ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΜIΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ή ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Όπως και στην περίπτωση της μακροσκοπικής ανάλυσης, έτσι και στη διαφορική ανάλυση απαιτείται η επαναδιατύπωση των νόμων της φυσικής έτσι ώστε αυτοί να μπορούν να εφαρμοστούν σε διαφορικούς όγκους ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται με το Διαφορικό Θεώρημα Μεταφοράς που έχει την παρακάτω γενική μορφή: Διαφορικός Ρυθμός μεταβολής της ιδιότητας Ν του ρευστού στον όγκο ελέγχου Διαφορικός Ρυθμός καθαρής εκροής της ιδιότητας Ν του ρευστού διαμέσου της διαφορικής επιφάνειας Διαφορικό Σύστημα Διαφορικός Ολικός Ρυθμός μεταβολής της ιδιότητας Ν του ρευστού ανά μονάδα όγκου Απειροστά μικρός διαφορικός όγκος ελέγχου έτσι ώστε το ρευστό να δύναται να θεωρηθεί ως συνεχές μέσο = ποσότητα της ιδιότητας Ν ανά μονάδα μάζας ρευστού = ποσότητα της ιδιότητας Ν ανά μονάδα όγκου

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Εφαρμόζοντας το διαφορικό θεώρημα μεταβολής για την ιδιότητα της μάζας, προκύπτει: Η τιμή της ιδιότητας μάζας ανά μονάδα μάζας είναι προφανώς μονάδα Ο ολικός ρυθμός μεταβολής της μάζας ανά μονάδα όγκου εξαιτίας της Διατήρησης Μάζας πρέπει να είναι ίσος με μηδέν Διαφορική εξίσωση Συνέχειας “Στον διαφορικό όγκο ελέγχου, το άθροισμα του καθαρού ογκομετρικού ρυθμού εκροής μάζας και του ογκομετρικού ρυθμού συσσώρευσης μάζας ισούται με μηδέν” Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός συσσώρευσης μάζας Καθαρός Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός εκροής μάζας

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Διαφορική μορφή Η εξίσωση αυτή είναι γενική και ισχύει για όλα τα πεδία ροής Διανυσματική μορφή Για ασυμπίεστο ρευστό ισχύει: Eξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστο ρευστό

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΑΛΛΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΑΛΛΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ζ Σε κυλινδρικές Συντεταγμένες P(r,θ,z) P(x,y,z) z r θ z x Χ θ φ y r Σε σφαιρικές Συντεταγμένες P(r,θ,φ) Υ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ Εφαρμόζοντας το διαφορικό θεώρημα μεταβολής για την ιδιότητα της ορμής, προκύπτει: Η τιμή της ιδιότητας της ορμής ανά μονάδα μάζας είναι ίση με το διάνυσμα της ταχύτητας Ο ολικός ρυθμός μεταβολής της ορμής ανά μονάδα όγκου είναι ίσος με το διάνυσμα της δύναμης ανά μονάδα όγκου σύμφωνα με τον 1ο νόμο κίνησης του Νεύτωνα Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός μεταβολής ορμής στον διαφορικό όγκο ελέγχου Καθαρός Ογκομετρικός διαφορικός ρυθμός εκροής ορμής Διαφορική εξίσωση ορμής

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΡΜΗΣ Επειδή από εξίσωση συνέχειας ισχύει: Διαφορική εξίσωση ορμής

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΡΜΗΣ Διάνυσμα Δύναμης ανά μονάδα όγκου ρευστού Διάνυσμα επιτάχυνσης Η ανωτέρω διανυσματική εξίσωση αναλύεται σε τρεις συνιστώσες στο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Ζ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Το διάνυσμα της δύναμης ανά μονάδα όγκου αποτελείται από τρεις όρους: α) Δύναμη Βαρύτητας β) Δύναμη Πίεσης γ) Δύναμη Ιξώδους Δύναμη Βαρύτητας Υ Ζ χ Διαφορικός όγκος ελέγχου Όπου, gx, gy, gz είναι οι συνιστώσες της επιτάχυνσης της βαρύτητας στους τρεις άξονες Χ, Υ, Ζ του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Ανάπτυγμα Σειράς Taylor Δύναμη Πίεσης Υ Ζ χ i, j, k είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες Χ, Υ, Ζ αντιστοίχως

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Δύναμη Ιξώδους Υ Ζ χ Φαίνονται μόνο οι τάσεις που διευθύνονται στον άξονα Χ Ομοίως

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΟΓΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Συνεπώς,

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΣΕ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Z Γενικευμένη Διανυσματική Εξίσωση Ορμής

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά r Κατά θ Στον άξονα Ζ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά r Κατά θ Κατά φ

ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER-STOKES ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ-ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ (ρ και μ σταθερά) ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER_STOKES ΣΕ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Z Γενικευμένη Διανυσματική Εξίσωση

ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER-STOKES ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά θ Στον άξονα Ζ

ΕΞΙΣΩΣΗ NAVIER_STOKES ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Κατά θ Κατά φ

ΕΞΙΣΩΣΗ EULER ΓΙΑ ΑΤΡΙΒΗ ΡΟΗ Σε περίπτωση ατριβούς ροής (μ=0), η εξίσωση Navier-Stokes παίρνει τη μορφή της εξίσωσης Euler Στον άξονα Χ Στον άξονα Υ Στον άξονα Z Γενικευμένη Διανυσματική Εξίσωση Euler