Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ιστορικά 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων CnH2n+2 1850 Cayley-De Morgan-Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (1) Ορισμός: σύνολο κορυφών και ακμών Συμβολισμός: G(V,E), G=(V,E), (V(G),E(G)), (n,m), (p,q) n: τάξη-order m: μέγεθος-size Πεπερασμένος γράφος: n, m πεπερασμένα Άπειρος γράφος Ειδικές περιπτώσεις: n=0: κενός-empty n=1: ασήμαντος-trivial m=0: μηδενικός-null (Nn) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (2) Τερματικά σημεία και προσπίπτουσα ακμή Γειτονικά σημεία – ανεξάρτητα σημεία Γειτονιά κορυφής (σύνολο γειτονικών κορυφών) Ν(v) Βαθμός κορυφής – degree [d(v)=|N(v)|] Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γράφου d(G), D(G) Τακτικοί γράφοι (regular): Κυκλικός γράφος (Cn): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός k=3) Πλατωνικοί γράφοι (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (3) Απομονωμένη κορυφή – isolated d(v)=0 Εκκρεμής κορυφή – pendant d(v)=1 Συνδεδεμένες συνιστώσες (k) Συνδεδεμένος γράφος Συνδεδεμένος γράφος κατά ελάχιστο τρόπο Σειρά – rank (r=n-k) Μηδενικότητα – nullity (μ=m-n-k) Βρόχος, παράλληλες ακμές Απλός γράφος, ψευδογράφος, πολυγράφος, υποκείμενος, κατευθυνόμενος/προσανατολισμένος D(V,A) και τόξα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (4) Λήμμα των χειραψιών (Σd(v)=2|E|) Πόρισμα για τακτικούς γράφους (|v|*k=2*|E|) Θεώρημα: Το πλήθος των περιττών κορυφών είναι άρτιο Γραμμικός γράφος L(G) Πλήρης γράφος Κn Κλίκα γράφου, αριθμός κλίκας (τάξη) Θεώρημα: Ένας πλήρης γράφος έχει n(n-1)/2 ακμές Θεώρημα: n-k<=m<=(n-k)(n-k+1)/2 Πόρισμα: κάθε απλός γράφος με (n-1)(n-2)/2 ακμές είναι συνδεδεμένος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (5) Ζυγισμένος γράφος, βάρος ακμής Ισομορφικοί γράφοι, ίσοι γράφοι – επιγραφή/ετικέτα Θεώρημα: Το πλήθος των διαφορετικών γράφων με n κορυφές και m ακμές είναι comb(n(n-1)/2,m) Πόρισμα: Το πλήθος των διαφορετικών γράφων με n κορυφές είναι 2^[n(n-1)/2] Υπογράφος, υπεργράφος, ζευγνύων υπογράφος, επηρεασμένος από σύνολο κορυφών/ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (1) Ένωση – union (G1UG2) Τομή – intersection (G1∩G2) Άθροισμα δακτυλίου – ring sum Συμπλήρωμα – complement Διαγραφή κορυφής/ακμής – deletion (G-{e}, G-{v}) Ανταλλαγή ακμών – interchange Διάσπαση κορυφής – split Αποκόπτουσα κορυφή, σημείο άρθρωσης – articulation point Αποκόπτουσα ακμή, γέφυρα - bridge, ισθμός Δισυναφής – bicoherent, διασυνδεδεμένος – biconnected Σύμβολα αθροίσματος δακτυλίου, συμπληρώματος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (2) Σύνδεση, άθροισμα – join, sum Τροχοειδής – wheel γράφος (Ν1+Cn-1=Wn) Διμερής, διγράφος, πολυμερής γράφος, πλήρης διμερής, πλήρης πολυμερής (αστεροειδής Κ1,n) Καρτεσιανό γινόμενο G1xG2 Λεξικογραφικό γινόμενο G1[G2] Συγχώνευση κορυφών – fusion/merge Υποδιαίρεση ακμής – subdivision ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι Και Γράφοι Αλγοριθμική θεωρία γράφων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποθήκευση Γράφων Στατικές αναπαραστάσεις Πίνακας κορυφών – adjacency matrix Πίνακας προσπτώσεων – incidence matrix Δυναμικές αναπαραστάσεις Λίστες ακμών – edge lists (για αραιούς γράφους) Λίστες γειτνίασης ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (1) Μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων Γραφική ακολουθία, πραγματοποίηση ακολουθίας, απλή γραφική ακολουθία Κανόνες Μη αρνητικές τιμές Πλήθος περιττών βαθμών άρτιο Τιμές μικρότερες από n Παράδειγμα 2,2,2,2,2,2 Θεώρημα: Μια ακολουθία d1,d2,…,dn είναι γραφική, αν είναι γραφική η d2-1,d3-1,…,dd1+1-1,dd1+2,…,dn ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (2) Αλγόριθμος Αν κάποιο d>n-1  OXI Αν όλα μηδενικά  OXI Αν κάποιο αρνητικό  OXI Αναδιάταξη της ακολουθίας ώστε μη αύξουσα Διαγράφεται ο πρώτος όρος (d1) και αφαιρείται μονάδα από επόμενους d1 όρους Πήγαινε στο Βήμα 2 Παράδειγμα 5,4,4,3,2,1,1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ακολουθία Βαθμών (3) Θεώρημα: Μια ακολουθία d1,d2,…,dn είναι γραφική αν και μόνο αν Σdi είναι άρτιο και για κάθε 1<=k<=n-1 ισχύει: Σ1<=i<=kdi<=k(k-1)+Σ1<=k+1<=nmin(k, di) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων