Κέντρο μάζας σώματος Έστω ότι ασκούμε σ’ ένα σώμα που βρίσκεται σε λείο οριζόντιο τραπέζι μια ώθηση και κατόπιν το αφήνουμε ελεύθερο να ολισθήσει στο τραπέζι. Πατήστε εδώ. «Υπακούοντας» στο 1ο νόμο του Νεύτωνα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση .

Ας κάνουμε όμως το ίδιο σε μια μπουκάλα . Η μπουκάλα δεν δέχεται καμία δύναμη όμως δεν κινούνται όλα τα σημεία της ευθύγραμμα και ομαλά. Υπάρχει ένα σημείο της μπουκάλας το οποίο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Αυτό είναι το κέντρο μάζας. Όπως προβλέπουμε την θέση και την ταχύτητα ενός υλικού σημείου από την συνισταμένη των δυνάμεων , έτσι θα προβλέψουμε την θέση και την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Κάτι είναι κι’ αυτό.

Που βρίσκεται όμως το κέντρο μάζας ; Την απάντηση δίνει η Γεωμετρία. Τα δύο σώματα του σχήματος έχουν κέντρο μάζας το σημείο Κ για το οποίο : Κ m2 m1 r1 r2 m1r1 = m2r2 Το κέντρο μάζας ομογενούς και ισοπαχούς ράβδου είναι το μέσον της. Μ

Το κέντρο μάζας κυκλικού δίσκου είναι το κέντρο του κύκλου. Κ Το ίδιο ισχύει στο δαχτυλίδι. Μόνο που αυτή τη φορά το κέντρο μάζας δεν είναι σημείο του σώματος. Κ

Το κέντρο μάζας πλάκας σχήματος παραλληλογράμμου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Ο Το κέντρο μάζας τριγωνικής πλάκας είναι το σημείο τομής των διαμέσων του ( βαρύκεντρο ). G

Το κέντρο μάζας συρμάτινου τριγώνου είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του. Ο Το κέντρο μάζας σφαίρας είναι το κέντρο της. Κ

Κύλιση τροχού Κλασική περίπτωση σύνθετης κίνησης είναι η κύλιση του τροχού. Το κέντρο του τροχού ( όχι κατ’ ανάγκην το κέντρο μάζας ) κάνει ευθύγραμμη κίνηση με ταχύτητα παράλληλη στην επιφάνεια κύλισης. Τα άλλα σημεία συμμετέχουν στην μεταφορική κίνηση ενώ ταυτόχρονα περιστρέφονται περί το κέντρο.

Έτσι κάθε σημείο «έχει» δύο ταχύτητες . Την ταχύτητα λόγω περιστροφής Την ταχύτητα του κέντρου του τροχού Πόση είναι όμως η υπ ;

Θα την υπολογίσουμε στο σημείο Α που αυτή τη στιγμή ακουμπά στο έδαφος. Αυτό έχει ταυτόχρονα ταχύτητες και Η ολική ταχύτητα του Α είναι : υΑ = υ – υπ , Αν όμως ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση ( δεν φρενάρει , ούτε σπινάρει ) τότε υΑ= 0 , διότι έχει την ίδια ταχύτητα με το έδαφος.

Άρα : υ = υπ Η ταχύτητα περιστροφής υπ = ω.R Επομένως : Επειδή όμως υΑ = 0 έχουμε ότι υ – υπ = 0 Άρα : υ = υπ Η ταχύτητα περιστροφής υπ = ω.R Επομένως : Όταν ένας τροχός «φρενάρει» τότε υ > υπ (υ > ω.R ) ενώ όταν «σπινάρει» υ < υπ (υ < ω.R )

x A S Όταν ένας τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση τότε η μετατόπιση του κέντρου του είναι ίση με το τόξο που διαγράφει οποιοδήποτε σημείο της περιφερείας του. Δηλαδή : x = S

Προσδιορισμός ταχύτητας των σημείων του τροχού. Α Β

Α Γ

Α Δ

Ας δούμε τώρα την χρονική εξέλιξη της ταχύτητας ενός σημείου του τροχού. Καθώς και την τροχιά του.

Σχέση επιτάχυνσης τροχού και γωνιακής επιτάχυνσης Αν το κέντρο του κυλιόμενου τροχού κινείται με επιτάχυνση a

Αν η ταχύτητα αυξάνεται , τότε αυξάνεται το ω και η γωνιακή επιτάχυνση έχει την φορά του

Αν η ταχύτητα μειώνεται , τότε μειώνεται το ω και η γωνιακή επιτάχυνση έχει αντίθετη φορά από το