ΜΗ ΠΑΓΙΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΦΒ=Β, ΕΙδ=Δ 20 kN/m δ - 2I B + B + A Γ B I A A Γ Γ 5 7,5 20 kN/m I 2I ΕΙΦΒ=Β, ΕΙδ=Δ A B Γ Δ δ + _ - A B Γ Δ +

αντικαθιστώντας έχουμε τελικά MBΓ MBA ΜΒΔ ΜΒΔ VΒΔ ΝΒΔ Ay Γy VΔΒ= 0 + = 0  ΜΒΔ = ΜΔΒ  -0,8Β + 0,24Δ - 0,4Β + 0,24Δ = 0 Δ = = 2,5Β (2) (1), (2)  Β = 35,51 , Δ = 88,78 αντικαθιστώντας έχουμε τελικά 112,22 105,11 7,12 ΜΑΒ = -105,11 kNm ΜΒΓ = -112,22 kNm ΜΒΔ = -7,12 kNm ΜΔΒ = -7,12 kNm

A B Γ Δ -160,98 [N] -105,11 +21 -112,22 +90,1 -7,12 [M] +28,98 -71,02 89,96 -60,04 [V] maxMΑΒ = = +21 maxMΒΓ = -112,22 + = +90,1 89,96 71,02 160,98

Να υπολογισθεί η στροφή φΜ και η μετακίνηση δΜ, του μέσου Μ 9.4.4 q A B M L/2 Να υπολογισθεί η στροφή φΜ και η μετακίνηση δΜ, του μέσου Μ ΕΙφΜ=Φ, ΕΙδΜ=Δ Έστω Μ, ενδιάμεσος κόμβος (αρχική γωνία ΜΑ & ΜΒ= 1800) Φορέας μη πάγιος ΑΜ: μονόπακτη φορτισμένη ΜΒ: μονόπακτη αφόρτιστη δM + B A φM + - A B ΜΜΑ= ΜΜΒ=

·        ΜΜΑ= ΜΜΒ  ·        VMA=VMB Αλλά VΑM = αλλά ΜΜΒ =

Φορέας μη πάγιος  Μ=ΜΡ+Μφ+Μδ ΕιφΓ=Γ , ΕιφΔ=Δ , Ειu=Υ 9.4.5 3 5,0 Γ 20KN/m Ζ Ι 3Ι Ε Α Β Δ 1 4,0 Φορέας μη πάγιος  Μ=ΜΡ+Μφ+Μδ ΕιφΓ=Γ , ΕιφΔ=Δ , Ειu=Υ φΓ φΔ + - Α Β Γ Δ Ε Ζ - + Ε Ζ Α Β Γ Δ u ΜΑΓ= ΜΓΑ=

ΜΓΔ = ΜΔΓ = ΜΔΒ= Ροπή στην απλή στήριξη μονόπακτων : ΜΕ = = -10kNm συνεπώς : ΜΔΕ =

Εξισώσεις συμβιβαστού ΜΓΔ ΜΓΑ ΜΓΑ = ΜΓΔ  -1,33Γ + 0,67Υ = -26,7 + 3Γ - 1,5Δ  4,33Γ - 1,5Δ - 0,67Υ = 26,7 (1) ΜΔΕ ΜΔΓ ΜΔΒ ΜΔΓ + ΜΔΒ = ΜΔΕ  …  -1,5Γ + 5,8Δ + 0,33Υ = -30,8 (2) Ισορροπία ζυγώματος ΣFX = 0  VΓΑ + VΔΒ = 0. Αλλά ΑΓ & ΒΔ αφόρτιστα  VΓΑ = VΑΓ, & VΔΒ= VΒΔ VΑΓ + VΔΒ = 0  VΑΓ + VΒΔ = 0 VΓΑ VΔΒ  ΜΓΑ + ΜΔΒ = ΜΑΓ  …  Δ = 2Γ-1,67Υ (3)

(1),(3)  4,33Γ - 1,5*(2Γ-1,67Υ) - 0,67Υ = 26,7  Γ = 20 - 1,38Υ (4) (3),(4)  Δ = 40 - 4,42 Υ (5) (2),(4),(5)  -1,5*(20-1,38Υ) + 5,8*(40-4,42Υ) + 0,33 Υ = - 30,8  … Υ=10 , Δ=-4,2 , Γ=6,2 τελικές ροπές ΜΓΑ = -1,6, ΜΓΔ = -1,7, ΜΔΓ = -48,6 , ΜΔΕ = -49,9, ΜΔΒ = -0,9, ΜΑΓ = -2,5 1,6 1,7 Γ (διαφορά 0,1)  ΜΓΑ = ΜΓΔ = -1,7 (διαφορά 0,4)  ΜΔΓ = -48,8, ΜΔΕ = -49,7 0,9 48,6 Δ 49,9

+28,2 -51,8 +57,9 +20 +0,3 -0,3 -42,1 [V] Γ Α Β Δ Ε Ζ Ζ -48,8 +18,2 -49,7 -10 -1,7 +34,1 -2,5 -0,9 Α Β Γ Δ Ε [Μ] 28,2 ΝΓΑ ΝΓΔ 0,3 Γ 51,8 57,9 ΝΒΔ 0,3 Δ

-28,2 +0,3 -109,7 Γ Α Δ Ζ Ε [Ν] M -M/2 ΠΡΟΣΟΧΗ

Να προσδιοριστεί η θέση του συγκεντρωμένου φορτίου P, έτσι ώστε η οριζόντια μετατόπιση του πλαισίου να ισούται με μηδέν (δηλαδή ο φορέας να αποκριθεί σαν πάγιος) 15 10 α β B A C D 15 kN EI=ct Ο φορέας είναι στην ουσία μη-πάγιος, έχοντας 3 μεγέθη παραμόρφωσης φΒ, φC, δ . Σε θέση ισορροπίας , θα πρέπει να ικανοποιεί τις εξισώσεις συμβιβαστού: EΙφΒ = Β EIφC = C B A C D φB φC + - ΜΒΑ= ΜΒC, MCB = MCD, = 0

Αν σε κάποια ειδική θέση του εξωτερικού φορτίου Ρ, ο φορέας ισορροπεί, χωρίς να είναι αναγκαία η οριζόντια μετακίνηση του, τότε θα πρέπει οι παραπάνω εξισώσεις να ικανοποιούνται από το συνδυασμό Μ=ΜΡ+Μφ . ΜAB = ΜΒΑ= ΜBC = ΜCB = ΜCD = MDC =

·        MBA = MBC  - 0,4B = + 0,27B - 0,13C (1) MCB = MCD  + 0,27C - 0,13B = -0,27C (2) = 0  VBA + VCD = 0 VAB + VCD = 0  VBA VCD   1,8B + 0,8C = 0  C = 2,25B (4)

ΜΒΑ = ΜΒC = -11,96, MCB = MCD = -17,93 MDC = +8,97 (1) …  0,38Β = (5) (2) …  1,08Β = (6) ΜΑΒ = 5,98 ΜΒΑ = ΜΒC = -11,96, MCB = MCD = -17,93 MDC = +8,97

B A C D +3,44 -11,56 +1,79 -1,79 [V] NCD NCB 1,79 C 11,56 NBC B 3,44 NBA B A C -11,96 +26,43 +8,97 -17,93 +5,98 [M] B A C D -3,44 -11,56 -1,79 [N]