Jacob Bernoulli-Leohnard Euler Πιθανότητες Pascal-Euler-Venn-Sudoku- Μαγικά τετράγωνα Νιάρχος Αναστάσης(Α5) Πλάκα Χρύσα(Α1) Ρηγόπουλος Τσέλιγκας Γιάννης(Α1)

Βασικές προσωπικότητες Gerolamo Cardano(1501-1576) Πρωτοπόρος Θεωρίας Πιθανοτήτων στην Ευρώπη Κλασικός ορισμός πιθανότητας 1525 “Liber de ludo aleae” (Βιβλίο πάνω στα τυχερά παιχνίδια)

Pierre de Fermat(1601-1665) Γράμμα Antoine Gombaud--> Αλληλογραφία με Πασκάλ(από 1654)--> -->πρόβλημα διαίρεσης στοιχήματος, -->πιθανότητα διαφορετικών αποτελεσμάτων σε διαδοχικές ρίψεις ζαριού

Blaise Pascal(1623-1662) “Traité du triangle arithmétique” 1653: “Αριθμητικό Τρίγωνο”/ “Τρίγωνο του Πασκάλ”

Τρίγωνο του Πασκάλ

Αριθμητικό τρίγωνο Ιστορία: 1. Ανατολή: Κίνα, Ινδία, Περσία(Omar Khayyam- 1100μ.Χ) 2. Ευρώπη: Ιταλία, Γερμανία (Petrus Apianus- βιβλίο αριθμητικής 16ου αι. μ.Χ) 3. Blaise Pascal: “Traité du triangle arithmétique”→Συνδυαστική, Λογισμός Πιθανοτήτων

Ιδιότητες αριθμητικού τριγώνου 1. 2. Αριθμοί σειρών: α)Διωνυμικοί συντελεστές ταυτότητας (α+β)ν και, β)Σύνολο συνδυασμών ν ανά κ(π.χ αν ν=5 και κ=3, τότε αντιστοιχεί στο συντελεστή του α3β2 ή στον αριθμό που βρίσκεται στη ν γραμμή και κ διαγώνιο, δηλαδή στο 10) 𝝂 𝜿 = 𝝂−𝟏 𝜿 + 𝝂−𝟏 𝜿−𝟏

3. Ειδικοί αριθμοί: α)Τετράγωνα β)τριγωνικοί αριθμοί(δεύτερη διαγώνιος- n(n+1)/2)- άθροισμα διαδοχικών τριγωνικών=τετράγωνο γ)τετραεδρικοί (τρίτη διαγώνιος) --->πλευρές τετραέδρων(n(n+1)(n+2)/6) δ)simplex Γενικά: σε κάθε διαγώνιο προστίθεται μια διάσταση

Με κάποιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε υπερτετραδιάστατα σχήματα σε διαφορετικές διαστάσεις(π.χ 15 σχήμα σε 2 και 4 διαστάσεις)

4. Άθροισμα των αριθμών διαγωνίου από το 1 μέχρι κάποιο συγκεκριμένο αριθμό = τον αριθμό κάτω και αριστερά από τον τελευταίο προσθετέο 5. Άθροισμα των αριθμών της n-οστής γραμμής = n-oστή δύναμη του 2 6. Αριθμοί ακολουθίας Fibonacci(1,1,2,3,5,8,13...)--> άθροισμα αριθμών διαγωνίων που ξεκινάνε ανάμεσα από τις μονάδες

Κρίστιαν Χόυχενς Αλληλογραφία Fermat – Pascal--> -->De ratiociniis in aleae ludo (Υπολογισμοί στα παιχνίδια της τύχης), 1657 Θεωρία των διατάξεων και των συνδυασμών

Jacob Bernoulli(1655-1705) Ars Conjectanti(“Τέχνη του εικάζειν”)- 1713 2η ενότητα(συνδυασμοί, μεταθέσεις) Μπερνούλι(1680- 1705)

Ars Conjectandi Από 1680 έως 1705 1ο μέρος: έργο Χόυχενς, αναμενόμενη τιμή/ σταθμικός μέσος(μέση τιμή) όλων των πιθανών ενδεχομένων

2ο μέρος: συνδυαστική- εισαγωγή εννοιών διατάξεις και συνδυασμοί 3ο μέρος: εφάρμοσε τις τεχνικές πιθανότητας, σε τυχερά παιχνίδια(τράπουλα ή ζάρια), παρουσιάζει προβλήματα πιθανοτήτων σχετικά με αυτά αλλά και γενικεύσεις Π.χ Αναμενόμενη τιμή κατά τη ρίψη ενός ζαριού είναι: Ε=1(1/6)+2(1/6)+...+6(1/6) = 7/2

4ο μέρος: εφαρμογή των πιθανοτήτων σε προσωπικές, δικαστικές και οικονομικές αποφάσεις- Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Π.χ Όσο πιο πολλές φορές ρίξουμε ένα ζάρι, τόσο το κλάσμα (εμφανίσεις του 1) / (σύνολο ρίψεων) πλησιάζει το 1/6 που είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου 1.

Μαγικά τετράγωνα-Euler Ιστορία 1. 2200 π.Χ, Κίνα 1ος αι. μ.Χ: Da-Dai Liji(το πρώτο κατεγεγραμμένο μαγικό τετράγωνο) 2. 550 μ.Χ, Ινδία: πρώτη εμφάνιση-χρήσεις (π.χ 4ης τάξης, συνταγές αρωμάτων στο βιβλίο Brhatsamhita, ιατρικά κ.ά) 3. 9ος-10ος αι. μ.Χ, Ισλάμ: εμφάνιση μαθηματικών ιδιοτήτων τους - “αρμονική διάταξη αριθμών”, 4. 11ος-12ος αι.: κανόνες δημιουργίας τους από ισλαμιστές μαθηματικούς

5. 15ος, Βυζάντιο: Manuel Moscopoulos Ευρώπη: σύνδεση με την αλχημεία 6. 1592, Ιαπωνία 7. 18ος αι, Δυτική Αφρική: πνευματική σημασία, Muhammad(αστρονόμος, αστρολόγος κλπ) 8. 17ος και μετά, Ευρώπη: π.χ Antoine de la Loubere

Κανόνες δημιουργίας Μαγικό στοιχείο: το άθροισμα των αριθμών κάθε στήλης, σειράς και διαγωνίου Τάξη: ο αριθμός ν(σύνολο μικρών τετραγώνων κάθε στήλης και σειράς) Μέθοδος Pheru(περιττής διάταξης μαγικών τετραγώνων) Μέθοδος Antoine de la Loubere(διάταξης διαδοχικών αριθμών)

Leohnard Euler(1707-1783) Προβληματισμός μοναδικότητας γραμμής και στήλης εντός συγκεκριμένου πλαισίου(πρόβλημα 36 αξιωματικών) Πατέρας των μαγικών τετραγώνων και των Sudoku

Λατινικά τετράγωνα Μεσαίωνας Συστηματική μελέτη από τον Euler: -->σύνολο ν διαφορετικών συμβόλων(π.χ γραμμάτων) -->Ελληνο - Λατινικό Τετράγωνο(γράμματα ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου) -->“το πρόβλημα των 36 Αξιωματικών”

Suboku 1783-->μαγικά τετράγωνα από τον Όιλερ Υποτετράγωνα-περιοχές με μία μόνο φορά κάθε σύμβολο 20ος αιώνας--> Ιαπωνία--> Sudoku

Αναπαράσταση Λατινικών τετραγώνων κάθε στοιχείο τετραγώνου τάξης n γραφτεί ως μια τριάδα (r,c,s) r γραμμή c η στήλη και S το σύμβολο, δημιουργείται ένα σύνολο ν2 τριάδων, οι οποίες ονομάζονται ορθογώνια αναπαράσταση μήτρας.

Ελληνο-Λατινικά τετράγωνα Ο ιδιαίτερος τύπος λατινικού τετραγώνου Ένα νέο είδος "μαγικού τετραγώνου". Οποιοδήποτε σύνολο n διαφορετικών συμβόλων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί

Διαγράμματα Euler Κλειστές Καμπύλες Περιέχει όλα τα ενδεχόμενα(πιθανά και μη πιθανά) Διάγραμμα Venn ειδική περίπτωση διαγράμματος Euler

Πηγές Στατιστική, Γ' Γενικού Λυκείου, κεφ. 3.3, Συνδυαστική Στατιστική, Γ' Γενικού Λυκείου, κεφ. 3.3, Συνδυαστική www.wikipedia.gr http://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/bitstream/10 889/6500/8/Nimertis_Zottou(math).pdf Sudoku puzzles και Συνδυαστικά προβλήματα(διπλωματική εργασία), Νεφέλη Δήμητρα Ζώττου, επιβλέπων καθ: Αλεβίζος Παναγιώτης, Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών, σελ 31 http://www.eulerdiagrams.com http://www.actuar.aegean.gr/notes/%CE%A3% CF%85%CE%BD%CE%B4%CF%85%CE%B1 %CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf http://thalesandfriends.org

Ευχαριστίες Στον κ. Μιχάλη Πατσαλιά Στους “Αττικούς Φούρνους” Παγκρατίου

ΤΕΛΟΣ Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!!! Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!!!