Moντέλα Καθυστέρησης και Ουρές Οι είσοδοι στα δίκτυα δεν είναι προβλέψιμες και για το λόγο αυτό τις μοντελοποιούμε πιθανοτικά. Η θεωρία ουρών (όπου οι χρόνοι άφιξης και εξυπηρέτησης των πελατών είναι τυχαίοι) είναι ένα κατάλληλο μοντέλο.

Στοιχεία της καθυστέρησης σε ένα κόμβο Επεξεργασία: χρόνος από τη στιγμή λήψης ολόκληρου του πακέτου μέχρι τη στιγμή τοποθέτησής του σε ουρά. Αναμονή στην ουρά: χρόνος αναμονής στην ουρά μέχρι να αρχίσει να μεταδίδεται (δηλ. μέχρι να αρχίσει να «εξυπηρετείται»). Μετάδοση: μήκος μηνύματος / ρυθμός μετάδοσης στο σύνδεσμο. Διάδοση (propagation): «χρόνος πτήσης» ενός bit.

Θεώρημα του Little Yπό αρκετά γενικές συνθήκες ισχύει: = × Ν = λ ∙ Τ = × Ν = λ ∙ Τ Το «σύστημα» μπορεί να είναι ένα δίκτυο, μια ουρά, μια ουρά και ένας εξυπηρετητής, ένας εξυπηρετητής, ένα δίκτυο ουρών, κ.τ.λ. Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα Ρυθμός άφιξης των πελατών στο σύστημα Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα

Απόδειξη Θεωρήματος του Little Έστω: α(τ) = αριθμός αφίξεων στο [0, τ] Τi = χρόνος που ξοδεύει στο σύστημα ο i-οστός πελάτης β(τ) = αριθμός αποχωρήσεων στο [0, τ] Υποθέτουμε ότι το σύστημα είναι άδειο τη χρονική στιγμή 0. Σκιασμένη περιοχή = (Ο συνολικός χρόνος που ξοδεύουν οι πελάτες 0, 1, ..., α(t) στο σύστημα)

Έστω: Ν(τ) = αριθμός πελατών στο σύστημα τη χρονική στιγμή τ, τότε Ν(τ) = α(τ) – β(τ) Σκιασμένη περιοχή =

Έστω Νt ο μέσος αριθμός πελατών στο διάστημα [0, t]. Nt = Nt = = O μέσος ρυθμός άφιξης στο [0, t] είναι λt = και ο μέσος χρόνος που ένας πελάτης παραμένει στο σύστημα είναι Τt = Άρα: Νt = λt ∙ Τt Aς υποθέσουμε ότι (με πιθανότητα 1) τα όρια αυτών των ποσοτήτων καθώς t  ∞. N = Nt λ = λt Τ = Τt ,τότε Ν = λ ∙ T

≤ ≤ = ≤ ≤ = t ∞ , λ ∙ Τ = Ν = λ ∙ Τ

Ουρές με Γενική Σειρά Εξυπηρέτησης (general queueing discipline) ≤ σκιασμένη περιοχή = ≤

Παράδειγμα: Ν = λ ∙ Τ Τα εστιατόρια fast food (μικρό Τ) έχουν μικρό μέσο όρο παραμονής ενός πελάτη σε αυτά και άρα, για δεδομένο λ το Ν είναι μικρό. Σε μια βροχερή μέρα οι άνθρωποι οδηγούν πιο αργά (το Τ είναι μεγάλο) και άρα το Ν είναι μεγάλο.

Παράδειγμα: (Εφαρμογή του Θεωρήματος του Little) Ν = λ ∙ Τ To «σύστημα» μπορεί να είναι μια ουρά, ουρά και εξυπηρετητής, εξυπηρετητής, κ.τ.λ. Τ = μέση (συνολική) καθυστέρηση στην ουρά και τον εξυπηρετητή W = μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά Χ = μέσος χρόνος εξυπηρέτησης Ο μέσος αριθμός των πελατών στο όλο σύστημα (ουρά και εξυπηρετητής) είναι Ο μέσος αριθμός των πελατών στην ουρά είναι Q = λ ∙ W Ο μέσος αριθμός πελατών στον εξυπηρετητή είναι ρ = λ ∙ Χ (utilization factor)

Παράδειγμα: λi: ρυθμός άφιξης πακέτων πηγής στον κόμβο i. Ni: μέσος αριθμός πακέτων στις ουρές του κόμβου i. Mέση καθυστέρηση ανά πακέτο: Τ =

Παράδειγμα: Ένα πακέτο φτάνει κάθε K δευτερόλεπτα. Χρόνος μετάδοσης: αΚ δευτερόλεπτα. Χρόνος επεξεργασίας: Ρ δευτερόλεπτα. Ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα είναι Τ = αΚ + Ρ Ο μέσος αριθμός πακέτων στο σύστημα είναι Ν = λΤ = α + Το Ν(t) δε συγκλίνει σε καμιά τιμή, αλλά το Ν συγκλίνει.

Ένα παράδειγμα όπου το Ντ δε συγκλίνει σε καμιά τιμή:

Παράδειγμα: (Παράθυρο ελέγχου ροής – window flow control) λ ∙ Τ = N ≤ n n: με το go back n υπάρχουν στο σύστημα το πολύ n πακέτα. n ↑  καθυστέρηση Τ ↑

Παράδειγμα: Ένα σύστημα με Ν πελάτες και Κ εξυπηρετητές Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης = Ν ≥ Κ, όπου Ν, Κ σταθερές Το σύστημα είναι κλειστό: μπαίνει ένας νέος πελάτης όταν φεύγει ένας άλλος. Ο ρυθμός άφιξης λ ικανοποιεί τη σχέση: Κ = λ ∙ Ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα είναι Τ = =

Παράδειγμα: Μια γραμμή μετάδοσης εξυπηρετεί m ρεύματα (χρήστες) πακέτων με κυκλική (round robin) σειρά. Χρόνος μετάδοσης = Ρυθμός άφιξης λi για τον χρήστη i Επιπλέον κόστος Αi (προηγείται της μετάδοσης) Πόσο είναι το μέσο μήκος ενός κύκλου (έστω L); Μέσος αριθμός πακέτων στη γραμμή μετάδοσης Ν = ≤ 1 Το ποσοστό του χρόνου που η γραμμή είναι ανενεργή είναι = 1 – Ν = 1 – L =

Παράδειγμα: (υπολογιστικό σύστημα μοιρασμού χρόνου) λ = Τ: μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα Τ = R + D D: μέση καθυστέρηση μεταξύ της χρονικής στιγμής που μια εργασία (job) υποβάλλεται στην CPU και της χρονικής στιγμής που η εκτέλεσή της έρχεται εις πέρας R + P ≤ T ≤ R + N ∙ P

(Συνέχεια):  ≤ λ ≤ Επιπλέον λ ≤  ≤ λ ≤ min