ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Processes)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Η εκθετική κατανομή Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = 1-exp(-λt), f Χ (t) = λ exp(-λt) E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ 2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης –P[X>t+s/X>t]=P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων –Χ 1 : με παράμετρο λ 1 –Χ 2 : με παράμετρο λ 2 –Χ=min{Χ 1,Χ 1 } είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = (λ 1 +λ 1 )

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,X(t n-1 )=x n-1,…,X(t 1 )=X 1 ]= =P[X(t n+1 )=X n+1 /X(t n )=x n ] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Η κατανομή Poisson: k αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα P k (T) = e –λT (λΤ) k / k ! E T (k) = λT Var T (k) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής: Χωρίζω το διάστημα Τ σε Ν υποδιαστήματα. Σε κάθε υποδίαστημα θεωρώ N ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p T = N x ΔΤ, p = λ ΔΤ = λΤ/Ν Η πιθανότητα k επιτυχιών σε N δοκιμές είναι P k (T) = P k (N) = N!/(K!(N-k)!) x (λΤ/N) k x (1- λΤ/N) N-k Στο όριο Ν  ∞, ΔΤ  0, : P k (T)  e –λT (λΤ) k / k !

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2  διαδικασία Poisson λ = λ 1 + λ 2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p  ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ 1 = p λ λ 2 = q λ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοιχεία από Έννοιες Διαδικασιών Markov Συστήματα και Αλυσίδες Markov διακριτού και συνεχούς χρόνου Πιθανότητες και γράφοι / διαγράμματα μετάβασης Στατικές κατανομές και πιθανότητες καταστάσεων Birth-Death Processes Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών –Κατάσταση ισορροπίας (steady state)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδοχές Διαδικασίας Γεννήσεων – Θανάτων –Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-ΔΤ, ΔΤ  0: Μία άφιξη στο διάστημα ΔΤ, με πιθανότητα λ n-1 ΔΤ Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 ΔΤ Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1- (λ n +μ n )ΔΤ –Η εξίσωση μετάβασης (Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 ΔΤ P n-1 (t-ΔΤ) + μ n+1 ΔΤ P n+1 (t-ΔΤ) + [1- (λ n +μ n )ΔΤ] P n (t-ΔΤ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στο όριο, ΔΤ  dt: [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) ή d P n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) d P 0 (t)/dt = μ 1 P 1 (t) – λ 0 P 0 (t) και σε σταθερή κατάσταση t  οο (αν υπάρχει) : P n (t) = P n : Εργοδικές Πιθανότητες (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1 (εξισώσεις ισορροπίας) λ 0 P 0 = μ 1 P 1 P 0 +P 1 +P 2 +… = 1