Περισσότερες Ασκήσεις Συνδυαστικής

Γενικά Σχόλια Όταν πρόκειται να λύσετε ένα πρόβλημα συνδυαστικής, χρειάζεται να προσέξτε Εάν έχετε συλλογή από διακριτά αντικείμενα ή εάν τα αντικείμενα είναι όμοια Εάν η συλλογή αποτελείται από άπειρα αντικείμενα Εάν για την κατασκευή του ζητούμενου ενδιαφέρει η σειρά (κατάταξη, συγκεκριμένη θέση) των αντικειμένων ή όχι. Εάν επιτρέπονται οι επαναλήψεις αντικειμένων ή όχι Εάν ναι, ελέγχετε εάν στο σύνολο που έχετε δημιουργήσει υπάρχουν επαναλήψεις που θα πρέπει να αφαιρεθούν

Θέμα Με πόσους τρόπους μπορούν τα 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου να αντιμετατεθούν σχηματίζοντας μια λέξη η οποία δεν θα περιέχει την λέξη φως;

Λύση Όλες οι μεταθέσεις είναι 24! Θεωρούμε την λέξη φως ως ένα ενιαίο σύμβολο Άρα έχουμε 21 γράμματα και ένα επιπλέον (το σύμβολο) Άρα 24! – 22! οι λέξεις που προκύπτουν με αντιμετάθεση των 24 γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και δεν περιέχουν την λέξη ‘φως’

Θέμα Στο ένα δίκτυο υπολογιστών οι διευθύνσεις των συσκευών που το αποτελούν είναι 8-ψήφιοι αριθμοί. Το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0 ή 1. (α) Πόσες διαθέσιμες διευθύνσεις έχει αυτό το δίκτυο; (β) Μια επιτροπή θρησκόληπτων προτείνει να απαγορευτούν όλες οι διευθύνσεις που ξεκινούν με τα ψηφία 666. Αν περάσει αυτό το σχέδιο πόσους διαθέσιμους αριθμούς θα χάσει το δίκτυο;

Λύση (α) Το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0 ή 1 8 επιλογές (2,3,…,9) Για τα υπόλοιπα ψηφία δεν υπάρχει περιορισμός 107 επιλογές Από κανόνα γινομένου έχουμε ότι οι διαθέσιμες διευθύνσεις του δικτύου είναι 8 * 107

Λύση (συνέχεια) (β) Θα «χαθούν» όσες διευθύνσεις ξεκινούν από 666 Δεσμεύονται τα τρία πρώτα ψηφία Μας ενδιαφέρουν μόνο τα υπόλοιπα 5 Το πλήθος των διευθύνσεων που θα «χαθούν» είναι 105

Θέμα Θεωρήστε ότι έχουμε 12 φοιτητές και 6 φοιτήτριες. Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε μία 5-μελής επιτροπή αποτελούμενη είτε από 3 φοιτητές και 2 φοιτήτριες είτε από 2 φοιτητές και 3 φοιτήτριες;

Λύση Από ένα σύνολο 12 φοιτητών, μπορούμε να διαλέξουμε 3 φοιτητές με C(12,3) = 12!/ (3!(12-3)!) τρόπους Από ένα σύνολο 6 φοιτητριών, μπορούμε να διαλέξουμε 2 φοιτήτριες με C(6,2) = 6!/ (2!(6-2)!) τρόπους Από κανόνα γινομένου έχουμε μία επιτροπή αποτελούμενη από 3 φοιτητές και 2 φοιτήτριες μπορεί να συσταθεί με 12!/ (3!(12-3)!) * 6!/ (2!(6-2)!) τρόπους

Λύση (συνέχεια) Από ένα σύνολο 12 φοιτητών, μπορούμε να διαλέξουμε 2 φοιτητές με C(12,2) = 12!/ (2!(12-2)!) τρόπους Από ένα σύνολο 6 φοιτητριών, μπορούμε να διαλέξουμε 3 φοιτήτριες με C(6,3) = 6!/ (3!(6-3)!) τρόπους Από κανόνα γινομένου έχουμε ότι μία επιτροπή αποτελούμενη από 2 φοιτητές και 3 φοιτήτριες μπορεί να συσταθεί με 12!/ (2!(12-2)!) * 6!/ (3!(6-3)!) τρόπους

Λύση (συνέχεια) Από κανόνα αθροίσματος, έχουμε ότι η επιτροπή μπορεί να συσταθεί με C(12,3) * C(6,2) + C(12,2) * C(6,3) = 12!/(3!(12-3)!)*6!/(2!(6-2)!) + 12!/(2!(12-2)!)*6!/(3!(6-3)!)

Θέμα Στο τηλεφωνικό δίκτυο ενός νησιού τα νούμερα των τηλεφώνων ενός νησιού αποτελούνται από 8-ψήφιους αριθμούς. (α) Πόσους διαθέσιμους αριθμούς τηλεφώνου έχει αυτό το νησί; Τα πρώτα 3 ψηφία του αριθμού υποδεικνύουν την περιοχή.

Θέμα (συνέχεια) Ο «κύκλος των παλίνδρομων ποιητών» ζητά να δεσμεύσουν όλα τα τηλεφωνικά νούμερα στα οποία ή τα πρώτα 3 ψηφία ή το υπόλοιπο μέρος του αριθμού ή και τα δύο παραπάνω είναι παλίνδρομοι αριθμοί. (β) Πόσοι αριθμοί συνολικά θα δεσμευτούν?

Λύση α) Εφόσον δεν υπάρχουν περιορισμοί στην χρήση των ψηφίων θα έχουμε: 103 * 105 = 108 διαθέσιμους τηλεφωνικούς αριθμούς.

Λύση (συνέχεια) β) Ας δούμε όλες τις περιπτώσεις Για να είναι το πρώτο μέρος παλίνδρομο θα έχουμε πιθανούς αριθμούς 102 (καθώς όπως και πριν το τελευταίο ψηφίο θα είναι αναγκαστικά ίδιο με το πρώτο). Όσον αφορά το δεύτερο μέρος του αριθμού, το σύνολο των πιθανών αριθμών είναι 105.

Λύση (συνέχεια) Συνολικοί αριθμοί λοιπόν 102 * 105 = 107 (έστω σύνολο Α) Ωστόσο θα πρέπει εδώ να επισημανθεί ότι στο σύνολο αυτό εμπεριέχονται όλοι οι πιθανοί αριθμοί του δευτέρου μέρους, δηλ. και παλίνδρομοι και μη παλίνδρομοι. Αντίστοιχα για το δεύτερο μέρος θα έχουμε 103 * 103 = 106 (έστω σύνολο Β) (όπου επίσης έχουμε συμπεριλάβει όλους τους πιθανούς αριθμούς του πρώτου μέρους)

Λύση (συνέχεια) Για να είναι και τα δύο μέρη παλίνδρομα έχουμε επιλογές 102 * 103 = 105 (σύνολο Α Β) Όπως γίνεται αντιληπτό οι συνολικοί αριθμοί που θα δεσμευτούν είναι: |Α Β| = |Α| + |Β| – |Α Β| = = 107 + 106 -105

Θέμα Η θεατρική ομάδα του πανεπιστημίου αποτελείται από 10 φοιτητές και 6 φοιτήτριες και σκοπεύουν να διασκευάσουν θεατρικά το έργο : “Τα κανόνια του Ναβαρόνε», με 2 γυναικείους και 6 αντρικούς ρόλους. Όλοι οι φοιτητές είναι διαθέσιμοι να παίξουν στο έργο. Το cast ενός έργου προσδιορίζει την αντιστοιχία του θεατρικού χαρακτήρα/ ρόλου με τον/ την ηθοποιό.

Θέμα (συνέχεια) (α) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί το cast των ηθοποιών? (β) Εάν ένας συγκεκριμένος φοιτητής θα μπορούσε να παίξει ή το γυναικείο ή τον αντρικό ρόλο το ίδιο καλά, με πόσους τρόπους αυτή τη φορά μπορεί να σχηματιστεί το cast?

Λύση Προσέξετε: το cast εκφράζει μια αντιστοιχία ρόλου με πρόσωπο. Οπότε στο πρόβλημα αυτό μας ενδιαφέρει η σειρά/κατάταξη (μετάθεση). α) P(10,6) * P (6,2) = =(10! / (10-6)!) * (6! / (6-2)!)

Λύση (συνέχεια) β) Στην περίπτωση που ένας φοιτητής μπορεί να παίξει ανδρικό ή γυναικείο ρόλο θα έχουμε τις εξής περιπτώσεις: ‘Ο φοιτητής μπορεί να παίξει ανδρικό ρόλο’, οπότε έχουμε πιθανα casts: P(10,6) * P (6,2)

Λύση (συνέχεια) ‘Ο φοιτητής μπορεί να παίξει γυναικείο ρόλο’, το οποίο σημαίνει ότι το πλήθος των υποψηφίων φοιτητών για τους 6 ρόλους είναι πλέον 9 και όχι 10. Αντίστοιχα το πλήθος των υποψηφίων φοιτητών (αποτελούμενο από τον ένα φοιτητή και τις 6 φοιτήτριες) για τους 2 γυναικείους ρόλους είναι 7. Άρα έχουμε το σύνολο των δυνατών casts: P(9,6) * P (7,2)

Λύση (συνέχεια) Προσοχή στα δύο προηγούμενα σύνολα casts έχουν προσμετρηθεί διπλά εκείνα τα casts στα οποία ο φοιτητής αυτός δεν εχει προσμετρηθεί για τον αντρικό ή τον γυναικείο ρόλο. Το σύνολο αυτών των casts είναι: P(9,6) * P(6,2)

Λύση (συνέχεια) Άρα οι συνολικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να σχηματιστεί το cast είναι: |= P(10,6) * P (6,2) + P(9,6) * P (7,2) - P(9,6) * P (6,2) = (10! / 4!) * (6! / 4!) + (9! / 3!) * (7! / 5!) - (9! / 3!) * (6!/4!) = 151,200 * 30 + 60,480 * 42 – 60,480 * 30 = 4,536,000 + 2,540,160 – 1,814,400 = 5,261,760

Θέμα Ο «κύκλος των παλίνδρομων ποιητών», εμπνευσμένος από τον καναδό ποιητή Christian Bök πειραματίζεται με ποιήματα που έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Το κάθε ποίημα αποτελείται από ακριβώς 5 στοίχους. Ο κάθε στοίχος είναι αφιερωμένος σε καθένα από τα 5 φωνήεντα του αλφαβήτου τους. Συγκεκριμένα, ο πρώτος στοίχος στο πρώτο φωνήεν, ο δεύτερος στοίχος στο δεύτερο, κλπ.

Θέμα (συνέχεια) Θεωρείστε ότι «ο κύκλος των παλίνδρομων ποιητών» πειραματίζεται με ένα νέο αλφάβητο που αποτελείται από 25 γράμματα: 5 φωνήεντα και 20 σύμφωνα. Επιπλέον, ο κάθε στοίχος αποτελείται από 6 ακριβώς λέξεις, στις οποίες το μόνο φωνήεν που μπορεί να εμφανιστεί σε όλο τον στοίχο είναι αυτό στο οποίο είναι αφιερωμένος ο στοίχος αυτός. Επίσης, η κάθε λέξη του ποιήματος αποτελείται από 5 ακριβώς γράμματα και είναι παλίνδρομη.

Θέμα (συνέχεια) Σε κάθε λέξη εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά το φωνήεν του στοίχου στον οποίον ανήκει. Μία λέξη δεν επαναλαμβάνεται στο ίδιο ποίημα. Δύο ποιήματα είναι τα ίδια όταν η ν-ιοστή λέξη του πρώτου ποιήματος είναι ακριβώς η ίδια με την ν-ιοστή λέξη του δεύτερου για κάθε ν, ν=1,..,30. Πόσα διαφορετικά τέτοια ποιήματα μπορούν να γραφτούν; Παλίνδρομη λέξη είναι μία λέξη η οποία διαβάζεται τόσο από αριστερά προς δεξιά όσο και από δεξιά προς αριστερά με τον ίδιο ακριβώς τρόπο (π.χ. η λέξη άβα).

Λύση (συνέχεια) Η κάθε λέξη αποτελείται από 5 γράμματα και είναι παλίνδρομη Άρα μας ενδιαφέρουν τα τρία μόνο πρώτα γράμματα καθώς το 4ο και 5ο γράμμα θα είναι αναγκαστικά ίδια με το 2ο και 1ο γράμμα αντίστοιχα. Επίσης, επειδή η κάθε λέξη περιέχει τουλάχιστον ένα φωνήεν Θα πρέπει να δεσμεύσουμε μία εκ των τριών πρώτων θέσεων για αυτό το φωνήεν (επανεμφάνιση του φωνήεντος δεν απαγορεύεται).

Λύση (συνέχεια) Π.χ. έστω ότι δεσμεύουμε το πρώτο γράμμα για το φωνήεν. Τότε θα έχουμε 21 επιλογές για το 2ο και 21 επιλογές για το 3ο γράμμα και μία επιλογή για το 4ο και 5ο. Δεδομένου ότι οι πιθανές δεσμευμένες θέσεις του φωνηέντου είναι τρεις, το πλήθος των δυνατών λέξεων με ένα συγκεκριμένο φωνήεν (αδιάφορο ποιο) είναι: λ= 3 * 212 Οι πιθανοί τρόποι σχηματισμού ενός στίχου (6 λέξεις) είναι: P(λ, 6) = λ! / (λ-6)!

Λύση (συνέχεια) Αντίστοιχα όμως ο κάθε στίχος μπορεί μα δημιουργηθεί με λ! / (λ-6)! τρόπους ώστε να είναι ΄αφιερωμένος’ σ ένα φωνήεν. Δηλαδή στην περίπτωση που ο πρώτος στίχος είναι αφιερωμένος στο πρώτο φωνήεν ο δεύτερος στο δεύτερο κτλ. το σύνολο των διαφορετικών ποιημάτων είναι P(λ, 6)5 = (λ! / (λ-6)!)5 [Στην περίπτωση που η σειρά των φωνηέντων στους στίχους ήταν άγνωστη θα είχαμε πλήθος διαφορετικών ποιημάτων ίσο με P(λ, 6)5 * 5! ]