Μελέτη ροής με τη μέθοδο Lattice-Boltzmann Δρ. Α.Γ. Γιώτης Εργαστήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ινστιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροστασίας Θερινό Σχολείο 2007

Η μέθοδος Lattice-Boltzmann είναι μία σύγχρονη τεχνική προσομοίωσης ροής κοντά και μέσα από πολύπλοκες γεωμετρίες στερεών σωμάτων.Η μέθοδος Lattice-Boltzmann είναι μία σύγχρονη τεχνική προσομοίωσης ροής κοντά και μέσα από πολύπλοκες γεωμετρίες στερεών σωμάτων. Η μέθοδος βασίζεται στη κινητική θεωρία των αερίων που αναπτύχθηκε από το Δανό μαθηματικό Daniel Bernoulli ( ). O Bernoulli υπήρξε από τους πρώτους που κατάλαβαν ότι τα μόρια ενός αερίου βρίσκονται σε διαρκή κίνηση και ότι η πίεση ένος αερίου οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου όπου περιέχεται.Η μέθοδος βασίζεται στη κινητική θεωρία των αερίων που αναπτύχθηκε από το Δανό μαθηματικό Daniel Bernoulli ( ). O Bernoulli υπήρξε από τους πρώτους που κατάλαβαν ότι τα μόρια ενός αερίου βρίσκονται σε διαρκή κίνηση και ότι η πίεση ένος αερίου οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου όπου περιέχεται. Η υπόθεση του Bernoulli έμεινε στην αφάνεια για πολλά χρόνια μέχρι να ασχοληθηθεί με την κινητική θεωρία ο Σκοτσέζος μαθηματικός James Clerk Maxwell ( ).Η υπόθεση του Bernoulli έμεινε στην αφάνεια για πολλά χρόνια μέχρι να ασχοληθηθεί με την κινητική θεωρία ο Σκοτσέζος μαθηματικός James Clerk Maxwell ( ). O Maxwell απέδειξε ότι τα μόρια ενός ιδανικού αερίου κινούνται και το μέτρο της ταχύτητας τους σε κάθε διεύθυνση στο χώρο ακολουθεί κατανομή Gauss.O Maxwell απέδειξε ότι τα μόρια ενός ιδανικού αερίου κινούνται και το μέτρο της ταχύτητας τους σε κάθε διεύθυνση στο χώρο ακολουθεί κατανομή Gauss. Βασισμένος στην κατανομή Maxwell, o Αυστριακός Φυσικός Ludwig Boltzmann ( ) περιέγραψε την κίνηση των μορίων με μία μερική διαφορική εξίσωση στην οποία η μόνη μεταβλητή είναι μία συνάρτηση κατανομής ταχυτήτων των μορίων. Η εξίσωση Boltzmann είναι από τις σημαντικότερες εξισώσεις της Στατιστικής Μηχανικής σε καταστάσεις εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας.Βασισμένος στην κατανομή Maxwell, o Αυστριακός Φυσικός Ludwig Boltzmann ( ) περιέγραψε την κίνηση των μορίων με μία μερική διαφορική εξίσωση στην οποία η μόνη μεταβλητή είναι μία συνάρτηση κατανομής ταχυτήτων των μορίων. Η εξίσωση Boltzmann είναι από τις σημαντικότερες εξισώσεις της Στατιστικής Μηχανικής σε καταστάσεις εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας. Η μέθοδος Lattice - Boltzmann Daniel Bernoulli ( ) James Clerk Maxwell ( ) Ludwig Boltzmann ( )

Ένα ιδανικό αέριο αποτελείται αποτελείται από μόρια που κινούνται σε ευθείες τροχιές στο χώρο και συγκρούονται με άλλα μόρια σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα.Ένα ιδανικό αέριο αποτελείται αποτελείται από μόρια που κινούνται σε ευθείες τροχιές στο χώρο και συγκρούονται με άλλα μόρια σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα. Οι συγκρούσεις είναι πάντα ανά ζεύγη μορίων, είναι ακαριαίες και ελαστικές.Οι συγκρούσεις είναι πάντα ανά ζεύγη μορίων, είναι ακαριαίες και ελαστικές. Δεν αναπτύσσονται ελκτικές ή απωστικές δυνάμεις μεταξύ των μορίων.Δεν αναπτύσσονται ελκτικές ή απωστικές δυνάμεις μεταξύ των μορίων. Η μέση κινητική ενέργεια κάθε μορίου είναι 3kT/2.Η μέση κινητική ενέργεια κάθε μορίου είναι 3kT/2. Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Βασικές Παραδοχές

Η διανυσματική ταχύτητα κάθε μορίου όμως μπορεί να μεταβάλλεται στις συγκρούσεις. Διατηρείται όμως η ορμή (ελαστικές συγκρούσεις)Η διανυσματική ταχύτητα κάθε μορίου όμως μπορεί να μεταβάλλεται στις συγκρούσεις. Διατηρείται όμως η ορμή (ελαστικές συγκρούσεις)

Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Βασικές Παραδοχές

Η κατανομή του μέτρου των ταχυτήτων ακολουθεί την εξίσωση Maxwell-Boltzmann.Η κατανομή του μέτρου των ταχυτήτων ακολουθεί την εξίσωση Maxwell-Boltzmann. Αυξάνοντας τη θερμοκρασία του συστήματος T, αυξάνεται η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομήςΑυξάνοντας τη θερμοκρασία του συστήματος T, αυξάνεται η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομής Αυξάνοντας το μοριακό βάρος των μορίων m, μειώνεται η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομήςΑυξάνοντας το μοριακό βάρος των μορίων m, μειώνεται η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομής

Τα μόρια ενός ιδανικού αερίου κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες στο χώρο, ακόμη και όταν το αέριο παραμένει μακροσκοπικά ακίνητο.Τα μόρια ενός ιδανικού αερίου κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες στο χώρο, ακόμη και όταν το αέριο παραμένει μακροσκοπικά ακίνητο. Τα μόρια κινούνται σε ευθείες τροχιές και συγκρούονται με άλλα μόρια. Οι συγκρούσεις είναι πάντα ανά ζεύγη μορίων, είναι ακαριαίες και ελαστικές.Τα μόρια κινούνται σε ευθείες τροχιές και συγκρούονται με άλλα μόρια. Οι συγκρούσεις είναι πάντα ανά ζεύγη μορίων, είναι ακαριαίες και ελαστικές. Η κατανομή διανυσματικών ταχυτήτων των μορίων σε μόνιμες συνθήκες περιγράφεται από την εξίσωση Maxwell-BoltzmannΗ κατανομή διανυσματικών ταχυτήτων των μορίων σε μόνιμες συνθήκες περιγράφεται από την εξίσωση Maxwell-Boltzmann Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann Όταν το αέριο δεν είναι σε μόνιμες συνθήκες, η κίνηση των μορίων του ορίζεται σε μεσοσκοπικό επίπεδο (αντιπροσωπευτική ομάδα μορίων) από τη συνάρτηση κατανομής ταχυτήτων που περιγράφει το ποσοστό των μορίων στη θέση r εως r+dr, στο χρόνο t που κινούνται με διανυσματική ταχύτητα μεταξύ ξ και ξ+dξ.Όταν το αέριο δεν είναι σε μόνιμες συνθήκες, η κίνηση των μορίων του ορίζεται σε μεσοσκοπικό επίπεδο (αντιπροσωπευτική ομάδα μορίων) από τη συνάρτηση κατανομής ταχυτήτων που περιγράφει το ποσοστό των μορίων στη θέση r εως r+dr, στο χρόνο t που κινούνται με διανυσματική ταχύτητα μεταξύ ξ και ξ+dξ. Η εξίσωση Boltzmann περιγράφει τη διατήρηση της συνάρτησης κατανομής στο χώρο, στο χρόνο και στο χώρο των ταχυτήτωνΗ εξίσωση Boltzmann περιγράφει τη διατήρηση της συνάρτησης κατανομής στο χώρο, στο χρόνο και στο χώρο των ταχυτήτων Μακροσκοπικές παράμετροι ροής ΠυκνότηταΟρμή

Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann: Μεσοσκοπική περιγραφή της ροής Molecular Dynamics Μικροσκοπική Περιγραφή Το ρευστό αποτελείται από διακριτά μόρια που καθένα έχει τις δικές του ιδιότητες Οι μακροσκοπικές παράμετροι της ροής προκύπτουν λαμβάνοντας τη μέση τιμή της αντιστοιχης παραμέτρου όλων των μορίων που κινούνται σε έναν μεγάλο όγκο ελέγχου. Μεγάλο υπολογιστικό κόστος – Συνεπής φυσική περιγραφή Lattice Boltzmann Μεσοσκοπική Περιγραφή Το ρευστό αποτελείται από διακριτούς όγκους ελέγχου. Τα μόρια σε κάθε όγκο ελέγχου ικανοποιούν την κατανομή ταχυτήτων Maxwell-Boltzmann Σε κάθε όγκο ελέγχου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές που προκύπτουν με κατάλληλη ολοκλήρωση της συνάρτησης κατανομής ταχυτήτων στο χώρο των ταχυτήτων Μέτριο υπολογιστικό κόστος – Συνεπής φυσική περιγραφή διαμοριακών αλληλεπιδράσεων στη μεσοσκοπική κλίμακα Navier-Stokes Μακροσκοπική περιγραφή Το ρευστό και οι μακροσκοπικές του ιδιότητες θεωρούνται συνεχείς στο χώρο και το χρόνο Οι μακροσκοπικές παράμετροι της ροής προκύπτουν αθροίζοντας τις τιμές των παραμέτρων των μορίων που αποτελούν έναν αντιπροσωπευτικό όγκο ελέγχου (REV). Ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεxές Μικρό υπολογιστικό κόστος – Δυσκολία ακριβούς φυσικής περιγραφής διαμοριακών αλληλεπιδράσεων κοντά σε επιφάνειες και διεπιφάνειες

Διακριτοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann: Η μέθοδος Lattice Boltzmann για μονοφασική ροή Διακριτοποιημένη εξίσωση Boltzmann (Lattice Boltzmann) Συνεχής εξίσωση Boltzmann Διακριτοποίηση στο χρόνο, στο χώρο και στο χώρο των ταχυτήτων Διακριτές διανυσματικές ταχύτητες δικτύου Πυκνότητα σωματιδίων με διανυσματική ταχύτητα ξ ι ξ1ξ1ξ1ξ1 ξ4ξ4ξ4ξ4 ξ3ξ3ξ3ξ3 ξ6ξ6ξ6ξ6 ξ5ξ5ξ5ξ5 ξ2ξ2ξ2ξ2 ξ8ξ8ξ8ξ8 ξ7ξ7ξ7ξ7 δx=cδt ξ0ξ0ξ0ξ0

Μέθοδος Lattice Boltzmann Μακροσκοπικές παράμετροι ροής Δεν απαιτούνται επαναλήψεις για να συκλίνει: Ευθεία λύση στο χώρο και στο χρόνο (explicit scheme)Δεν απαιτούνται επαναλήψεις για να συκλίνει: Ευθεία λύση στο χώρο και στο χρόνο (explicit scheme) Απλή διαχείρηση των συνοριακών συνθηκώνΑπλή διαχείρηση των συνοριακών συνθηκών Εύκολη παραλληλοποίησηΕύκολη παραλληλοποίηση Δυνατότητα αλλαγής των εξισώσεων στη μεσοκλίμακα ώστε να λυθούν προβλήματα ροής μη ιδανικών ρευστών, αλλαγής φάσης, διαβροχής στερεών κ.α.Δυνατότητα αλλαγής των εξισώσεων στη μεσοκλίμακα ώστε να λυθούν προβλήματα ροής μη ιδανικών ρευστών, αλλαγής φάσης, διαβροχής στερεών κ.α. Συνεπής περιγραφή των διαμοριακών δυνάμεων στη διεπιφάνεια ρευστών στη μεσοκλίμακα (ομάδες μορίων). Πλεονέκτημα σε σχέση με τη μακροσκοπική θεώρηση της ροής όπου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές, π.χ. Navier-Stokes.Συνεπής περιγραφή των διαμοριακών δυνάμεων στη διεπιφάνεια ρευστών στη μεσοκλίμακα (ομάδες μορίων). Πλεονέκτημα σε σχέση με τη μακροσκοπική θεώρηση της ροής όπου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές, π.χ. Navier-Stokes. Μέτριο υπολογιστικό κόστος – σημαντικά μικρότερο από τη μικροκροσκοπική περιγραφή της ροής με Molecular Dynamics.Μέτριο υπολογιστικό κόστος – σημαντικά μικρότερο από τη μικροκροσκοπική περιγραφή της ροής με Molecular Dynamics. Πλεονεκτήματα μεθόδου Lattice Boltzmann

Επίλυση προβλήματος μονοφασικής ροής σε κλίνες σφαιριδίων Υπολογιστικό πεδίο με εγγεγραμμένη στερεή σφαίρα διαμέτρου D p =160δxΥπολογιστικό πεδίο με εγγεγραμμένη στερεή σφαίρα διαμέτρου D p =160δx Περιοδικές συνθήκες και στις 3 διευθύνσειςΠεριοδικές συνθήκες και στις 3 διευθύνσεις Σταθερή σωματιδιακή δύναμη κατά τη διεύθυνση ένος άξοναΣταθερή σωματιδιακή δύναμη κατά τη διεύθυνση ένος άξονα Μέτρηση της μέσης ταχύτητας (superficial velocity) της ροής σε μόνιμες συνθήκες σε διατομή κάθετη στη διεύθυνση της ροήςΜέτρηση της μέσης ταχύτητας (superficial velocity) της ροής σε μόνιμες συνθήκες σε διατομή κάθετη στη διεύθυνση της ροής Με ιξώδες βρίσκουμε ότι η διαπερατότητα είναι από τη κλίση της υπολογιστικής καμπύλης Η ταχύτητα δίνεται από την εξίσωση DarcyΗ ταχύτητα δίνεται από την εξίσωση Darcy όπου η διαπερατότητα δίνεται από την εξίσωση Blake-Kozeny

Επίλυση προβλήματος μονοφασικής ροής - διάχυσης σε κλίνες σφαιριδίων

Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann για μη ιδανικά ρευστά 2. Exclusion volume effect: ο όγκος των μορίων τείνει προς το όγκο που καταλαμβάνει το ρευστό αυξάνοντας το ρυθμό των συγκρούσεων Εξίσωση Boltzmann για μη ιδανικά ρευστά He- Chen-Zhang όπου 1. Δυνάμεις Van der Waals μεταξύ των μορίων (mean field approximation) [Rowlinson, Widom (1982)] Μη ιδανικά ρευστά

Διακριτοποίηση της εξίσωσης Boltzmann για μη ιδανικά ρευστά: Το πρότυπο He-Chen-Zhang για διφασική ροή Διατήρηση μάζας Διατήρηση ορμής Equation of State

Εφαρμογή του προτύπου He-Chen-Zhang σε αστάθειες διεπιφάνειας Ρευστό με μεγαλύτερη πυκνότητα Ρευστό με μικρότερη πυκνότητα Πεδίο Βαρύτητας (g) Διαταραχή διεπιφάνειας

Διαφασική Ροή σε δίκτυα πόρων Διαβρέχων ρευστό Μη διαβρέχων ρευστό Στερεό Ροή Διδιάστατο υπολογιστικό πεδίο 400x400 Αρχικές συνθήκες: Τετράγωνα στοιχεία στερεού και ρευστών διαστάσεων 20x20 Tυχαια κατανομή στο χώρο με πιθανότητα (1-ε) για το στερεό, εSw για τη διαβρέχουσα φάση και ε(1-Sw) για τη μη διαβρέχουσα φάση Εφαρμογή σταθερής σωματιδιακής δύναμης (body force), π.χ. βαρύτητα Το σύστημα φτάνει σε ψευτο-μόνιμες συνθήκες όπου η μάση ταχύτητα των δύο ρευστών είναι περίπου σταθερή

Διφασική Ροή σε δίκτυα πόρων: Επίδραση διεπιφανειακής τάσης στο πλήθος των γαγγλίων Για μικρές τιμές περιεκτικότητας της μη διαβρέχουσας φάσης, η φάση αυτή είναι ασυνεχής και ρέει υπό τη μορφή γαγγλίων Το πλήθος και η ταχύτητα των γαγγλίων εξαρτώνται από τη περιεκτικότητα του δικτύου στη μη διαβρέχουσα φάση και το τριχοειδή αριθμό Ca που εκφράζει το λόγο των δυνάμεων ιξώδους προς τις τριχοειδείς Τα γάγγλια συνενώνονται και διαλύονται διαρκώς μέσα στο υλικό Η ταχύτητα της ροής της διαβρέχουσας φάσης μειώνεται όσο αυξάνεται η διεπιφανειακή τάση Οι διακυμάνσεις της ταχύτητας αυξάνονται όσο αυξάνεται η διεπιφανειακή τάση Η διεπιφανειακή τάση δημιουργεί γάγγλια που διαλύονται δυσκολότερα και κλείνουν τις διόδους τις ροής προκαλώντας ροή από της περιοχές μικρότερης διαπερατότητας Το πλήθος των γαγγλίων μειώνεται όσο αυξάνεται η διεπιφανειακή τάση (ή μειώενεται ο τριχοειδής αριθμός) και ταυτόχρονα ο μέσος όγκος τους αυξάνεται Yiotis, Kainourgiakis, Stubos, Proceedings of the European Geosciences Union, Vienna, Austria (2007)

Παράλληλοι Υπολογισμοί A)160 3 υπολογιστικό πεδίο – Στερεή σφαίρα Dp=160δx προβληματικό load balancing λόγω ανισοτροπικής κατανομής του στερεού στο πεδίο Β) υπολογιστικό πεδίο – Ισοτροπικό ανακατασκευασμένο πεδίο Ιδανικό balancing ανισοτροππικής – κάθε CPU έχει περίπου το ίδιο φορτίο

Επίλυση προβλήματος μονοφασικής ροής σε κλίνες σφαιριδίων Barcelona Supercomputing Center IBM Power PC 970MP GHz IBM Power PC 970MP GHz Peak Performance of 94,21 Teraflops Peak Performance of 94,21 Teraflops 20 TB of main memory 20 TB of main memory Myrinet and Gigabit Ethernet Myrinet and Gigabit Ethernet Linux: SuSe Distribution Linux: SuSe Distribution

Συμπεράσματα Η μέθοδος Lattice Boltzmann είναι μία πολλά υποσχόμενη τεχνική για την επίλυση προβλημάτων ροής.Η μέθοδος Lattice Boltzmann είναι μία πολλά υποσχόμενη τεχνική για την επίλυση προβλημάτων ροής. Η μέθοδος βασίζεται στην κινητική θεωρία των αερίων και στην υπόθεση ότι σε κάθε σημείο του χώρου η ταχύτητα των μορίων ακολουθεί την κατανομή Maxwell - BoltzmannΗ μέθοδος βασίζεται στην κινητική θεωρία των αερίων και στην υπόθεση ότι σε κάθε σημείο του χώρου η ταχύτητα των μορίων ακολουθεί την κατανομή Maxwell - Boltzmann Δεν απαιτούνται επαναλήψεις για να συκλίνει: Ευθεία λύση στο χώρο και στο χρόνο (explicit scheme)Δεν απαιτούνται επαναλήψεις για να συκλίνει: Ευθεία λύση στο χώρο και στο χρόνο (explicit scheme) Απλή διαχείρηση των συνοριακών συνθηκώνΑπλή διαχείρηση των συνοριακών συνθηκών Εύκολη παραλληλοποίησηΕύκολη παραλληλοποίηση Δυνατότητα αλλαγής των εξισώσεων στη μεσοκλίμακα ώστε να λυθούν προβλήματα ροής μη ιδανικών ρευστών, αλλαγής φάσης, διαβροχής στερεών κ.α.Δυνατότητα αλλαγής των εξισώσεων στη μεσοκλίμακα ώστε να λυθούν προβλήματα ροής μη ιδανικών ρευστών, αλλαγής φάσης, διαβροχής στερεών κ.α. Συνεπής περιγραφή των διαμοριακών δυνάμεων στη διεπιφάνεια ρευστών στη μεσοκλίμακα (ομάδες μορίων). Πλεονέκτημα σε σχέση με τη μακροσκοπική θεώρηση της ροής όπου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές, π.χ. Navier-Stokes.Συνεπής περιγραφή των διαμοριακών δυνάμεων στη διεπιφάνεια ρευστών στη μεσοκλίμακα (ομάδες μορίων). Πλεονέκτημα σε σχέση με τη μακροσκοπική θεώρηση της ροής όπου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές, π.χ. Navier-Stokes. Μέτριο υπολογιστικό κόστος – σημαντικά μικρότερο από τη μικροκροσκοπική περιγραφή της ροής με Molecular Dynamics.Μέτριο υπολογιστικό κόστος – σημαντικά μικρότερο από τη μικροκροσκοπική περιγραφή της ροής με Molecular Dynamics. Η μέθοδος χρησιμοποείται τα τελευταία χρόνια με επιτυχία σε τόσο μονοφασικές ροές όσο και σε διφασικές ροέςΗ μέθοδος χρησιμοποείται τα τελευταία χρόνια με επιτυχία σε τόσο μονοφασικές ροές όσο και σε διφασικές ροές

Further Reading The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond (Numerical Mathematics and Scientific Computation) by Sauro Succi Sauro SucciSauro Succi Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers by Michael C. Sukop, Daniel T. Jr Thorne Michael C. SukopDaniel T. Jr ThorneMichael C. SukopDaniel T. Jr Thorne