Εκπαιδευτής: Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Γραμμική και Μη Γραμμική Κίνηση: Θέμα Εργασίας Θερινό Σχολείο Φυσικής: Oμάδα Α Μαρία Πισιμίση, Τάκης Λάζος, Γιώργος Φιλιππόπουλος 28 Ιουνίου – 1η Ιουλίου, 2010, Εστία Επιστημών Πάτρας Εκπαιδευτής: Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ; 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ; 2. ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ) 3. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΔΥΟ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ 4. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α) ΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Β) ΔΥΟ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΥΘΕΙΑ ή ΚΑΜΠΥΛΗ ΤΡΟΧΙΑ ΔΕΝ ΣΥΝΙΣΤΟΥΝ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ή ΜΗ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΕΧΟΥΜΕ ΟΤΑΝ Η ΔΥΝΑΜΗ ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ F = ±k·x

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (F = -k·x) Η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ω ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΣΤΑΘΕΡΗ, ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

ΧΩΡΟΣ ΦΑΣΕΩΝ v x Δύο διαστάσεις στο χώρο των φάσεων (χ, υ) Περιοδικότητα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΜΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ (F = k·x) Δύο διαστάσεις στο χώρο των φάσεων (χ, υ) Μη περιοδικότητα

2 ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Φασικός χώρος: Τέσσερεις διαστάσεις (χ1, χ2, υ1, υ2 ) Το σχήμα που προκύπτει είναι ελλειψοειδές εκ περιστροφής στον τετραδιάστατο χώρο Δύο συχνότητες: ω1, ω2 π.χ. : Για προκύπτει

Ποια είναι η γενική λύση του προβλήματος; Ισχύει η Αρχή της Επαλληλίας στα γραμμικά συστήματα, ένεκα της οποίας η λύση γράφεται: Για να ικανοποιούνται, όμως, οι εξισώσεις κίνησης που συνδέουν μεταξύ τους τα x1 και x2 : Β1 = Α2 , Β2 = Α1 . Άρα :

Η ολική ενέργεια αποτελεί μία σταθερά (ολοκλήρωμα) της κίνησης Τι θα λέγατε να βλέπαμε την κίνηση σαν μια τροχιά στις 4 διαστάσεις και να παίρναμε «τομές» της τροχιάς με το επίπεδο x2 ,y2 κάθε χρονική στιγμή (tk) που x1(tk) = 0; Το σχήμα πάνω στο οποίο γίνεται η κίνηση λέγεται «τόρος»

Αριστερά: Κίνηση περιοδικής τροχιάς, στην περίπτωση που ω1/ω2 = ρητός αριθμός. Ποιος μπορεί να είναι αυτός στην εικόνα μας; Δεξιά: Κίνηση σχεδόν - περιοδικής τροχιάς, στην περίπτωση που ω1/ω2 = άρρητος. Τι περιμένετε ότι θα κάνει η τροχιά στην περίπτωση αυτή;

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Όταν η γωνία είναι πολύ μικρή, η εξίσωση προσεγγίζεται από γραμμική ταλάντωση:

Ας απομακρυνθούμε τώρα από το κέντρο των αξόνων: Ερώτημα 3ον: (α) Τι παρατηρείτε στην κάτωθι εικόνα που εμφανίζεται; (β) Πώς θα μπορούσατε να την σχεδιάσετε, χωρίς να λύσετε την εξίσωση; (γ) Πως συνδέετε τα «δομικά στοιχεία» της εικόνας με την φυσική συμπεριφορά που χαρακτηρίζει το εκκρεμές;

Eπιφάνεια τομών (y(tk)=0) για ε =0.0 Ένα σύστημα δύο συζευγμένων μη γραμμικών ταλαντωτών Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων στον υπολογιστή: Eπιφάνεια τομών (y(tk)=0) για ε =0.0 Οι παρατηρούμενες καμπύλες δεν είναι ελλείψεις. Η συχνότητα εξαρτάται από το πλάτος ταλάντωσης. Κάθε καμπύλη αντιστοιχεί σε διαφορετική συχνότητα.

Ένα τρίτο είδος τροχιάς εμφανίζεται: Η χαοτική τροχιά! Προσέξτε τι δείχνει η μεγέθυνση του σχήματος στην περιοχή αυτή! Βλέπετε την χαοτική περιοχή; Τι άλλο βλέπετε; Eπιφάνεια τομών για ε =0.02 Ένα τρίτο είδος τροχιάς εμφανίζεται: Η χαοτική τροχιά!

Τι θα γίνει αν αυξήσουμε τη σύζευξη μεταξύ των δύο ταλαντωτών; Επιφάνεια τομών για ε = 0.2

Μια αναλυτική μελέτη αποκαλύπτει την πολυπλοκότητα της κίνησης: Ερώτημα 4ο: Βλέπετε πως τα «δομικά» συστατικά των γραμμικών συστημάτων εμφανίζονται γενικά στα μη γραμμικά συστήματα;