Η γωνία είναι μεγαλύτερη από 90°

Τι θα συμβεί με αυτή τη γωνία αν το σημείο Ζ πλησιάζει όλο και περισσότερο στο Ε; Τι τιμές ή περιοχή τιμών είναι δυνατές για αυτή την γωνία αν το σώμα επιταχύνεται; Εξήγησε. Τι συμβαίνει με το μέτρο της καθώς το σημείο Ζ διαλέγεται να πλησιάζει όλο και περισσότερο το σημείο Ε; Ε Ζ Η γωνία παραμένει μεγαλύτερη από 90° Το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας ελαττώνεται, όμως ταυτόχρονα ελαττώνεται και το χρονικό διάστημα Δt

Να περιγράψεις πως θα χρησιμοποιούσες το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας για να προσδιορίσεις την επιτάχυνση στο σημείο Ε. Να θεωρήσεις την κατεύθυνση της επιτάχυνσης στο σημείο Ε. Πως συγκρίνεται η γωνία μεταξύ του διανύσματος της επιτάχυνσης και του διανύσματος της ταχύτητας (τοποθετημένα ”ουρά – με – ουρά”) με τη γωνία των 90°; Ε Ζ H μέση επιτάχυνση μεταξύ των Ε και Ζ θα βρίσκεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας δια του αντίστοιχου χρόνου Δt Τα διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης τοποθετημένα ουρά με ουρά κάνουν γωνία μικρότερη των 90°

Αν το σώμα ξεκινούσε από την ηρεμία στο Ε πως θα έβρισκες την επιτάχυνση Περίγραψε την κατεύθυνση της επιτάχυνσης ενός σώματος που ξεκινά από την ηρεμία. H μέση επιτάχυνση μεταξύ των Ε και Ζ θα βρίσκεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας δια του αντίστοιχου χρόνου Δt Ε Ζ Τώρα η επιτάχυνση στο όριο που ο χρόνος γίνει μηδέν είναι ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ στην τροχιά.

Γ. σταθερό μέτρο αυξανόμενο μέτρο

Γ. αυξανόμενο μέτρο Αρχική ταχύτητα =0 Επιτροχίος επιτάχυνση αυξανόμενο μέτρο Αρχική ταχύτητα =0 Επιτροχίος επιτάχυνση Επιτροχίος επιτάχυνση Ολική επιτάχυνση Επιτροχίος επιτάχυνση Ολική επιτάχυνση Ολική επιτάχυνση Ολική επιτάχυνση Κεντρομόλος επιτάχυνση Ολική επιτάχυνση Επιτροχίος επιτάχυνση Κεντρομόλος επιτάχυνση Ολική επιτάχυνση επιτάχυνση Επιτροχίος Επιτροχίος επιτάχυνση Επιτροχίος επιτάχυνση

Διάφορα σχήματα

Διάφορα σχήματα

Η ακτίνα καμπυλότητας Κύκλος