Γραμμικός Προγραμματισμός

Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Είναι τεχνική που ασχολείται µε το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων. Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθεσίμων πόρων. Μπορεί να είναι διαφορετικά επενδυτικά σχέδια που επιζητούν χρηματοδότηση, διαφορετικά προϊόντα που παράγονται από διαθέσιμες πρώτες ύλες, διαφορετικές διαδρομές που μπορεί να ακολουθήσουν προϊόντα που διακινούνται σε προορισμούς κλπ.

Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Ο Γραμμικός Προγραμματισμός με άλλα λόγια επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, το πρόβλημα κατανομής πεπερασμένων πόρων ή μέσων ή γενικότερα χρήσιμων αγαθών (π.χ. εργαζόμενων, υλ\ικών, μηχανών, γης, ...) σε διάφορες εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες (παραγωγή προϊόντων, παροχή υπηρεσιών, ...) κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Κάνει δηλαδή επιλογή της στάθμης κάθε δραστηριότητας έτσι ώστε να βελτιστοποιείται ένα προκαθορισμένο κριτήριο επιλογής.

Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση, ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος, κόστος παραγωγής, μερίδια αγοράς, πωλήσεις προϊόντων κλπ Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και περιορισμούς για κάθε πρόβλημα π.χ. διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης (εργασία, κόστος πρώτες ύλες, δυναμικότητα του εξοπλισμού, διαθέσιμα κεφάλαια, κανόνες ζήτησης προϊόντων, κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ) Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι περιορισμοί εκφράζονται µε γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα και δυνάμεις μεταβλητών)

Τυπικά προβλήματα που επιλύονται µε τον ΓΠ Το πρόβλημα μεταφοράς Εύρεση του συντομότερου/ οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων, αποθηκών, σημείων πώλησης κλπ Το πρόβλημα παραγωγής προϊόντων. Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου παραγωγής υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις Το πρόβλημα μείξης πρώτων υλών Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ., όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη αναλογία μείξης.

Τυπικά προβλήματα που επιλύονται µε τον ΓΠ Επιλογή χαρτοφυλακίου, επενδυτικών σχεδίων. Με δεδομένο το κεφάλαιο, ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου Προγραμματισμός ανθρώπινου δυναμικού Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες, θέσεις εργασίας) κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ. κατανομή φόρτου εργασίας, απαιτούμενες δεξιότητες ανάθεση κλπ. Άλλες παρόμοιες εφαρμογές Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Ο τρόπος ανάπτυξης ενός μοντέλου Βήμα 1. Καθορίζουμε τις μεταβλητές, (ελεγχόμενες, µη ελεγχόμενες) που εκφράζουν τις άγνωστες, προς εκτίμηση, ποσότητες, αξίες κλπ. Του προβλήματος Μεταβλητές απόφασης (decision variables) Βήµα 2. Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης. Αντικειμενική Συνάρτηση (objective function) Βήµα 3. Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος µε μαθηματικές εκφράσεις Περιορισμοί (constraints)

Παράδειγµα: Το πρόβληµα Δασοκτήμονας έχει στην κατοχή του δάσος έκτασης 90 Ηα. Τα 40 Ηα καλύπτονται από το δασοπονικό είδος Α και τα 50 Ηα από το δασοπονικό είδος Β. Στα 10 χρόνια που κατέχει το δάσος έχει διαθέσει συνολικά 800 ημέρες εργασίας για τη διαχείριση του Α είδους και 1500 ημέρες εργασίας για το Β είδος. Το συνολικό εισόδημα που εισέπραξε στη δεκαετία ήταν 360.000 € για το είδος Α και 600.000 € για το είδος Β Στόχος του Δασοκτήμονα είναι να μεγιστοποιήσει το εισόδημά του από τη διαχείριση του δάσους Οι ημέρες εργασίας που μπορεί να διαθέσει για την διαχείριση του δάσους δεν πρέπει να ξεπερνούν τις 180 το χρόνο.

Παράδειγμα. Τα δεδομένα Πόροι προς χρήση Δασοπονικό είδος Α Δασοπονικό είδος Β Διαθέσιμη Ποσότητα Εργασία (Ημέρες) 2 * 3 ** 180 Έδαφος Έκταση (Ηα) 40 50 90 Κέρδος ανά μονάδα 900 * €/έτος Ηα 1200 ** * Εισόδημα ανά έτος και Ηα για το Α είδος: 360.000/10/40=900 ** Εισόδημα ανά έτος και Ηα για το Β είδος: 600.000/10/50 = 1200 *Ημέρες ανα έτος και Ηα για το Α είδος: 800/10/40 = 2 **Ημέρες ανα έτος και Ηα για το Β είδος: 1500/10/50 = 3

Παράδειγμα. Μοντελοποίηση Βήµα 1. Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης; Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο εισόδημα από τη διαχείριση των δυο δασοπονικών ειδών Α & Β) Έστω Χ1 = έκταση σε Ηα του είδους Α Έστω Χ2 = έκταση σε Ηα του είδους Β

Παράδειγμα. Μοντελοποίηση Βήµα 2. Ποια είναι η αντικειμενική συνάρτηση; Συνολικό εισόδημα (z) = εισόδημα από το είδος Α +εισόδημα από το είδος Β = (μονάδα απόδοσης από το είδος Α) * Ηα + (μονάδα απόδοσης από το είδος Β ) * Ηα = 900 * Χ1 + 1200 * Χ2 Είδος βελτιστοποίησης : μεγιστοποίηση Αντικειμενική συνάρτηση: max z= 900* Χ1 + 1200*Χ2

Παράδειγμα. Μοντελοποίηση Βήμα 3. Ποιοι είναι οι περιορισμοί; α) Διαθέσιμες ημέρες εργασίας: 180 ημέρες το χρόνο και για τα δυο είδη Για το είδος Α, απαιτούνται: 800/10/40=2 ημέρες εργασίας/έτος Ηα Για το είδος Β, απαιτούνται: 1500/10/50=3 ημέρες εργασίας/έτος Ηα β) Διαθέσιμη έκταση 90 Ηα, 40 για το είδος Α και 50 για το Β Με μορφή εξισώσεων: 2 * Χ1 + 3 * Χ2 <= 180 επίσης ισχύει: Χ1 <= 40 Χ1 >= 0, Χ2 >=0 Χ2 <= 50 περιορισμοί µη αρνητικότητας

Η τελική μορφή του μοντέλου Max z =900 * Χ1 + 1200 * Χ2 Αντικειμενική συνάρτηση Περιορισμοί: 2 * Χ1 + 3 * Χ2 <= 180 εργασία δασοκτήμονα Χ1<= 40 έδαφος προς διαχείριση με το είδος Α Χ2 <= 50 έδαφος προς διαχείριση με το είδος Β περιορισμοί µη αρνητικότητας: Χ1 >= 0, Χ2 >=0

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2x1+3x2=180

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ X2=50 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ X2=50 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ X2=50 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X1+1200Χ2=max X1/X2 = 1200/900 = 4/3 X2=50 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X1+1200Χ2=max X1/X2 = 1200/900 = 4/3 X2=50 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X1+1200Χ2=max X1/X2 = 1200/900 = 4/3 X2=50 2x1+3x2=180 X1=40

. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Σύνολο δυνατών λύσεων: Πολύγωνο (0 α β γ δ) Το τυχαίο σημείο Μ δεν μπορεί να είναι η βέλτιστη λύση γιατί αν αυξηθεί το Χ1 και μείνει σταθερό το Χ2 θα αυξηθεί η αντικειμενική συνάρτηση. Άρα: Η βέλτιστη λύση θα βρίσκεται στα όρια του πολυγώνου (0 α β γ δ). Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X1+1200Χ2=max X1/X2 = 1200/900 = 4/3 X2=50 Μ . 2x1+3x2=180 X1=40

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΩΝ

Αλγεβρική λύση του μοντέλου Σημεία Εξισώσεις / τιμές Χ1 Χ2 z=900*Χ1+1200*Χ2 α Χ1=0, Χ2=50 50 60.000 β Χ2=50, 2Χ1+3Χ2=180 15 63.000 γ Χ1=40, 2Χ1+3Χ2=180 40 33,3 75.999,6 * δ Χ1=40, Χ2=0 36.000 Χ1=0, Χ2=0 *Το z γίνεται μέγιστο όταν ο δασοκτήμονας διαχειριστεί 40 Ηα για το είδος Α και 33,33 Ηα για το είδος Β

Λύση με το Lindo Αποτελεσματα: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 76000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 40.000000 0.000000 X2 33.333332 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 400.000000 3) 0.000000 100.000000 4) 16.666666 0.000000

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 900.000000 INFINITY 100.000000 X2 1200.000000 150.000000 1200.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 180.000000 49.999996 99.999992 3 40.000000 49.999996 24.999998 4 50.000000 INFINITY 16.666666

ΑΣΚΗΣΗ (Γραμμικού Προγραμματισμού) Ι ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δασοκτήμονας έχει στην κατοχή του δάσος έκτασης 90 Ηα. Τα 40 Ηα καλύπτονται από το δασοπονικό είδος Α και τα 50 Ηα από το δασοπονικό είδος Β. Στα 10 χρόνια που κατέχει το δάσος έχει διαθέσει συνολικά 800 ημέρες εργασίας για τη διαχείριση του Α είδους και 1500 ημέρες εργασίας για το Β είδος. Το συνολικό εισόδημα που εισέπραξε στη δεκαετία ήταν 360.000 € για το είδος Α και 600.000 € για το είδος Β ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Οι ημέρες εργασίας που μπορεί να διαθέσει για την διαχείριση του δάσους δεν πρέπει να ξεπερνούν τις 180 το χρόνο. Επίσης διαπίστωσε ότι αναλώνει τα 2/3 του χρόνου που διαθέτει για τη διαχείριση του δάσους σε καθαρισμούς και θέλει να περιορίσει το χρόνο των καθαρισμών σε λιγότερες από 70 ημέρες το χρόνο ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ Να λυθεί το πρόβλημα γραφικά και αλγεβρικά. Αγνοώντας τις τυχών αρνητικές δασοκομικές επιπτώσεις της μείωσης των καθαρισμών, να προτείνετε στο Δασοκτήμονα τι του συμφέρει από καθαρή οικονομική άποψη να κάνει.