Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Α. Δερμάνης, H.N. Τζιαβός, Γ. Βέργος

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία και ορισμοί Συνθήκες Dirichlet Συναρτήσεις βάσης Ανάλυση διακριτών τιμών Υπολογισμός συντελεστών Ασκήσεις

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Οι σειρές Fourier είναι περιοδικές συναρτήσεις δηλ. παρουσιάζουν μία επαναληψιμότητα σε ένα χρονικό διάστημα Τ που ονομάζεται περίοδος Είναι κατάλληλες για την ανάλυση φαινομένων που παρουσιάζουν περιοδικότητα, όπως είναι πολλά από τα φαινόμενα που μελετούν οι γεωεπιστήμες (πχ. παλίρροιες, ιονοσφαιρική επίδραση, κλπ) Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται η «αρμονική ανάλυση»

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούνται στην ανάλυση & μελέτη συνεχών ή διακριτών μαθηματικών συναρτήσεων στην αναλυτική έκφραση σειράς δεδομένων κάποιου φαινομένου του οποίου δεν είναι γνωστή η ακριβής μαθηματική συνάρτηση

Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται η «φασματική ανάλυση» ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Χρησιμοποιούνται και για την περιγραφή φαινομένων που δεν παρουσιάζουν περιοδικότητα Θεωρώντας ότι η σειρά τιμών που διαθέτουμε μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα (που θεωρείται ‘περίοδος’) επαναλαμβάνεται πριν και μετά το διάστημα αυτό Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται η «φασματική ανάλυση»

Αρμονική ανάλυση τμηματικά συνεχούς συνάρτησης Συνθήκες Dirichlet Τμηματικά συνεχής συνάρτηση – ή συνεχής κατά τμήματα σε ένα τμήμα με τοπικά ακρότατα στο διάστημα μιας περιόδου, τότε το ανάπτυγμα Fourier της f(t) συγκλίνει: Στην τιμή f(t) εάν η συνάρτηση είναι συνεχής στο t Στην τιμή [f(t+)+f(t-)]/2 όταν η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια στο t

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Η γενική μορφή ανάπτυξης της συνάρτησης f(t) σε τριγωνομετρική σειρά Fourier είναι :

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Οι σειρές Fourier είναι συνδυασμοί είτε : Απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και ονομάζονται τριγωνομετρικές σειρές ή πολυώνυμα n-οστός όρος της σειράς χρησιμοποιούνται κυρίως στην «αρμονική ανάλυση» σειράς δεδομένων

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER / Αρμονικές συναρτήσεις

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER / Αρμονικές συναρτήσεις αρμονική συνάρτηση

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(Τ) ορισμένης στο διάστημα [0,T] σε σειρά Fourier

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Γενική περίπτωση [rad/sec] Για κάθε όρο του αναπτύγματος έχουμε: Περίοδος Συχνότητα [rad/sec] Γωνιακή συχνότητα Βασική περίοδος: Τ1=Τ Περίοδοι όρων: Βασική συχνότητα: Συχνότητες όρων: fn=kf1 Βασική γωνιακή συχνότητα: Γωνιακές συχνότητες όρων:

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Εκφράσεις συναρτήσει του μήκους κύματος Αντί χρόνου T [sec] έχουμε αποστάσεις x [m] k γωνιακή χωρική συχνότητα / angular spatial frequency [rad/m] kx [rad] κ [cycles/m] (κυματαριθμός / wave number)

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης): ,  

Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier απλούστερη μορφή: Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):

Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης +1 –1 f (x) Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης σε σειρά Fourier ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …

+1 –1 f (x) k = 0 συνάρτηση βάσης +1 –1

+1 –1 f (x) k = 0 όρος σειράς +1 –1

+1 –1 f (x) k = 1 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 1 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 2 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 2 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 3 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 3 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 4 συναρτήσεις βάσης +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (x) k = 4 όροι σειράς +1 –1 +1 –1

+1 –1 f (t)

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER άρτιες όταν ισχύει f(t) = f(-t) t f(t) άρτιες όταν ισχύει f(t) = f(-t) t f(t) περιττές όταν ισχύει f(t) = -f(-t)

Κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης

Αναπαράστηση συντελεστών αναπτύγματος Fourier Fm vs. m Δύο αναπαραστάσεις, μία για τους ημιτονικούς όρους και μία για τους συνημιτονικούς

Διακριτές σειρές Fourier -

Σύνθεση ενός μη αρμονικού κύματος από δύο αρμονικές συναρτήσεις H ανάλυση Fourier Σύνθεση ενός μη αρμονικού κύματος από δύο αρμονικές συναρτήσεις

Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών Συνήθως στην αρμονική ανάλυση το πλήθος Ν υποτίθεται περιττός αριθμός

Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών

Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών Συνήθως στην αρμονική ανάλυση το πλήθος Ν υποτίθεται περιττός αριθμός Στην περίπτωση αρτίου Ν Συχνότητα ν-οστού όρου (δηλ. τάξεις ανά περίοδο 2π) Για τις μέγιστες τάξεις Συχνότητα αποκοπής ή συχνότητα Nyquist ή συχνότητα αποκοπής Nyquist

Υπολογισμός συντελεστών FOURIER συνάρτησης με περίοδο Τ συνάρτησης με περίοδο Τ  

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(t+T) = f(t)

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Οι συντελεστές αο , αn bn υπολογίζονται από τις σχέσεις : για

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Ειδικότερα 1η περίπτωση

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER άρτιες συναρτήσεις 2η περίπτωση περιττές συναρτήσεις

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 3η περίπτωση

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER άρτιες συναρτήσεις 4η περίπτωση περιττές συναρτήσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1) Α) Περίοδος 10 Β) Πως πρέπει να οριστεί η f(τ) στα σημεία t = - 5, t = 0, t = 5, έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει στην f(t) για     .

Γραφική παράσταση συνάρτησης -15 -10 -5 -20 10 15 20 5 3 f(x) x Περίοδος

Λύση Α)

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1) Για n άρτιο: Για n περιττό:   .  

Β) H f(t) ικανοποιεί τις συνθήκες του Dirichlet, συγκλίνει σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού που είναι συνεχής και συγκλίνει στην [f(t+0) + f(t-0)]/2 στα σημεία ασυνέχειας. Στα σημεία ασυνέχειας t=-5, t=0, t=5 η σειρά συγκλίνει στο (3+0)/2 = 3/2 (βλ. και γραφική παράσταση). Η σειρά λοιπόν θα συγκλίνει στην f(t) για όταν οριστεί ως εξής: Περίοδος = 10

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2) Λύση

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2)

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (3) Λύση Ολοκλήρωση κατά μέρη

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (3) Για n άρτιο: Για n περιττό:

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (4) Λύση Άρτια συνάρτηση, χρησιμοποιούνται τύποι του μισού διαστήματος Ολοκλήρωση κατά μέρη Στο πρόβλημά μας μετά τις αντικαταστάσεις προκύπτει

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (4) Το νέο ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάλι με ολοκλήρωση κατά μέρη αντικαταστάσεις

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5) περίοδος Τ περιττή συνάρτηση Είναι Ισχύει

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5) Είναι:

Παράδειγμα διακριτής σειράς Fourier Δίνονται τα σφάλματα του οριζόντιου κύκλου ενός θεοδολίχου που έχουν προκύψει από εργαστηριακές μετρήσεις ανά 45 μοίρες Να εκτιμηθεί η τιμή του σφάλματος στη διεύθυνση 55 μοίρες Ο μέγιστος βαθμός του αναπτύγματος Fourier είναι