Άσκηση 1γ: α) υπολόγισε τον τρέχοντα μέσο όρο για Κ = 40, με πρόσθεση μηδενικών στις άκρες β) γραφική παράσταση: X(t i ) μαζί με Y(t i )

π.χ. Κ=1 ) 2Κ+1 = 3 {x,y,z} = {1/3,1/3,1/3} (για μεγάλες ΧΣ, ListCorrelate είναι πιο γρήγορα από Do[Sum[…]…]: FFT !)

p = 0, ή p = μ καμμία πρόσθεση πρόσθεση στη δεξιά πλευρά πρόσθεση στην αριστερά πλευρά πρόσθεση αριστερά και δεξιά

Άσκηση 1δ: α) υπολόγισε το υπόλοιπο (residual) β) γραφική παράσταση της R(t i )

γραμμικό φιλτράρισμα (ii): π.χ. s = 0, q = 1, a r =  (1-  ) r : εκθετική εξομάλυνση (exponential smoothing) όπου 0 <  < 1 μια σταθερά (ελεύθερη παράμετρος) αφού έχουμε πάλι ένα weighted (ανισοβαρή) μέσο όρο  0.8  0.5  0.2  0.02 r a r (log !)

 0.02   0.2 εκθετική εξομάλυνση (exponential smoothing)

X(ti) και Y(ti) τάση (  =0.02) R(ti)=X(ti)-Y(ti) περιοδικότητα και θόρυβος εκθετική εξομάλυνση (exponential smoothing)

Άσκηση 2 εφαρμόστε την εκθετική εξομάλυνση στην X(t i ) της άσκησης 1 για α = 0.02 γραφική παράσταση, και μαζί με την αρχική ΧΣ X(t i )

Ανάλυση Ι.2: Μέθοδος των διαφορών (differencing) αναλογία: - αν f(t) = a + b*t (γραμμική τάση), τότε df/dt = b, - αν f(t) = a + b*t 2 (μη-γραμμική τάση), τότε d 2 f/dt 2 = 2b ) η παράγωγος αφαιρεί τις τάσεις ! Ορισμός: τελεστής διαφόρισης (difference operator) πρώτης τάξης δεύτερης τάξης

ΧΣ των διαφορών (differenced time-series): έτσι χάνουμε ένα σημείο (το τελευταίο), η ΧΣ είναι πιο μικρή η τάση απαλείφθηκε, η περιοδικότητα διατηρείται (μειώθηκε το πλάτος) αυξήθηκε ο θόρυβος

γιατί αυξήθηκε ο θόρυβος; An E[X]=0, E[Y]=0 και Χ,Υ ανεξάρτητες Var[X-Y] = E[(X-Y) 2 ] = Ε[Χ 2 ]-2E[X]E[Y]+E[Y 2 ] = Var[X]+Var[Y] αν Var[X] = Var[Y] =  2  (X-Y) = 2 1/2 

το υπόλοιπο (residual), R(t i ) = X(t i ) - Y(t i ): το υπόλοιπο συμπίπτει σχεδόν με την αρχική ΧΣ, αυξήθηκε όμως ο θόρυβος R(t i ) = X(t i ) – [X(t i+1 ) - X(t i )] = 2X(t i )-X(t i+1 ) η μέθοδος των διαφορών είναι καλή για την απαλειφή των τάσεων, το υπόλοιπο που παράγει δεν είναι όμως χρήσιμο

διαφορά δεύτερης τάξης και η τάση και η περιοδικότητα απαλείφθηκαν, έμεινε μόνο ο καθαρός θόρυβος Η μέθοδος των διαφορών είναι καλή για τον προσδιορισμό (extraction) του θορύβου, και την μετατροπή των μη-στάσιμων σε στάσιμες ΧΣ, αυξάνει όμως το πλάτος του θορύβου