6 Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Γεωδαιτικό datum και δίκτυα

Γεωδαιτικές συντεταγμένες και γεωδαιτικό datum γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος , γεωδαιτικό ύψος h. Ελειψοειδές αναφοράς: από περιστροφή έλλειψης γύρω από το μικρό ημιάξονα

Γεωδαιτικές συντεταγμένες και γεωδαιτικό datum γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος , γεωδαιτικό ύψος h. Ελειψοειδές αναφοράς: από περιστροφή έλλειψης γύρω από το μικρό ημιάξονα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς: αρχή = κέντρο ελλειψοειδούς αναφοράς 3ος άξονας = στην κατεύθυνση του μικρού ημιάξονα 1ος άξονας = να περιέχεται στο μεσημβρινό του Greenwitch.

Γεωδαιτικές συντεταγμένες και γεωδαιτικό datum γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος , γεωδαιτικό ύψος h. Ελειψοειδές αναφοράς: από περιστροφή έλλειψης γύρω από το μικρό ημιάξονα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς: αρχή = κέντρο ελλειψοειδούς αναφοράς 3ος άξονας = στην κατεύθυνση του μικρού ημιάξονα 1ος άξονας = να περιέχεται στο μεσημβρινό του Greenwitch. Παράμετροι ελλειψοειδούς αναφοράς: ημιάξονες a και b, (ή a και εκκεντρότητα ελλειψοειδούς )

Γεωδαιτικές συντεταγμένες και γεωδαιτικό datum γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος , γεωδαιτικό ύψος h. Ελειψοειδές αναφοράς: από περιστροφή έλλειψης γύρω από το μικρό ημιάξονα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς: αρχή = κέντρο ελλειψοειδούς αναφοράς 3ος άξονας = στην κατεύθυνση του μικρού ημιάξονα 1ος άξονας = να περιέχεται στο μεσημβρινό του Greenwitch. Παράμετροι ελλειψοειδούς αναφοράς: ημιάξονες a και b, (ή a και εκκεντρότητα ελλειψοειδούς ) γεωδαιτικό datum = σύστημα αναφοράς + παράμέτροι ελλειψοειδούς a και b (έννοια ευρύτερη από το σύστημα αναφοράς) Οι γεωδαιτικές συντεταγμένες λ, , h εξαρτώνται από τη επιλογή του γεωδαιτικού datum

Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων P

P0 = κάθετη προβολή του P στο ελλειψοειδές αναφοράς (h 0) Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων P P0 P0 = κάθετη προβολή του P στο ελλειψοειδές αναφοράς (h 0) = ακτίνα καμπυλότητας της κάθετης τομής στο P0 = μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο ελλειψοειδές αναφοράς στο P

x0 = συντεταγμένες της προβολής P0 (h = 0) Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων P m x0 P0 Συνιστώσες του : x0 = συντεταγμένες της προβολής P0 (h = 0)

x0 = συντεταγμένες της προβολής P0 (h = 0) Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων P m x0 P0 Συνιστώσες του : x0 = συντεταγμένες της προβολής P0 (h = 0) Συντεταγμένες x του P :

x0 = συντεταγμένες της προβολής P0 (h = 0) Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων P m x0 P0 Συνιστώσες του : x0 = συντεταγμένες της προβολής P0 (h = 0) Συντεταγμένες x του P : Εξάρτηση των καρτεσιανών συντεταγμένων από τις γεωδαιτικές q = [λ  h]T αλλά και από τις παραμέτρους του ελλειψοειδούς αναφοράς a και b

Aντίστροφη σχέση : δεν υπάρχουν απλές αναλυτικές σχέσεις!

Aντίστροφη σχέση : δεν υπάρχουν απλές αναλυτικές σχέσεις!

Aντίστροφη σχέση : δεν υπάρχουν απλές αναλυτικές σχέσεις!

Aντίστροφη σχέση : δεν υπάρχουν απλές αναλυτικές σχέσεις! μήκος λ : ύψος h : (αν προηγηθεί ο υπολογισμός του  ) (προβλήματα στην περιοχή του γεωδαιτικού ισημερινού όπου x3  0, sin  0 )

Aντίστροφη σχέση : δεν υπάρχουν απλές αναλυτικές σχέσεις! μήκος λ : ύψος h : (αν προηγηθεί ο υπολογισμός του  ) (προβλήματα στην περιοχή του γεωδαιτικού ισημερινού όπου x3  0, sin  0 ) πλάτος  : επιλύοντας με διαδοχικές προσεγγίσεις τη σχέση με αρχική τιμή στο δεξιό σκέλος όπου e = δεύτερη εκκεντρότητα

Aντίστροφη σχέση : Aλγόριθμος Φωτίου:

Διαστημική εποχή : εγκατάσταση παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς.

Διαστημική εποχή : εγκατάσταση παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς. Δορυφορικό σύστημα προσδιορισμού θέσης GPS: γεωδαιτικό σύστημα WGS84 datum WGS84: αρχή  κέντρο μάζας της γης, 3oς άξονας  μέση θέση άξονα περιστροφής της γης

Διαστημική εποχή : εγκατάσταση παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς. Διαστημική εποχή : εγκατάσταση παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς. Δορυφορικό σύστημα προσδιορισμού θέσης GPS: γεωδαιτικό σύστημα WGS84 datum WGS84: αρχή  κέντρο μάζας της γης, 3oς άξονας  μέση θέση άξονα περιστροφής της γης IERS = Interational Earth Rotation and Reference System Service κοινή Υπηρεσία των IAG (International Association of Geodesy) IAU (International Astronomical Union)

Διαστημική εποχή : εγκατάσταση παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς. Διαστημική εποχή : εγκατάσταση παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς. Δορυφορικό σύστημα προσδιορισμού θέσης GPS: γεωδαιτικό σύστημα WGS84 datum WGS84: αρχή  κέντρο μάζας της γης, 3oς άξονας  μέση θέση άξονα περιστροφής της γης IERS = Interational Earth Rotation and Reference System Service κοινή Υπηρεσία των IAG (International Association of Geodesy) IAU (International Astronomical Union) ITRF = International Terrestrial Reference Frame Συντεταγμένες xi(t0) σε μια εποχή αναφοράς t0 και συνιστώσες ταχύτητας vi για ένα σύνολο επιλεγμένων σταθμών i = 1, 2, …, N. To ITRF είναι υλοποίηση του ITRS = International Terrestrial Reference System.

Παλαιότερα : τοπικά-περιφερειακά γεωδαιτικά datum με τη βοήθεια αστρονομικών παρατηρήσεων. Προσδιορισμός τοπικού datum (1) Διάνυσμα βαρύτητας (διεύθυνση της κατακορύφου) σε ένα επιλεγμένο σημείο P = = κατεύθυνση της καθέτου PP στο ελλειψοειδές (2) Θέση του σημείου στην κατακόρυφο : γεωδαιτικό ύψος h = PP = τιμή από χωροστάθμηση ξεκινώντας από το επίπεδο της θάλασσας. (3) Θέση του ελλειψοειδούς αναφοράς σε σχέση με τη στροφή του γύρω από τον άξονα PP : γεωδαιτικό αζιμούθιο aPQ ενός άλλου σημείου Q = = αστρονομικό αζιμούθιο APQ (από αστρονομικές παρατηρήσεις).

Γεωδαιτικό (γεωμετρικό) και ορθομετρικό υψόμετρο Στις εφαρμογές δεν ενδιαφέρει το γεωδαιτικό υψόμετρο h (= ύψος πάνω από το ελλειψοειδές αναφοράς), αλλά το ύψος πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας.

Γεωδαιτικό (γεωμετρικό) και ορθομετρικό υψόμετρο Στις εφαρμογές δεν ενδιαφέρει το γεωδαιτικό υψόμετρο h (= ύψος πάνω από το ελλειψοειδές αναφοράς), αλλά το ύψος πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. γεωειδές = επέκταση της επιφάνειας της θάλασσας στη στεριά = (ισοδυναμική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας = στάθμη νερού σε ηρεμία) διακύμανση του γεωειδούς = = ζ = ύψος του γεωειδούς (Γ) πάνω από το ελλειψοειδές αναφοράς (Ε) ορθομετρικό υψόμετρο = = από το σημείο P μέχρι το γεωειδές κατά μήκος μιας «κατακόρυφης» καμπύλης (καμπύλης με το διάνυσμα της βαρύτητας εφαπτόμενο σε κάθε σημείο της)

Το τοπικό γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς τοπικό γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς σε κάθε σημείο P, με γεωδαιτικές συντεταγμένες λ, , h : Σύστημα ορθοκανονικό : άξονας : κάθετος στο ελλειψοειδές (θετική φορά προς τα πάνω), άξονας : κάθετος προς το επίπεδο του και του άξονα του γεωδαιτικού datum (κατεύθυνση «ανατολική») άξονας : συμπληρώνει την ορθοκανονική τριάδα (κατεύθυνση «βορινή»).

Mετάβαση από τη βάση του γεωδαιτικού datum στην τοπική γεωδαιτική βάση παράλληλη μετάθεση από την αρχή O στο σημείο P στροφή γύρω από τον 3ο άξονα κατά γωνία 90+λ (ώστε ο 1ος άξονας να πάρει την κατεύθυνση του ) στροφή γύρω από τον 1ο άξονα κατά γωνία 90- (ώστε ο 3ος άξονας να πάρει την κατεύθυνση του ) Πίνακας περιστροφής Συνιστώσες διανύσματος μετάθεσης = = καρτεσιανές συντεταγμένες του P ως προς το γεωδαιτικό datum (c = xP) Kαρτεσιανές συντεταγμένες x τυχόντος σημείου στο τοπικό γεωδαιτικό σύστημα ( x = συντεταγμένες στο γεωδαιτικό datum)

Το τοπικό αστρονομικό σύστημα αναφοράς Ορίζεται σε κάθε σημείο P με τη βοήθεια δύο διανυσμάτων: (1) διάνυσμα της βαρύτητας (συνισταμένη της έλξης της γης και της φυγόκεντρης δύναμης), (2) διάνυσμα περιστροφής της γης (στην κατεύθυνση του στιγμιαίου άξονα περιστροφής της γης) με μέγεθος ω ίσο με τη στιγμιαία ταχύτητα περιστροφής της γης Τοπικό οριζόντιο επίπεδο: κάθετο στο τοπικό διάνυσμα της βαρύτητας Τοπικό αστρονομικό μεσημβρινό επίπεδο: επίπεδο του και της τοπικής παράλληλης προς το

Το τοπικό αστρονομικό σύστημα αναφοράς 3ος άξονας (ζενίθ): τοπική διεύθυνση της κατακορύφου (θετική προς τα πάνω) - αντίθετη από τη διεύθυνση του διανύσματος της βαρύτητας 2ος άξονας (βοράς): τομή οριζόντιου και αστρονομικού μεσημβρινού επίπεδου 1ος άξονας (ανατολή): συμπληρώνει τη δεξιόστροφη ορθοκανονική τριάδα (ανατολή, βοράς, ζενίθ) Σύστημα ορθοκανονικό

Διανύσματα βάσης ζενίθ ανατολή βοράς Αστρονομικό μήκος ΛP και αστρονομικό πλάτος ΦP Σχέσεις μετασχηματισμού από το γεωδαιτικό στο τοπικό αστρονομικό σύστημα

xQ = συντεταγμένες του Q στο τοπικό αστρονομικό σύστημα του σημείου P Αστρονομικές παρατηρήσεις στο σημείο P προς ένα άλλο σημείο Q : ζενίθια γωνία ZPQ αζιμούθιο APQ απόσταση sPQ xQ = συντεταγμένες του Q στο τοπικό αστρονομικό σύστημα του σημείου P

Χαρτογραφικές προβολές χαρτογραφική προβολή : μαθηματική απεικόνιση της επιφάνειας τμήματος του ελλειψοειδούς αναφοράς σε επίπεδο (με αναπόφευκτη μικρή παραμόρφωση) σημείο (λ,  ) στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς  σημείο (x, y ) στο επίπεδο ορίζεται από μαθηματικές σχέσεις της μορφής τρίτη διάσταση: ορθομετρικό υψόμετρο H (αποδοδίδεται στο χάρτη με τη μορφή ισοϋψών καμπύλων).

Χαρτογραφικές προβολές χαρτογραφική προβολή : μαθηματική απεικόνιση της επιφάνειας τμήματος του ελλειψοειδούς αναφοράς σε επίπεδο (με αναπόφευκτη μικρή παραμόρφωση) σημείο (λ,  ) στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς  σημείο (x, y ) στο επίπεδο ορίζεται από μαθηματικές σχέσεις της μορφής τρίτη διάσταση: ορθομετρικό υψόμετρο H (αποδοδίδεται στο χάρτη με τη μορφή ισοϋψών καμπύλων). Mετάβαση από τις «χαρτογραφικές συντεταγμένες» x, y, H στις γεωδαιτικές λ, , h : (αντίστροφες σχέσεις της χαρτογραφικής προβολής) (απαιτεί γνώση του ύψους του γεωειδούς ζ )

Χαρτογραφικές προβολές χαρτογραφική προβολή : μαθηματική απεικόνιση της επιφάνειας τμήματος του ελλειψοειδούς αναφοράς σε επίπεδο (με αναπόφευκτη μικρή παραμόρφωση) σημείο (λ,  ) στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς  σημείο (x, y ) στο επίπεδο ορίζεται από μαθηματικές σχέσεις της μορφής τρίτη διάσταση: ορθομετρικό υψόμετρο H (αποδοδίδεται στο χάρτη με τη μορφή ισοϋψών καμπύλων). Mετάβαση από τις «χαρτογραφικές συντεταγμένες» x, y, H στις γεωδαιτικές λ, , h : (αντίστροφες σχέσεις της χαρτογραφικής προβολής) (απαιτεί γνώση του ύψους του γεωειδούς ζ ) x, y, H = καμπυλόγραμμες συντεταγμένες (για την περιοχή όπου χρησιμοποιείται η χαρτογραφική προβολή)

Ελαχιστοποίηση παραμόρφωσης λόγω χαρτογραφικής προβολής: Όχι μία, αλλά μία οικογένεια χαρτογραφικών προβολών με κοινή μορφή Kάθε μία εφαρμόζεται σε τμήμα που ορίζεται από επιλεγμένα σημεία P. Οικογένειες προβολών: «φύλλα χάρτου» μιας «κοινής» προβολής, Kάθε σημείο P : «κέντρο του φύλλου χάρτου».

Ελαχιστοποίηση παραμόρφωσης λόγω χαρτογραφικής προβολής: Όχι μία, αλλά μία οικογένεια χαρτογραφικών προβολών με κοινή μορφή Kάθε μία εφαρμόζεται σε τμήμα που ορίζεται από επιλεγμένα σημεία P. Οικογένειες προβολών: «φύλλα χάρτου» μιας «κοινής» προβολής, Kάθε σημείο P : «κέντρο του φύλλου χάρτου». Παραδείγματα: - προβολή Hatt (υπήρξε η επίσημη Ελληνική προβολή) - προβολή UTM (Universal Transverse Mercator) σε ζώνες με διαφορετικούς κεντρικούς μεσημβρινούς λP. επίσημη Ελληνική προβολή: μια ζώνη της UTM για όλη την Ελλάδα.

Ελαχιστοποίηση παραμόρφωσης λόγω χαρτογραφικής προβολής: Όχι μία, αλλά μία οικογένεια χαρτογραφικών προβολών με κοινή μορφή Kάθε μία εφαρμόζεται σε τμήμα που ορίζεται από επιλεγμένα σημεία P. Οικογένειες προβολών: «φύλλα χάρτου» μιας «κοινής» προβολής, Kάθε σημείο P : «κέντρο του φύλλου χάρτου».

Ελαχιστοποίηση παραμόρφωσης λόγω χαρτογραφικής προβολής: Όχι μία, αλλά μία οικογένεια χαρτογραφικών προβολών με κοινή μορφή Kάθε μία εφαρμόζεται σε τμήμα που ορίζεται από επιλεγμένα σημεία P. Οικογένειες προβολών: «φύλλα χάρτου» μιας «κοινής» προβολής, Kάθε σημείο P : «κέντρο του φύλλου χάρτου». Oι συντεταγμένες x, y μιας χαρτογραφικής προβολής εξαρτώνται από (α) το είδος της προβολής, δηλαδή από τις μαθηματικές σχέσεις x = x(λ,), y = y(λ,), (β) το χρησιμοποιούμενο γεωδαιτικό datum στο οποίο εφαρμόζεται η προβολή.

Ελαχιστοποίηση παραμόρφωσης λόγω χαρτογραφικής προβολής: Όχι μία, αλλά μία οικογένεια χαρτογραφικών προβολών με κοινή μορφή Kάθε μία εφαρμόζεται σε τμήμα που ορίζεται από επιλεγμένα σημεία P. Οικογένειες προβολών: «φύλλα χάρτου» μιας «κοινής» προβολής, Kάθε σημείο P : «κέντρο του φύλλου χάρτου». Oι συντεταγμένες x, y μιας χαρτογραφικής προβολής εξαρτώνται από (α) το είδος της προβολής, δηλαδή από τις μαθηματικές σχέσεις x = x(λ,), y = y(λ,), (β) το χρησιμοποιούμενο γεωδαιτικό datum στο οποίο εφαρμόζεται η προβολή. Mετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε μία άλλη (σε διαφορετικό datum): - μετατροπή των γεωδαιτικών συντεταγμένων από ένα παγκόσμιο σύστημα (λ,. h) σε ένα άλλο (λ,, h). - μετατροπή των καρτεσιανών συντεταγμένων από ένα παγκόσμιο σύστημα (X, Y, Z) σε ένα άλλο (X, Y, Z) .

Σύνολο των μετατροπών, από μία χαρτογραφική προβολή σε μία άλλη: Παράμετροι μετατροπής που χρειάζονται σε κάθε βήμα: παραμέτροi μετάθεσης X, Y, Z και στροφής θ1, θ2, θ3, από datum σε datum παράμετροι των ελλειψοειδών των δύο datum (a, e και a, e ), διαφορετικά υψόμετρα του γεωειδούς (ζ και ζ ).

h = γεωδαιτικό υψόμετρο Σχέση καρτεσιανών συντεταγμένων με τις συνήθεις συντεταγμένες των εφαρμογών: - οριζόντιες συντεταγμένες x, y, χαρτογραφικής προβολής - ορθομετρικό υψόμετρο Η (πάνω από το γεωειδές) συντεταγμένες χαρτογραφικής προβολής x, y oρθομετρικό υψόμετρο Η καρτεσιανές συντεταγμένες στο σύστημα αναφοράς του γεωδαιτικού datum Χ, Υ, Ζ γεωδαιτικές συντεταγμένες λ, φ, h h = γεωδαιτικό υψόμετρο (πάνω από το ελειψοειδές) ζ = υψόμετρο γεωειδούς χαρτογραφική προβολή

Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, P

Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, P

Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, P

Χαρτογραφική προβολή Α Χαρτογραφική προβολή Β Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum datum A Χαρτογραφική προβολή Α datum Β Χαρτογραφική προβολή Β P γεωειδές ελλειψοειδές Α ελλειψοειδές Β

Σχέση Προσεγγίσεις για μικρές γωνίες στροφής θi (sinθi = θi, cosθi = 1, θi θk = 0) :

Δορυφορικό σύστημα GPS: δίνει γεωδαιτικές συντεταγμένες στο σύστημα (datum) WGS84 «Eπίσημες» τιμές συντεταγμένων : σε εθνικό «σύστημα αναφοράς» (συγκεκριμένο γεωδαιτικό datum, συγκεκριμένη χαρτογραφική προβολή, ή οικογένεια ομοειδών προβολών σε διαφορετικά φύλλα ή ζώνες).

Δορυφορικό σύστημα GPS: δίνει γεωδαιτικές συντεταγμένες στο σύστημα (datum) WGS84 «Eπίσημες» τιμές συντεταγμένων : σε εθνικό «σύστημα αναφοράς» (συγκεκριμένο γεωδαιτικό datum, συγκεκριμένη χαρτογραφική προβολή, ή οικογένεια ομοειδών προβολών σε διαφορετικά φύλλα ή ζώνες). Απαιτούνται: - παράμετροι μετατροπής από ένα σύστημα αναφοράς στο άλλο, - παράμετροι των ελλειψοειδών αναφοράς στα δύο συστήματα - τοπικό γεωειδές (για την μετατροπή των γεωδαιτικών υψομέτρων h σε ορθομετρικά H ). Διαθέσιμο γεωειδές, π.χ. με τη μορφή πυκνών διακριτών τιμών ζik = ζ(λi,k) σε κάναβο ή χωροστάθμηση με GPS (με συμπληρωματική χρήση δεδομένων βαρύτητας)

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Παλαιότερα: απευθείας μετρήσεις μηκών (σύρματα INVAR) βαθμονομημένα με ένα πρότυπο μέτρο. Σήμερα: αποστάσεις από μετρήσεις της χρονικής διαφοράς Δt που χρειάζεται η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία για να διασχίσει μία απόσταση s «Mέτρηση» της απόστασης: s = c Δt (c = ταχύτητα φωτός)

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Παλαιότερα: απευθείας μετρήσεις μηκών (σύρματα INVAR) βαθμονομημένα με ένα πρότυπο μέτρο. Σήμερα: αποστάσεις από μετρήσεις της χρονικής διαφοράς Δt που χρειάζεται η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία για να διασχίσει μία απόσταση s «Mέτρηση» της απόστασης: s = c Δt (c = ταχύτητα φωτός) Kλίμακα δικτύου: όχι από ορισμό μονάδας μήκους, αλλά από τον ορισμό της μονάδας χρόνου, πρακτική υλοποίηση: ποικίλει επειδή στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο σύστημα χρονομέτρων (ρολογιών). Δίκτυα με EDM: μονάδα χρόνου από τα χρονόμετρα των οργάνων Δίκτυα με παρατηρήσεις GPS: μονάδα του χρόνου GPS, (συγκεκριμένο δίκτυο ρολογιών)

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Μετάβαση από σύστημα αναφοράς σε άλλο με διαφορετική κλίμακα : συντελεστής μεταβολής κλίμακας s = 1 + λ (s  1, λ  0) μετασχηματισμός ομοιότητας (similarity transformation): μετάθεση, αλλαγή κλίμακας και περιστροφή (με οποιαδήποτε σειρά)

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Μετάβαση από σύστημα αναφοράς σε άλλο με διαφορετική κλίμακα : συντελεστής μεταβολής κλίμακας s = 1 + λ (s  1, λ  0) μετασχηματισμός ομοιότητας (similarity transformation): μετάθεση, αλλαγή κλίμακας και περιστροφή (με οποιαδήποτε σειρά) 6 διαφορετικά μοντέλα μετασχηματισμού ομοιότητας ανάλογα με τη σειρά της περιστροφής (R), μεταβολής κλίμακας (S) και παράλληλης μετάθεσης (T). Με σειρά εφαρμογής από αριστερά προς τα δεξιά (π.χ. RST = σειρά: περιστροφή, κλίμακα, μετάθεση) : 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR).

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR). ίδιο αποτέλεσμα s (R x) = R (s x) αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR): ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR.

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR). ίδιο αποτέλεσμα s (R x) = R (s x) αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR): ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR. Τελικά: μόνο 4 μοντέλα μετασχηματισμού ομοιότητας RST = SRT: RTS: STR: TRS = TSR:

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR). ίδιο αποτέλεσμα s (R x) = R (s x) αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR): ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR. Τελικά: μόνο 4 μοντέλα μετασχηματισμού ομοιότητας RST = SRT: RTS: STR: TRS = TSR:

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR). ίδιο αποτέλεσμα s (R x) = R (s x) αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR): ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR. Τελικά: μόνο 4 μοντέλα μετασχηματισμού ομοιότητας RST = SRT: RTS: STR: TRS = TSR: Διαφέρουν μόνο οι όροι μετάθεσης συνήθως χρησιμοποιείται το πρώτο μοντέλο (RST = SRT)