Αριθμητική Ανάλυση ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2004-2005 1η Εβδομάδα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αριθμητική Ανάλυση ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2004-2005 Τρίτη, 22 Φεβρουαρίου 2005 1η Εβδομάδα

Φιλοσοφία & Στόχοι της Αριθμητικής Ανάλυσης Περιεχόμενα του μαθήματος και προγραμματισμός αξιολόγησης Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων (2 Εβδομάδες) Γραμμικά Συστήματα (3 Εβδομάδες) 1η Γραπτή Προαιρετική Δοκιμασία (Test) Θεωρία Προσέγγισης (3 Εβδομάδες) Αριθμητική Παραγώγιση (2 Εβδομάδες) Αριθμητική Ολοκλήρωση (2 Εβδομάδες) Συμπληρώματα (1 Εβδομάδα) Τελική (εφάμιλλη εξαμηνιαίας) Γραπτή Δοκιμασία Σπουδαίο και κρίσιμο: Δύο (2) εβδομαδιαίες εργαστηριακές ασκήσεις

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Στρατηγικές) (α) Εντοπισμός ριζών (β) Υπολογιστικοί αλγόριθμοι για μία ρίζα (γ) Γεωμετρικές εικόνες αλγορίθμων (δ) Υπολογιστικοί αλγόριθμοι για όλες τις ρίζες μιας αλγεβρικής εξίσωσης (ε) Ταχύτητα σύγκλισης αλγορίθμων

Στρατηγικές και Αλγόριθμοι Εύρεσης Ριζών Εντοπισμός Ριζών Γεωμετρικώς – Γραφική Μέθοδος Αναλυτικώς – Ακολουθίες Sturm (Αλγεβρικές Εξισώσεις) Αξιοποίηση Διαφόρων Θεωρημάτων (Bolzano, Descartés rule of signs, κλπ.)

Στρατηγικές Εύρεσης Ριζών (Συνέχεια) Αριθμητικοί Υπολογισμοί μιας ρίζας με επιθυμητή Ακρίβεια (Αλγόριθμοι): Μέθοδος Διχοτόμησης (Bisection Method) Εσφαλμένης Θέσης (Regula Falsi) Μέθοδος της χορδής (Secant Method) Newton – Raphson Γενική Επαναληπτική Μέθοδος (Fixed Point Iteration) Muller

Στρατηγικές Εύρεσης Ριζών (Συνέχεια) Γραφικές εικόνες και ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των υπολογιστικών αλγορίθμων – Χρήση επιστημονικών πακέτων (π.χ. της IMSL) – Υλοποιήσεις των υπολογιστικών αλγορίθμων και Ταχύτητες σύγκλισης των υπολογιστικών αλγορίθμων

ΙΙΙ. Αξιοποίηση Διαφόρων Θεωρημάτων Για μεν το Θεώρημα Bolzano, είναι εύκολη η εφαρμογή του, π.χ. στην 1.1 έχουμε Άρα, υπάρχει οπωσδήποτε μία ρίζα στο διάστημα [1,2], ή περιττό πλήθος ριζών, πράγμα για το οποίο δεν μπο- ρούμε να αποφανθούμε. Από την άλλη άποψη του κανόνα του Καρτέσιου, για την ίδια εξίσωση έχουμε μία (1) αλλαγή προσήμων, άρα μία πραγματική θετική ρίζα, ενώ από την έχουμε δύο (2) αλλαγές προσήμων, άρα έχουμε είτε 2 είτε 0 αρνητικές ρίζες και αυτές είναι οι μόνες πληροφο- ρίες που μας παρέχει ο κανόνας.

ΙΙΙ. Αξιοποίηση Διαφόρων Θεωρημάτων Ένα δεύτερο παράδειγμα, της εξίσωσης: που είναι η εξίσωση ανωτάτου βαθμού που μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά, εάν δε κάνουμε χρήση του MATHEMATICA, τότε με την επιλογή: solve[x^4-9x^3-2x^2+120x-130==0,x] όπου παίρνουμε τις εκφράσεις των 4 ριζών:

που υπολογίζονται οτι είναι διαδοχικά οι: (1) x1=-3.60014, x2=1.22859, x3=3.97207, x4=7.39948

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα παραπάνω αφορούν τη θεωρητική πλευρά των αλγεβρικών εξισώσεων, που για εξισώσεις ανωτέρω βαθμού, π.χ. 5ου, 6ου,… αδυνατούν να δώσου, γενικώς, τύπους. Εδώ έχει ενδιαφέρον η εφαρμοσμένη πλευρά του θέματος που με χρήση του κανόνα του Καρτέσιου και των τριών αλλαγών σημείων των συντελεστών,συμ περαίνει την ύπαρξη 3 ή1 θετικών ριζών ενώ από τα πρόσημα της φ(-χ) = χ^4+9χ^3-2χ^2 -120χ -130 =0 συμπεραίνει για την παρουσία μιας αρνητικής ρίζας. Θα μπο- ρούσαμε, τέλος, με κάποια αριθμητική μέθοδο, από αυτές που α- κολουθούν, να βρίσκουμε τις ρίζες (1) με απλούστερο τρόπο από τους θεωρητικούς τύπους( του MATHEMATICA). Π.χ. με την Newton-Raphson και το πρόγραμμα που ακολουθεί και με αρχικές τιμές: x0=-3., x0=1.0, x0=4., και x0=8.0, έχουμε για την ακρίβεια των 5 δ.ψ. τα αποτελέσματα (όροι ακολουθίας) :

Newton Raphson in action program newton_raphson implicit none real(8), external :: f,df real(8) :: eps, x,xnew integer :: maxiter,iter,i eps = .5e-5 read*,x print 5, x do i =1, 10 xnew = x - f(x)/df(x) print 10, i,xnew if (dabs(xnew - x) <= eps) exit x = xnew enddo 5 format (2x,"x(0)= ",F12.8) 10 format (2x,"x(",i1,")= ",F12.8) end program newton_raphson function f(x) real(8), intent(in) :: x real(8) :: f f = x**4 - 9*x**3 - 2*x**2 + 120*x - 130 end function f function df(x) real(8) :: df df = 4*x**3 - 27*x**2 - 4*x + 120 end function df

Αποτελέσματα εφαρμογής της Newton-Raphson για την -3.0 x(0)= -3.00000000 x(1)= -3.84018265 x(2)= -3.62184706 x(3)= -3.60033544 x(4)= -3.60013528 x(5)= -3.60013527 1.0 x(0)= 1.00000000 x(1)= 1.21505376 x(2)= 1.22853161 x(3)= 1.22858939 x(4)= 1.22858939 4.0 x(0)= 4.00000000 x(1)= 3.97222222 x(2)= 3.97206842 x(3)= 3.97206841 8.0 x(0)= 8.00000000 x(1)= 7.53431373 x(2)= 7.40845667 x(3)= 7.39952108 x(4)= 7.39947746 x(5)= 7.39947746

Προλεγόμενα – Φιλοσοφία Αριθμητικής Ανάλυσης Σε παλαιότερες εποχές ήταν σχεδόν αποδεκτή η άποψη του Carl Jacobi (1805-1840) ότι «Τα μαθηματικά υπηρετούν τίποτε άλλο από την τιμή του ανθρώπινου πνεύματος». Αυτή η όχι μόνο αφηρημένη και θεωρητική τοποθέτηση, αλλά και η κάπως υπερήφανη θέση που ήταν φυσικά αποτέλεσμα όχι μόνο της θεωρητικής ενασχόλησης της πλειονότητας των μαθηματικών της εποχής του, αλλά και της έπαρσης που είχε δημιουργήσει ο «αιώνας της λογικής» στους τότε διανοητές, είχε ως συνέπεια τη χαριτωμένη εκείνη μα καθόλου τιμητική έκφραση ότι «οι μαθηματικοί γνωρίζουν πώς να λύσουν ένα πρόβλημα, αλλά δεν μπορούν να βρουν τη λύση του!» Ένα παράδειγμα θα καθιστούσε σαφέστερη τη σπουδαιότητα της παραπάνω έκφρασης για το σκοπό αυτό, ας υποθέσουμε πως έχουμε ένα ορισμένο πρόβλημα που μετά μια σχετική μαθηματική ανάλυση καταλήγει στην επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης ανωτέρου του 4ου βαθμού, π.χ. 5ου βαθμού. Φυσικά ο μαθηματικός μας μπορεί να ισχυριστεί ότι το πρόβλημα έχει λυθεί και ότι η λύση του δίδεται από τις ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης που προέκυψε. από την έρευνα, δε, που στη συνέχεια κάνει (αναφορικά με τις ρίζες των αλγεβρικών εξισώσεων) βρίσκει ότι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας (D’ Alembert 1717-1783) εξασφαλίζει σε κάθε αλγεβρική εξίσωση ν-οστού βαθμού με συντελεστές πραγματικούς ή μιγαδικούς την ύπαρξη ν ακριβώς ριζών μέσα στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. Το θεώρημα δυστυχώς, όχι μόνο δεν προσφέρει καμία υπόδειξη για τον τρόπο εύρεσης των ριζών αυτών, αλλά στην προκειμένη περίπτωση, των εξισώσεων 5ου βαθμού, ο E. Galois (1811-1832) σε εργασία που συνέγραψε σε ηλικία 21 ετών (περίληψη της οποίας απέστειλε σε φίλο του την παραμονή της μονομαχίας που τον οδήγησε στο θάνατο), απέδειξε με τη βοήθεια της θεωρίας των Ομάδων το αδύνατο της εύρεση τύπου (που να περιέχει μόνο τις γνωστές 4 πράξεις της αριθμητικής και την εξαγωγή ριζών) με τον οποί να εκφράζονται οι ρίζες των αλγεβρικών εξισώσεων ανωτέρω του 4ου βαθμού. Έτσι, λοιπόν, ο μαθηματικός μας βρίσκεται στην ευχάριστη θέση να μας ανακοινώσει ότι η επίλυση του προβλήματός μας δίνεται από την λύση της αλγεβρικής εξίσωσης 5ου βαθμού «μόνο που αγνοεί τον τρόπο εύρεσης αυτής»

Προλεγόμενα – Φιλοσοφία Αριθμητικής Ανάλυσης (Συνέχεια1) Πάντως, ενώ στους περασμένους αιώνες η καλλιέργεια της θεωρητικής πλευράς των μαθηματικών ήταν έντονη, εντούτοις, δεν ήταν λίγοι εκείνοι που συμμερίζοντο τη πίστη του λόρδου Kelvin (1824-1907) στα αριθμητικά αποτελέσματα και ο οποίος συνήθιζε να λέει «δεν έχω ουδεμία ικανοποίηση από τους μαθηματικούς τύπους εκτός εάν αισθάνομαι το αριθμητικό τους μέγεθος». Αυτή η εφαρμοσμένη (κι όχι διαισθητική) πλευρά των μαθηματικών που συνάρπαζε όχι μόνο τον Αρχιμήδη (287 – 212 π.Χ.) αλλά και τον Newton (1643 - 1727) και τον Euler (1707-1781) και αυτόν τον Gauss (1777- 1855) έδωσε τις προϋποθέσεις στον Kepler (1571-1630) για την ρεαλιστική αξιοποίηση των χιλιάδων παρατηρήσεων του Tycho Brache (1546-1601), που στη συνέχεια τον οδήγησαν στην ανακάλυψη των ομώνυμων νόμων της κίνησης των πλανητών, του νόμου της βαρύτητας, που απλοποίησε την μηχανική του σύμπαντος και δαμάστηκε το κοσμικό χάος. Τα συγκλονιστικά αποτελέσματα τα οποία απέρρεαν από τη δυνατότητα όχι μόνο της αποδείξεως της ύπαρξης μιας λύσης αλλά και της ικανότητας προσδιορισμού αυτής, είχαν ως συνέπεια ακριβείς προβλέψεις εκλείψεων ηλίου και σελήνης, εμφάνισης κομητών κλπ., μολονότι ήταν φυσικό να τονίσουν περισσότερο την «Αρχιμήδεια» (εφαρμοσμένη) τάση των μαθηματικών, εντούτοις, τελικά ήταν η «Ευκλείδεια» (θεωρητική-λογική) πλευρά των μαθηματικών που ενδυναμώθηκε. Ο βασικός λόγος ήταν διττός. Πρώτον μεν, διότι λόγω του πλήθους των προβλημάτων και της έκτασής τους, αλλά και λόγω της γενικότητας της μαθηματικής διερεύνησης , δεν ήταν δυνατή η ανεύρεση τύπων σε κάθε περίπτωση, ενώ η δυνατότητα απόδειξης της ύπαρξης λύσεως θεωρητικώς αποδείχθηκε ευχερέστερα. Δεύτερον δε, παραλλήλως με τα προβλήματα εκείνα τα οποία ήταν δυνατή η έκφραση της λύσεως, αυτή οδηγούσε είτε σε αλγορίθμους υπό μορφή σειρών (Euler), είτε, γενικότερα σε διαδικασίες των οποίων το μέγεθος του αριθμητικού λογισμού ήταν υπεράνω τω υπολογιστικών δυνάμεων της εποχής. Το ακόλουθο παράδειγμα είναι εύγλωττο. Έστω η περίπτωση επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος 10 εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους: . Από το Γυμνάσιο γνωρίζουμε ότι αν η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων Α είναι διάφορη του μηδενός, τότε ο κανόνας του Cramer μας προσφέρει τον κάτωθι, κομψό και ελκυστικό (αλλά υπολογιστικώς φοβερό) τύπο έκφρασης της λύσης: (1) με i=1,2,…10 όπου Ai, i=1,2,…,10 συμβολίζει την ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων, που έχει ως i-οστή στήλη τη στήλη του δεύτερου μέλους bi, i=1,2,…,10 (των σταθερών όρων). Συνεπώς, το πρόβλημά μας ανάγεται στον υπολογισμό των 11 αυτών οριζουσών, κάθε μία των οποίων, όταν αναπτυχθεί δίνει 10! = 3 628 800 προσθετέους, κάθε ένας των οποίων δίνεται από ένα γινόμενο 10 αριθμών. Άρα, για τον υπολογισμό μιας και μόνο ορίζουσας, το σύνολο των εμπεριεχομένων πολλαπλασιασμών θα είναι της τάξης περίπου των 36 εκατομμυρίων. Εάν δε απλώς διπλασιάσουμε το πλήθος των εξισώσεων, τότε το πλήθος των πολλαπλασιασμών γίνεται της τάξης των πεντάκις εκατομμυρίων (2.5*1018). Είναι προφανής η θεωρητική και μόνο η αξία του υποτιθέμενου εφαρμόσιμου τύπου (1).

Προλεγόμενα – Φιλοσοφία Αριθμητικής Ανάλυσης (Συνέχεια2) Και το ερώτημα είναι «τι δέον γενέσθαι»; Φυσικά η Αριθμητική Ανάλυση (Α.Α.), αναζητεί βελτιωμένες μεθόδους με τις οποίες μειώνεται κατά το δυνατό το πλήθος των πράξεων. Το επαναστατικό όμως μέσο είναι η παρουσία του ηλεκτρονικού υπολογιστή (Η.Υ.) και η αξιοποίηση του με την Α.Α., την οποία έχει ριζικώς μεταβάλλει. Διότι, δεν πρέπει να λησμονούμε ότι, η πρώτη μεν νεότητα της Α.Α. ανάγεται εις την εποχή του Νεύτωνα (17ος αιώνας) ή δε αποδυνάμωση και ο παραγκωνισμός της επήλθε όχι τόσο λόγω αδυναμίας, αλλά λόγω του απογοητευτικού πλήθους των υπολογισμών που απαιτούνται από τις διαδικασίες της. Έτσι, καθίσταται φανερό γιατί η εμφάνιση του Η.Υ. έδωσε την τεράστια αυτή ώθηση στην Α.Α., η οποία αξιοποιούσα και τις νέες αφηρημένες μεθόδους ανάλυσης (όπως π.χ. τη συναρτησιακή ανάλυση) διέρχεται τώρα μία περίοδος πρωτοφανούς άνθησης και προσφοράς στην εφαρμοσμένη επιστήμη και τεχνολογία. Τα πρόσφατα δε επιτεύγματα της τεχνολογίας είναι απλώς αδιανόητα χωρίς την συμβολή της Α.Α. Το αξιοσημείωτο πάντως για τους μαθηματικούς είναι ότι έτσι εξασφάλισαν την αξιοπιστία ότι μπορούν επιτέλους να βρίσκουν και τις λύσεις των προβλημάτων! (Για να μη θεωρηθεί ότι ήταν μόνο του υπολογιστή η συμβολή η οποία κατέστησε, π.χ. δυνατή την μεγαλειώδη όντως εξερεύνηση του σύμπαντος με τους τεχνητούς δορυφόρους επανερχόμενοι στο παράδειγμα της επίλυσης των 20 γραμμικών εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους, σημειώνουμε ότι επιλέγοντας τη μέθοδο του Cramer για τον υπολογισμό μιας και μόνο ορίζουσας με τη βοήθεια υπολογιστή που εκτελεί 1.000.000 πράξεις/sec, θα απαιτούντο περίπου 1.000 αιώνες για την εκτέλεση των 2.5*1018 πράξεων που προαναφέραμε! Η Α.Α. επινοεί τρόπους με τους οποίους μέσα σε λίγα λεπτά επιλύεται το όλο πρόβλημα). Εάν υποθέσουμε ότι η προ και η κατά των τελευταίο μεγάλο πόλεμο περίοδος, ήταν η περίοδος κύησης της Α.Α., τότε το γενέθλιο της σύγχρονης Α.Α. θα πρέπει να τοποθετηθεί το έτος 1947, όταν στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας (U.C.L.A.) ιδρύθηκε το Ινστιτούτο Αριθμητικής Ανάλυσης. Είναι ενδιαφέρον, επίσης το γεγονός ότι στην Αγγλία, η Οξφόρδη εισήγαγε την Α.Α. στο πρόγραμμά της μετά από μια ολόκληρη δεκαετία (1959), ενώ στην Πατρίδα μας, όχι μόνο σ’ όλα τα Πανεπιστήμιά της έχει εισαχθεί το αντικείμενο της Α.Α., αλλά και σε πλείστες άλλες περιπτώσεις υπάρχει μια εκπληκτική όντως ζήτηση για αριθμητικές μεθόδους και προγραμματισμό Η.Υ. με τον οποίο συνδυάζεται η «φυσική» και εφικτή εφαρμογή της Α.Α.

Προλεγόμενα – Φιλοσοφία Αριθμητικής Ανάλυσης (Συνέχεια3) Ο ορισμός της Α.Α. δεν είναι επακριβώς καθορισμένος. Άλλοι λένε ότι είναι η μελέτη και διαδικασιών προς λήψη προσεγγιστικών προβλημάτων (S. Parter, Comm ACM, 1969, 12, 661-663). Άλλοι ορίζουν ότι είναι η θεωρία κατασκευαστικών μεθόδων της μαθηματικής ανάλυσης (P. Henrici), ενώ ο Hartree λέγει ότι το θέμα της Α.Α. σχετίζεται με την επιστήμη, την τέχνη των αριθμητικών υπολογισμών και ειδικότερα με τις διαδικασίες εκείνες με τις οποίες λαμβάνουμε ορισμένα αριθμητικά αποτελέσματα από ορισμένα αριθμητικά δεδομένα. Είναι ίσως ο δυναμισμός της Α.Α. που αρνείται την αποδοχή των χαλινών του ορισμού... Εμείς, εδώ, θα τονίσουμε την έννοια της προσεγγιστικής λύσης και συνεπώς την ανάγκης ορισμού του σφάλματος προσέγγισης. Επίσης, την ανάγκη εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων, (με την βοήθεια ενός μηχανικού μέσου περιορισμένης ακρίβειας) βάσει μιας προκαθορισμένης διαδικασίας (του αλγορίθμου). Έτσι, έχουμε για την Α.Α., την οποία θα θεωρήσουμε ως την τέχνη του δυνατού και της βέλτιστης στρατηγικής, το εξής τρίπτυχο: α) Αλγόριθμος, β) Αριθμητικός υπολογισμός, γ) Προσδιορισμός σφάλματος. Ο ρόλος του αλγορίθμου είναι βασικός. Στο παρόν θα θεωρούμε ότι ο αλγόριθμος είναι ένα πλήρες και καλώς καθορισμένο σύνολο βημάτων (πράξεων-κατασκευών) για την επίτευξη ενός στόχου (π.χ. την εύρεση της λύσης ενός προβλήματος, ή όμοια την παρασκευή εδέσματος – η περίπτωση «μαγειρικού» αλγορίθμου). Τοιουτοτρόπως, έχουμε αριθμητικούς αλγορίθμους (τα βήματα είναι οι αριθμητικές πράξεις), και μη αριθμητικούς (π.χ. γεωμετρικούς – η Ευκλείδειος γεωμετρία είναι ένα σύνολο αλγορίθμων με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη). Το δικό μας ενδιαφέρον θα συγκεντρωθεί αποκλειστικά στους αριθμητικούς αλγορίθμους, περιπτώσεις των οποίων γνωρίζουμε ήδη από το Λύκειο, όπως π.χ., είναι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του Μ.Κ.Δ., ή ο αλγόριθμος της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού, ή ο αλγόριθμος της απαλοιφής για την επίλυση γραμμικών συστημάτων (τον οποίο αλγόριθμο θα εξετάσουμε λεπτομερώς αργότερα). Οι παραπάνω περιπτώσεις αποτελούν παραδείγματα πεπερασμένων αλγορίθμων, των οποίων η λύση βρίσκεται μετά την εκτέλεση ορισμένων βημάτων. Υπάρχουν όμως και ατέρμονοι αλγόριθμοι, όπως είναι, π.χ. η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας με την βοήθεια του επαναληπτικού τύπου: όπου, ως γνωστόν, ισχύει η σχέση:

Προλεγόμενα – Φιλοσοφία Αριθμητικής Ανάλυσης (Συνέχεια4) ή πάλι, ο υπολογισμός του με την βοήθεια της σειράς Για τους ατέρμονες αλγορίθμους, η βασική μας απαίτηση είναι όπως το σφάλμα της προσεγγιστικής τιμής, λόγω εκτέλεσης πεπερασμένων μόνο βημάτων, ελαττώνεται, όσο αυξάνεται το πλήθος των εκτελούμενων βημάτων, ή για να χρησιμοποιήσουμε ορολογία Α.Α., θα πρέπει ο αλγόριθμος να συγκλίνει, δηλαδή, θα πρέπει, για μεν τη τετραγωνική ρίζα η ακολουθία των αριθμών: να είναι συγκλίνουσα. Για τη σειρά θα πρέπει η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων: να συγκλίνει. Ένα από τα βασικά θέματα της Α.Α. είναι ο προσδιορισμός συνθηκών με τις οποίες ένας δεδομένος αλγόριθμος συγκλίνει. Συναφές θέμα είναι η γνώση της ταχύτητας σύγκλισης (rate of convergence) του αλγορίθμου. Ένα άλλο σπουδαίο θέμα είναι ο προσδιορισμός του μεγέθους του σφάλματος το οποίο μπορεί να δίνεται είτε προσεγγιστικά με ένα ασυμπτωτικό τύπο, είτε με ένα φράγμα (error bound), το οποίο προσδιορίζει προφανώς, την μέγιστη τιμή του. Τέλος, ένα επίσης μεγάλο θέμα είναι η ευστάθεια (stability) ενός αλγορίθμου αναφορικά με την επίδραση σφαλμάτων, είτε στα αρχικά δεδομένα (π.χ. πειραματικά δεδομένα), είτε κατά την διάρκεια της εκτέλεσης των πράξεων (σφάλματα στρογγυλοποίησης – round off errors). Η αδράνεια του αλγορίθμου στα σφάλματα στρογγυλοποιήσεως καλείται αριθμητική ευστάθεια, είναι δε συνάρτηση και του πλήθους των ψηφίων τα οποία χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς. Η ευαισθησία του αλγορίθμου ως προς τις μεταβολές των αρχικών δεδομένων διακρίνεται σε δύο γενικές περιπτώσεις. Η πρώτη σχετίζεται με τη φύση του προβλήματος και αφορά τον τρόπο τοποθέτησης του προβλήματος. Έτσι, ορίζουμε ότι ένα πρόβλημα είναι καλώς τεθείμενο (well-posed) για ένα σύνολο δεδομένων (έστω α), εάν η λύση του έστω Λ(α) , πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. μεταβολή δεδομένων ||δα|| που πληροί την συνθήκη: ||δα||<ε υπάρχει μονοσήμαντη λύση Λ(α+δα). 2. Ισχύει η σχέση: ||Λ(α+δα)-Λ(α)||0 για ||δα||0. (Οι παραπάνω ιδιότητες εξασφαλίζουν την συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα) .

Προλεγόμενα – Φιλοσοφία Αριθμητικής Ανάλυσης (Συνέχεια5) Ο Η δεύτερη περίπτωση σχετίζεται με την συμπεριφορά της λύσης του προβλήματος όταν τα δεδομένα του υφίστανται μικρές μεταβολές. Έτσι λαμβάνουμε τα καλώς συμπεριφερόμενα (well-conditioned) προβλήματα στα οποία μικρές αλλαγές δεδομένων επιφέρουν αντιστοίχως μικρές μόνο αλλαγές στη λύση του προβλήματος. Σε αντίθετη περίπτωση καλούνται κακώς συμπεριφερόμενα (ill-conditioned). Η διαφορά μεταξύ κακώς τεθειμένων και κακώς συμπεριφερόμενων προβλημάτων είναι ότι στα μεν κακώς συμπεριφερόμενα πρόβλημα ενώ είναι δύσκολο να επιλυθεί λόγω αυξημένης ευαισθησίας της λύσης του, εντούτοις μπορεί με κατάλληλο χειρισμό να αντιμετωπισθεί (π.χ. με αύξηση της ακρίβειας των υπολογισμών). Αντιθέτως στο κακώς τεθείμενο πρόβλημα η λύση του είναι άνευ νοήματος (π.χ.ανεξαρτήτως της χρησιμοποιούμενης ακρίβειας η λύση του είναι αδύνατη). Ως παράδειγμα ενός κακώς τεθείμενου προβλήματος, ας πάρουμε το σύστημα (Σ): που έχει προφανώς τη λύση Χ=1, Υ=1. Επιπλέον, ας θεωρήσουμε ότι στη θέση των κλασμάτων θέτουμε τους αντίστοιχους δεκαδικούς αριθμούς (υποθέτοντας ότι εργαζόμαστε με μία ορισμένη υπολογιστική μηχανή). Προφανώς, τα κλάσματα θα εκφραστούν με ένα καθορισμένο πλήθος ψηφίων (με αποκοπή ψηφίων ή στρογγυλοποίησης) οπότε το σύστημα καθίσταται αδύνατον, αφού η δεύτερη εξίσωση θα διαφέρει πάντοτε ελαφρώς της πρώτης, ως προς το δεύτερο μέλος, ενώ τα πρώτα μέλη θα είναι ίσα. Το πρόβλημα είναι σαφώς κακώς τεθειμένο. Τέλος, ως ένα παράδειγμα ενός ill- conditioned προβλήματος, αναφέρουμε την κλασσική περίπτωση του γραμμικού συστήματος, του οποίου ο πίνακας των συντελεστών είναι της κλάσης των πινάκων Hilbert όπου Στην προκείμενη περίπτωση λαμβάνουμε το κάτωθι σύστημα γραμμικών εξισώσεων (με πίνακα συντελεστών τον πίνακα Hilbert διάστασης 3). του οποίου η λύση είναι η: (Χ1, Χ2, Χ3)=(9,-36,30). Εάν τώρα, υποθέσουμε ότι οι πράξεις εκτελούνται με ακρίβεια 2 μόνο σημαντικών ψηφίων τότε η λύση του (Σ1) γίνεται: (Χ1, Χ2, Χ3)=(7,-23,17). Η μεγάλη απόκλιση της λύσης οφείλεται στην μεγάλη αστάθεια του πίνακα Hilbert. Εάν όμως αντί της ακρίβειας των 2 δεκαδικών ψηφίων πάρουμε τα κλάσματα με ακρίβειες 5 δ.ψ. τότε σαφώς η λύση που παίρνουμε πολύ καλύτερη (Χ1, Χ2, Χ3)=(9.00613,-36.03206,30.0303).

Ι. Γεωμετρικώς Απλή γραφική παράσταση (Γ.Π.): 1.1: 1.2: Με τις ακόλουθες Γ.Π.:

Επιστροφή Ι. Γεωμετρικώς Με χρήση της διάσπασης: και αναζήτηση των κοινών σημείων των δύο διαγραμμάτων των συναρτήσεων που στην ουσία είναι οι ρίζες της αρχικής συνάρτησης. Έτσι, για την 1.1 έχουμε τη διάσπαση Με διαγράμματα που παρίστανται στην εικόνα α. Το κοινό σημείο είναι η μοναδική πραγματική ρίζα που έχει η συνάρτηση.Παρόμοια για το 1.2 έχουμε τη Διάσπαση: με διαγράμματα που παρίστανται στην εικόνα β. α β α

ΙΙ. Αναλυτικώς (Ακολουθία Sturm) Για την εξίσωση: προφανώς θα έχουμε: οπότε ορίζουμε κατά τα γνωστά: Εξάλλου, από την ταυτότητα (της ατελούς διαίρεσης) έχουμε: Που εδώ γίνεται: με , Ή, εάν παραλείψουμε τον συντελεστή έχουμε τελικά

ΙΙ. Αναλυτικώς (Ακολουθία Sturm) (Συνέχεια) Όμοια, από την: λαμβάνουμε: Άρα: και τελικά: Έτσι ο πίνακας των πρόσημων θα είναι ο ακόλουθος: που υπολογίζεται ότι είναι x*=1.3247 x φ0(x) φ1(x) φ2(x) φ3(x) Πλήθος Αλλαγών Προσήμου – ∞ – + 2 – 1.6 – 0.25 1 1 ρίζα +∞ Επιστροφή