Μηχανική των Ρευστών Μηχανική ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Εισαγωγή στην Υπολογιστική Ανάλυση Φαινομένων Μεταφοράς με το FEMLAB 3.1 (Μέρος 2) Διδάσκοντες : Ανδρέας Μπουντουβής – Άγγελος Παπαϊωάννου Επιμέλεια : Βενετία Ρήγου – Ανδρέας Στεφαδούρος

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Παράδειγμα 1 Ροή σε αγωγό με απότομη μεταβολή της διαμέτρου του

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Διατύπωση του προβλήματος Ρευστό κινείται σε αγωγό κυκλικής διατομής, ο οποίος διευρύνεται απότομα. Χρησιμοποιώντας το FEMLAB, θα προσομοιωθεί το φαινόμενο σε μόνιμη κατάσταση, όταν το ρευστό έχει πυκνότητα 1kg/m 3 και κινηματικό ιξώδες 1Pa∙s, εισάγεται δε ] στον αγωγό με ταχύτητα 3 m/s. Η επίδραση της βαρύ- τητας θεωρείται αμελητέα. Η σχηματική απεικόνιση του προβλήματος είναι η ακόλουθη : Είσοδος Έξοδος 15 m20 m 4 m 12 m

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 1 : Ρυθμίσεις στον οδηγό πλοήγησης Επιλογή επίλυσης του προβλήματος σε δύο διαστάσεις, αξιοποιώντας την αξονική συμμετρία Θα χρησιμοποιηθεί το μοντέλο ασυμπίεστης ροής Navier-Stokes. Επιλέγονται διαδοχικά : Fluid Dynamics > Incompressible Navier-Stokes > Steady-state analysis, ώστε να μελετηθεί το φαινόμενο σε μόνιμη κατάσταση Θα χρησιμοποιηθεί το μοντέλο ασυμπίεστης ροής Navier-Stokes. Επιλέγονται διαδοχικά : Fluid Dynamics > Incompressible Navier-Stokes > Steady-state analysis, ώστε να μελετηθεί το φαινόμενο σε μόνιμη κατάσταση

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 1 : Ρυθμίσεις στον οδηγό πλοήγησης Εξαρτημένες μεταβλητές είναι το πεδίο ταχύτητας (u,v) και η πίεση p

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Αρχικά ρυθμίζεται η κλίμακα στους άξονες, επιλέγοντας Options > Axes/Grid Settings

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Καθορισμός ελάχιστης και μέγιστης τιμής των αξόνων r και z

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Θα σχεδιασθούν δύο ορθογώνια, τα οποία στη συνέχεια θα ενωθούν για να προκύψει η επιθυμητή γεωμετρία Θα σχεδιασθούν δύο ορθογώνια, τα οποία στη συνέχεια θα ενωθούν για να προκύψει η επιθυμητή γεωμετρία Επιλέγεται Draw > Specify objects > Rectangle

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Εισαγωγή των διαστάσεων για το πρώτο ορθογώνιο Εισαγωγή των συντεταγμένων του γωνιακού σημείου αναφοράς

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Εισαγωγή των διαστάσεων για το δεύτερο ορθογώνιο Αντίστοιχα, για το δεύτερο ορθογώνιο... Εισαγωγή των συντεταγμένων του γωνιακού σημείου αναφοράς

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Επιλέγονται τα R1 και R2 πατώντας Ctrl + A, και χρησιμοποιείται το εικονίδιο συντόμευσης που δηλώνει την ένωση στερεών χωρίων

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Διαγράφεται το εσωτερικό σύνορο χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο εικονίδιο συντόμευσης

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 2 : Σχεδιασμός γεωμετρίας Η γεωμετρία είναι έτοιμη!

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 3 : Ορισμός των παραμέτρων Επιλέγεται Physics > Subdomain Settings

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 3 : Ορισμός των παραμέτρων Εισάγεται η τιμή της πυκνό- τητας και του ιξώδους του ρευστού Επιλέγεται το χωρίο στο οποίο θα ισχύουν οι τιμές των παραμέτρων

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 4 : Επιβολή συνοριακών συνθηκών ΠΡΟΣΟΧΗ! Η αρίθμηση των συνόρων γίνεται αυτόματα από το FEMLAB. Όταν επιλέγεται κάποιο από αυτά, μεταβάλλεται ο χρωματισμός του στην επιφάνεια εργασίας. Ενδεικτικά αναφέρεται πως η αρίθμηση των συνόρων γίνεται ορατή επιλέγοντας Options > Visualization/Selection Settings και ενεργοποιώντας την επιλογή Edge labels.ΠΡΟΣΟΧΗ! Επιλέγεται Physics > Boundary Settings

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 4 : Επιβολή συνοριακών συνθηκών Επιλέγονται τα σύνορα 5, 6, 7 και επιβάλλεται η συνθήκη μη ολίσθησης (No slip) μια και πρόκειται για τα τοιχώματα του αγωγού Επιλέγονται τα σύνορα 5, 6, 7 και επιβάλλεται η συνθήκη μη ολίσθησης (No slip) μια και πρόκειται για τα τοιχώματα του αγωγού

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 4 : Επιβολή συνοριακών συνθηκών Στα σύνορα 1, 3 ορίζουμε την ύπαρξη της αξονικής συμμετρίας του αγωγού (Axial symmetry)

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 4 : Επιβολή συνοριακών συνθηκών Στο σύνορο 2 ορίζεται η πίεση εξόδου ίση με την ατμοσφαιρική (Pressure : P 0 =0)

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 4 : Επιβολή συνοριακών συνθηκών Στο σύνορο 4 ορίζεται η ταχύτητα εισόδου, εισάγοντας την τιμή της στο αντίστοιχο πεδίο (Inflow velocity : v 0 = -3). Tο αρνητικό πρόσημο χρησιμοποιείται γιατί η φορά του ρευστού είναι προς τα κάτω.

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 5 : Κατασκευή πλέγματος διακριτοποίησης Κατασκευάζεται και πυκνώνεται το πλέγμα διακριτοποίησης, επιλέγοντας διαδοχικά τα αντίστοιχα εικονίδια συντόμευσης

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 5 : Κατασκευή πλέγματος διακριτοποίησης Επειδή το grad(u) είναι πολύ μεγάλο στο σημείο της απότομης αύξησης της διατομής, πυκνώνουμε περαιτέρω τη συγκεκριμένη περιοχή χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο εικονίδιο συντόμευσης.

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 6 : Επιλογή επιλύτη Επιλέγεται Solve > Solve Parameters, και για να δούμε την κατανομή της ταχύτητας σε μόνιμη κατάσταση, επιλέγεται ο Stationary nonlinear solver μια και πρόκειται για μη γραμμικό πρόβλημα.

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική …οπότε χρησιμοποιώντας το εικονίδιο συντόμευσης για τον υπολογισμό της λύσης, προκύπτει η αντίστοιχη μορφή του πεδίου ταχύτητας... Βήμα 6 : Επιλογή επιλύτη

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 7 : Επίλυση προβλήματος

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων Επιλέγοντας Plot Parameters, εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου απ’ όπου επιλέγεται το είδος της απεικόνισης που θέλουμε για τη μορφή της λύσης Για τη γραφική επεξεργασία των αποτελεσμάτων χρησιμοποιείται το μενού Postprocessing Για τη γραφική επεξεργασία των αποτελεσμάτων χρησιμοποιείται το μενού Postprocessing

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων Ας απεικονίσουμε τη μορφή των ροϊκών γραμμών στον αγωγό (Streamline)

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων Εισαγωγή του αριθμού των σημείων απ’ όπου θα ξεκινούν οι ροϊκές γραμμές Επιλέγεται Streamline, και στο πεδίο Predefined quantities εισάγεται Velocity field

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων ΠΡΟΣΟΧΗ! Μην ξεχάσετε να επιλέξετε τη μορφή της απεικόνισηςΠΡΟΣΟΧΗ!

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων... και ιδού το αποτέλεσμα! Είναι εμφανής ο σχηματισμός δινών στα τοιχώματα του αγωγού...

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων Το πεδίο ταχύτητας κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο απέχει 10m από την έξοδο, υπολογίζεται επιλέγοντας Postprocessing > Cross-section plot parameters AB

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων Επειδή πρόκειται για απεικόνιση μεγέθους κατά μήκος ευθύγραμμου τμήματος, επιλέγεται Line/Extrusion Plot. Οι ρυθμίσεις καθορίζονται από το μενού Line/Extrusion

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων Το προς απεικόνιση μέγεθος είναι το πεδίο ταχύτητας (Velocity field) Εισαγωγή του μεγέθους που θα αναπαριστάται στον οριζόντιο άξονα ΣΗΜΕΙΩΣΗ Arc-length είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒΣΗΜΕΙΩΣΗ

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων ΣΗΜΕΙΩΣΗ (r 0, z 0 ) και (r 1, z 1 ) είναι οι συντεταγμένες των σημείων απ’ όπου ξεκινάει και καταλήγει το ευθύγραμμο τμήμα, αντιστοίχωςΣΗΜΕΙΩΣΗ

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Βήμα 8 : Γραφική επεξεργασία αποτελεσμάτων... και το αποτέλεσμα : η κατανομή της ταχύτητας του ρευστού ομοιάζει με παραβολική, όπως αναμένεται για στρωτή ροή σε αγωγό κυκλικής διατομής.

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Η ορθότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την επεξεργασία με το πακέτο FEMLAB επιβεβαιώνεται : 1. με περαιτέρω πύκνωση του πλέγματος διακριτοποίησης : παρατηρούμε πως αύξηση του αριθμού των στοιχείων (elements) δεν επιφέρει αλλαγή στη λύση, επομένως τα λη- φθέντα αποτελέσματα θεωρούνται αποδεκτά. 2. συγκρίνοντας τη λύση που προκύπτει χρησιμοποιώντας το FEMLAB, με αναλυτικές (προσεγγιστικές) σχέσεις (Α.Παπαϊωάννου : «Μηχανική των Ρευστών, Τόμος ΙΙ», Κεφ. 4). Εφαρμόζοντας την εξίσωση μηχανικής ενέργειας μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του αγωγού (1), υπολογίζεται η τιμή της πίεσης εισόδου. Η τιμή αυτή συγκρίνεται με την αντίστοιχη που προκύπτει από την επεξεργασία με το FEMLAB, και παρατηρούμε πως Τα αποτελέσματα βρίσκονται σε ικανοποιητική συμφωνία (απόκλιση περίπου 7%). Σχόλια h l : το ύψος του συνόλου των απωλειών ενέργειας της ροής που συμβαίνουν στον αγωγό. Σημειώνεται πως οι απώλειες που υπολογίσθηκαν αφορούν στο πρώτο και δεύτερο τμήμα του αγωγού, καθώς επίσης και στη διαστολή της σωλήνωσης. : (1)

Μηχανική των Ρευστών Μηχανική Προτάσεις Συμπληρωματικά, θα μπορούσαν να εξετασθούν οι ακόλουθες περιπτώσεις : 1. επίδραση του λόγου των διατομών στην κατανομή της ταχύτητας 2. επίδραση του αριθμού Re στη μορφή της λύσης 