LOGICOMIX Κεφ. 6: «ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ» Θανάσης Τσιαμπαλής Μαρία Χατζή Λευτέρης Χριστοδουλής Νίκος Χριστοδουλής Δομήνικος Χρυσικός

Περίληψη

Βρισκόμαστε στο σημείο όπου ο Russell έχει βγει απ’ την φυλακή, έχει λήξει ο πόλεμος και έχει συναντήσει το Wittgenstein συζητώντας για το βιβλίο του «Tractatus Logico-Philosophicus». Στις συναντήσεις τους ο Wittgenstein απορρίπτει όλα όσα έχει κάνει ο Russell στα Principia. Αυτό μετέπειτα βλέπουμε ότι δημιουργεί στον Russell ένα αίσθημα ζήλειας και περιφρόνησης για τη δουλειά του Wittgenstein. Μετά το τέλος του πολέμου η κοινωνία διαμορφώνεται με βάση την άποψη ότι οι αξίες του Παλαιού κόσμου πρέπει να καταστραφούν, με τον Russell να ανησυχεί για την αναρχία που επικρατεί.

Στα χρόνια αυτά, ο Russell παντρεύεται ξανά, τη Ντόρα, και αποκτά ένα γιο, βιώνοντας τις εμπειρίες μιας κανονικής οικογένειας, με τις καθιερωμένες χάρες και δυσκολίες της. Παράλληλα έρχεται σε επαφή με την επιστήμη της ψυχολογίας και κάνει μια διάλεξη στον «Κύκλο της Βιέννης», μια ομάδα πρωτοπόρων που ήθελαν να συνδυάσουν τα Μαθηματικά και τη Φυσική στη μελέτη των ανθρωπιστικών επιστημών. Εκεί γνωρίζει και τον Kurt Gödel, ο οποίος φαίνεται να προβληματίζεται για πρώτη φορά για την Πληρότητα των μαθηματικών. Ακόμα, στο βιβλίο παρουσιάζεται η επίσκεψη του Russell στον παρανοϊκό πλέον και εθνικιστή Frege. O Russell καταλήγει στο συμπέρασμα ότι μόνο ένας τρόπος θα έσωζε τον άνθρωπο απ’ την παράνοια και την ανώριμη συμπεριφορά: η Παιδεία.

Ακολουθεί η αντιπαραβολή δύο αντίθετων τύπων εκπαίδευσης: Αυτή του Wittgenstein, που εργάζεται ως δάσκαλος σε ένα χωριό στις Άλπεις πλέον και εφαρμόζει την αυστηρή μέθοδο διδασκαλίας, χρησιμοποιώντας ακόμα και βία προς τους μαθητές του. (Λογικά λοιπόν επέρχεται αργότερα και η απομάκρυνσή του απ’ το σχολείο). Η άλλη μέθοδος διδασκαλίας είναι του Russell, ο οποίος ιδρύει μια σχολή στην οποία δεν υπάρχουν κανόνες και είναι αντιαυταρχική, με απώτερο σκοπό την εγκατάλειψη του εκπαιδευτικού συστήματος που οδήγησε στον πόλεμο, με τα παιδιά να πρέπει κυρίως να μαθαίνουν από μόνα τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι ο παρ’ ολίγον πνιγμός του γιου του. Βέβαια δε σημαίνει ότι και αυτός ο τρόπος διδασκαλίας είχε αποτέλεσμα. Αναφέρουμε ότι οι απόγονοι του Russell και του Hilbert είχαν φρικτή μοίρα.

Μέθοδοι Διδασκαλίας Wittgenstein vs. Russell

Μια μικρή αναδρομή… Αρχ. Ελλάδα: «Νους υγιής εν σώματι υγιεί» (με διαφοροποιήσεις σε κάθε πόλη – κράτος, βλ. Αθήνα ≠ Σπάρτη), έναντι διδάκτρων, ατομική εκπαίδευση Αρχ. Ρώμη: Πρώτα επίσημα σχολεία, Κλιμακωτή εκπαίδευση, εμπνευσμένη από την αρχαία Ελλάδα, Έμφαση στο «έμφυτο ταλέντο» Μεσαίωνας: Εκπόρευση εκπαίδευσης από την εκκλησία Ίδρυση πρώτων πανεπιστημίων (11ος αι.) Σημαντική συμβολή του Καρλομάγνου

Αναγέννηση – Ανθρωπισμός: Εφεύρεση τυπογραφίας και ανάπτυξη Επιστήμης συνεπάγονται πρόοδο της εκπαίδευσης Έρασμος: «Ο άνθρωπος δε γεννιέται, αλλά γίνεται» Αύξηση της «έντασης» της εκπαίδευσης Διαφωτισμός: Σκοπός της εκπαίδευσης η καλλιέργεια της κριτικής σκέψης John Locke: Όλοι οι άνθρωποι, ανεξαρτήτως κοινωνικής τάξης και φύλου, έχουν την ίδια μαθησιακή ικανότητα Διαρκής αύξηση του ποσοστού μόρφωσης του πληθυσμού

Σύγχρονες Εκπαιδευτικές Μεταρρυθμίσεις Α. Κίνημα για τη Μόρφωση του Παιδιού – Rousseau (Child-study movement) Εκπαίδευση ως την ενηλικίωση Ανάκληση του παιδιού από την κοινωνική ζωή για χάρη της μόρφωσής του Εκμετάλλευση των φυσικών κλίσεων και της περιέργειας των παιδιών Μόρφωση μέσα από την αντιμετώπιση των εμποδίων από τα παιδιά  απόκτηση εμπειρίας

Β. Μεταφυσική Εκπαίδευση - H. D. Thoreau (Transcendentalist education) «Η ιδανική ψυχική κατάσταση υπερέχει της φυσικής και της εμπειρικής και αποκτάται μέσω της διαίσθησης του καθενός και όχι από τα δόγματα των καθιερωμένων θρησκειών» Απέτυχε ως κίνημα, διότι μόνο οι προικισμένοι μαθητές μπορούσαν να πλησιάσουν σε δεξιότητες το επίπεδο των δασκάλων

Γ. Ενίσχυση Εθνικής Ταυτότητας – Πρωσία (National Identity) Έμφαση στη διδασκαλία της επίσημης εθνικής γλώσσας Έμφαση στην προ-σχολική εκπαίδευση Εμφάνιση των πρώτων νηπιαγωγείων για αυτό το σκοπό Κρίθηκε επιτυχημένο

Δ. Πραγματισμός – John Dewey Πειραματική εκπαίδευση  εκμάθηση θεωρίας και πράξης ταυτόχρονα «Η εκπαίδευση πρέπει να εξυπηρετεί πρακτικούς σκοπούς» Σύνθεση των αρχών της ουμανιστικής εκπαίδευσης και του Κινήματος Εκπαίδευσης του Παιδιού, αν και τις κατέκρινε (κατά Dewey) Κοινή ιδέα Russell – Wittgenstein: «Το σχολείο δεν πρέπει να ωθεί τα παιδιά προς την απομνημόνευση και την αποστήθιση, αλλά να διεγείρει την φυσική τους περιέργεια»

L. Wittgenstein Δάσκαλος σε δημοτικό σχολείο λίγα χρόνια μετά την έκδοση του Tractatus Δέχθηκε επιμόρφωση με βάση τις αρχές του Αυστριακού Κινήματος Αναμόρφωσης του Σχολείου Η διδασκαλία του απέφερε καρπούς μόνο σε όσους συμμερίζονταν τον ενθουσιασμό του για το αντικείμενο Χρησιμοποιούσε συχνά σκληρές μεθόδους πειθαρχίας Ο δύστροπος χαρακτήρας του οδήγησε σε πολλές έριδες με μαθητές και γονείς, που οδήγησαν τελικά στην αποπομπή του

L. Wittgenstein Σχόλιο του J.N. Findlay, φιλοσόφου και μαθητή του Wittgenstein: “I also greatly admire the work of one who was for a short time my teacher, Wittgenstein. Though I do not think he showed the flies the way out of the fly-bottle, but rather kept them buzzing inside it, his views, I think, often provide the stimulus that makes escape possible.” The Discipline of the Cave, p. 40. [Θαυμάζω σε μεγάλο βαθμό το έργο ενός που υπήρξε για ένα σύντομο χρονικό διάστημα δάσκαλός μου, του Wittgenstein. Αν και δεν νομίζω ότι οδήγησε τις μύγες έξω από το μπουκάλι, αλλά μάλλον τις κράτησε μέσα να σβουρίζουν, οι απόψεις του, νομίζω, συχνά παρέχουν το ερέθισμα που καθιστά τη διαφυγή πιθανή]

B. Russell – Beacon Hill Δημιούργησε το Beacon Hill πρωτίστως για να προσφέρει αξιόλογη μόρφωση στα παιδιά του Διέθεσε σημαντικό ποσό από την περιουσία του Σύνθεση των ιδεών του ίδιου και της D. Black για την εκπαίδευση («κατάργηση αυστηρά διδακτέας ύλης») Βασικές αξίες: ελευθερία, συνεργασία, δημοκρατία

Περίληψη (συνέχεια) Αργότερα παρακολουθούμε τη δεύτερη επίσκεψη του Russell στον Κύκλο της Βιέννης, όπου αυτή τη φορά ο Gödel, επηρεασμένος και απ’ τους λόγους του Hilbert απέδειξε το Θεώρημα της Μη Πληρότητας, γκρεμίζοντας τις αντιλήψεις των μαθηματικών της εποχής περί «ignorabimus». Χαρακτηριστικό είναι το «τετέλεσται» του Neumann. Πλήγμα είχαν δεχτεί οι Βιεννέζοι και από τον Wittgenstein, ο οποίος ήρθε σε απόλυτη αντίθεση μαζί τους σχετικά με την ερμηνεία του Tractatus. Το χειρότερο πλήγμα όμως, που οδήγησε και στη διάλυση του Κύκλου ήταν η δολοφονία του ιδρυτή του, του Schlick, από έναν οπαδό του Χίτλερ (ηγέτη μιας νέας μορφής παραλόγου που αναπτυσσόταν με αποτέλεσμα το θάνατο αθώων Εβραίων και την αποφυλάκιση του φονιά του Schlick).

Σε αυτήν την εποχή η προσωπική ζωή του Russell περνάει και πάλι κρίση αφού χωρίζει με τη Ντόρα και νιώθει ότι έχει αποτύχει ως πατέρας και εκπαιδευτικός. Φτάνουμε λοιπόν στο τελευταίο σημείο της διάλεξης του Russell, όπου εκείνος έρχεται σε μια μορφή διαφωνίας με τους ακροατές εξηγώντας τους ότι δεν υπάρχει Βασιλική Οδός, αφού ούτε καν η Λογική δεν μπορεί να εξηγήσει όλα τα ανθρώπινα προβλήματα. Αντίθετα, κάθε άνθρωπος έχει τη δική του άποψη και αντίληψη των πραγμάτων, με γνώμονα την οποία αντιμετωπίζει κάθε κατάσταση.

Η Ιστορία πίσω από την ιστορία…

Εγκλεισμός του γιου του D. Hilbert, Franz σε ψυχιατρείο (21 ετών) (;) 1914 1919 Δ Wittgenstein: Δάσκαλος σε δημοτικό σχολείο της Αυστρίας (έως το 1926) Μεταβίβαση της περιουσίας του Wittgenstein στις αδερφές του Ίδρυση NSDAP Ίδρυση του Κύκλου της Βιέννης 1922 Έκδοση Tractatus Logico-Philosophicus (Wittgenstein) Γέννηση John Conrad Russell 1921 Γάμος Russell – Dora Black,

1931 1924 1927 1923 1930 Απόδειξη Θεωρήματος Μη Πληρότητας (K. Gödel) «Τετέλεσται» (J. Von Neumann) 1924 Ακραίες αντισημιτικές δημοσιεύσεις από τον Frege (;) 1927 Ίδρυση του Beacon Hill School από το ζεύγος Russell 1923 Γέννηση Katharine Jane Russell 1930 «Για εμάς δεν υπάρχει ignorabimus» (D. Hilbert, σε γερμανική ραδιοφωνική ομιλία)

A. Hitler στην Καγκελαρία της Γερμανίας 1938 Anschluss 1932 Χωρισμός B. Russell – D. Black και αποχώρηση του Russell από το Beacon Hill 1936 Εμφάνιση ψυχολογικών διαταραχών στον Gödel - Νοσηλεία (;) Δολοφονία M. Schlick(22 Ιουν.) Πρώτοι οργανωμένοι διωγμοί κατά Εβραίων από το Ναζιστικό Καθεστώς Άξονας Βερολίνου – Ρώμης 1939 Έναρξη B΄ Π.Π. Άνοδος του A. Hitler στην Καγκελαρία της Γερμανίας 1933

Η ομιλία του Hilbert Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen — wir werden wissen! Δεν πρέπει να πιστέψουμε εκείνους, που προφητεύουν σήμερα με φιλοσοφική έκφραση και ύφος ανωτερότητας το τέλος του πολιτισμού και αρέσκονται στο Ignorabimus. Για εμάς δεν υπάρχει Ignorabimus, και κατά τη γνώμη μου ειδικά για τις Φυσικές Επιστήμες καθόλου. Αντί του ανόητου Ignorabimus, ας λέγεται αντιθέτως η δική μας λύση: Πρέπει να μάθουμε (και) θα μάθουμε!

Οι πρωταγωνιστές …

MORITZ SCHLICK (Βερολίνο 1882- Βιέννη 1936) Γερμανός λογικός και εμπειρικός φιλόσοφος, ιδρυτής της ευρωπαϊκής σχολής των θετικιστών φιλοσόφων που είναι γνωστή ως Κύκλος της Βιέννης. 1930

MORITZ SCHLICK 1911: Διορίζεται καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Rostock έπειτα από τη δημοσίευση της πραγματείας του «Η φύση της αλήθειας κατά τη μοντέρνα λογική» (Das Wesen der Wahrheit nach der modernen Logik, 1910) 1912: Καθηγητής φιλοσοφίας των επαγωγικών επιστημών στη Βιέννη Η ομάδα των φιλοσόφων που δημιουργήθηκε γύρω από τον Schlick στη Βιέννη περιλάμβανε τους Carnap και Neurath καθώς και επιστήμονες άλλων ειδικοτήτων, όπως μαθηματικών (Gödel) Στη διαμόρφωση των θεωριών του ήταν φανερή η συμβολή του έργου των Russell και Wittgenstein

MORITZ SCHLICK Έργα: Χώρος και χρόνος στη σύγχρονη φυσική (1919), Γενική Θεωρία της Γνώσης (1918), Προβλήματα Ηθικής(1930), Φιλοσοφία της Φύσης (1948), Φύση και Πολιτισμός(1952)

(Βουδαπέστη 1903- Ουάσινγκτον 1957) JOHN von NEUMANN (Βουδαπέστη 1903- Ουάσινγκτον 1957) Ουγγροαμερικανός μαθηματικός με σημαντική συμβολή στην κβαντική φυσική, τη λογική, τη μετεωρολογία και την πληροφορική. 1940

JOHN von NEUMANN Σπούδασε Χημεία στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου και στο Πολυτεχνείο της Ζυρίχης, όπου έλαβε το δίπλωμα του χημικού μηχανικού το 1926 καθώς και το διδακτορικό του δίπλωμα στα μαθηματικά από το πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης με μία διατριβή που αφορούσε τη Θεωρία Συνόλων 1926-1929: Λέκτορας στο Βερολίνο 1929- 1930: Λέκτορας στο Πανεπιστήμιο του Αμβούργου 1933: Γίνεται καθηγητής στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Prinston, θέση την οποία διατήρησε κατά την υπόλοιπη ζωή του

JOHN von NEUMANN Ενδιαφέρθηκε για τα 23 προβλήματα που είχε προτείνει το 1900 Hilbert και έλυσε μία ειδική περίπτωση του πέμπτου προβλήματος του Hilbert, την περίπτωση των συμπαγών ομάδων Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου ήταν περιζήτητος σύμβουλος στις ένοπλες δυνάμεις, αλλά και σε πολιτικές επιτροπές Το 1928 διατύπωσε το «Θεώρημα minimax», το οποίο αποτελεί το μαθηματικό θεμέλιο της θεωρίας παιγνίων Μυστικό της επιτυχίας του αναφέρεται η «αξιωματική μέθοδος», σύμφωνα με την οποία έφτανε στη ρίζα του θέματος, επικεντρώνοντας την προσπάθειά του στις βασικές ιδιότητες, τα αξιώματα, από τα οποία απορρέουν όλες οι άλλες ιδιότητες

KURT GÖDEL Γεννήθηκε στις 28 Απριλίου του 1906 στο Brno της Τσεχίας. Στα 12 του έγινε αυτόματα Τσεχοσλοβάκος όταν η Αυστροουγγρική αυτοκρατορία διασπάστηκε στο τέλος του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου, ωστόσο αποφάσισε στα 23 του να πολιτογραφηθεί Αυστριακός πολίτης καθώς ένιωθε ξένος ανάμεσα στους Τσεχοσλοβάκους. Στα 32 του έγινε Γερμανός πολίτης όταν η ναζιστική Γερμανία προσάρτησε την Αυστρία.

KURT GÖDEL Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, στην ηλικία των 42 ετών, έγινε Αμερικανός πολίτης. Στην οικογένειά του, ο νεαρός Kurt ήταν γνωστός ως ο Herr Warum ("Κύριος Γιατί") εξ' αιτίας της ακόρεστής του περιέργειας. Σύμφωνα με τον αδελφό του, Rudolf, στην ηλικία των έξι ή επτά ετών ο Kurt υπέφερε από ρευματικό πυρετό. Επανήλθε τελείως, αλλά για το υπόλοιπο της ζωής του έμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε τραυματιστεί ανεπανόρθωτα. Ο Gödel παρακολούθησε ένα λουθηρανικό σχολείο στο Brno από το 1912 έως το 1916, και εγγράφηκε στο Deutsches Staats-Realgymnasium από το 1916 έως το 1924, όπου αρίστευσε με τιμές σε όλα του τα μαθήματα, και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά, τις γλώσσες και τη θρησκεία.

KURT GÖDEL Αν και είχε αρχικά αριστεύσει στις γλώσσες, αργότερα ανέπτυξε περισσότερο ενδιαφέρον για την Ιστορία και τα Μαθηματικά. Ωθήθηκε ακόμα περισσότερο στη μαγεία των μαθηματικών όταν ο αδερφός του σπούδαζε Ιατρική στη Βιέννη. Στην ηλικία των 18, συνάντησε τον αδελφό του Rudolf στη Βιέννη, και εγγράφηκε στο Πανεπιστήμιό της. Ο ίδιος κατείχε ήδη Μαθηματικά πανεπιστημιακού επιπέδου. Διετέλεσε καθηγητής στο Παν/μιο της Βιέννης, όμως όταν αυτή καταλήφθηκε από τους Ναζί αναγκάστηκε να συνεχίσει την πανεπιστημιακή του καριέρα στο Prinston.

KURT GÖDEL Προς το τέλος της ζωής του, ο Gödel υπέφερε κατά περιόδους από ψυχικές διαταραχές και ασθένειες. Είχε έμμονους φόβους δηλητηρίασης, δεν έτρωγε παρά μόνο αφού η σύζυγός του Adele δοκίμαζε το φαγητό του. Στο τέλος του 1977 η Adele νοσηλεύθηκε σε νοσοκομείο για έξη μήνες, και δεν μπορούσε να δοκιμάζει πλέον το φαγητό του Gödel. Κατά την απουσία της αρνήθηκε να φάει και, τελικά, πέθανε από ασιτία. Ζύγιζε περίπου 30 κιλά όταν πέθανε. Το πιστοποιητικό θανάτου του ανέφερε ότι πέθανε από «υποσιτισμό και εξάντληση που προκλήθηκε από διαταραχή προσωπικότητας» στο Νοσοκομείο του Prinston στις 14 Ιανουαρίου του 1978.

KURT GÖDEL Ο Gödel ήταν πεπεισμένος θεϊστής και ισόβια Χριστιανός. Απέρριπτε την έννοια ότι ο Θεός ήταν απρόσωπος, όπως πίστευε ο Einstein. Πίστευε ακράδαντα στην μετά θάνατον ζωή, λέγοντας: «Πιστεύω στην μετά θάνατον ζωή, ασχέτως θεολογίας. Αν ο κόσμος ήταν λογικά κατασκευασμένος, θα πρέπει να υπάρχει ζωή μετά το θάνατο.»

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ (1931)‏ Über formal unentscheidbare Sä̈tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ (1931)‏

Λίγα λόγια για τις συνθήκες που επικρατούσαν… 1900: Ομιλία Hilbert στο Μαθηματικό Συνέδριο του Παρισιού. Tο 2ο πρόβλημα από τη «λίστα» του Hilbert. Κρίσιμα ζητήματα: Πληρότητα , Συνέπεια

Γεωμετρία Ένα από τα επιτεύγματα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών ήταν η αξιωματοποίηση της Γεωμετρίας. Η Γεωμετρία ανέκαθεν διδάσκονταν ως παραγωγική επιστήμη. Δηλαδή από ένα σύνολο προτάσεων, το οποίο δέχεται κανείς χωρίς απόδειξη (αξιώματα ή αιτήματα) παράγονται άλλες προτάσεις (θεωρήματα). Αυτό απετέλεσε το έναυσμα για τους μαθηματικούς, ώστε να πιστέψουν ότι κάθε τομέας των μαθηματικών θα μπορούσε να εφοδιαστεί με ένα σύνολο αξιωμάτων, επαρκές για να αποδειχθεί η ολότητα των αληθών προτάσεων για το δεδομένο ερευνητικό πεδίο.

Γεωμετρία Το άρθρο του Gödel ωστόσο, ήλθε για να τους αποθαρρύνει. Παρουσίασε στους μαθηματικούς ότι η αξιωματική μέθοδος έχει ορισμένους ενδογενείς περιορισμούς που αποκλείουν τη δυνατότητα να αξιωματοποιηθεί πλήρως ακόμα και η συνηθισμένη αριθμητική. Επίσης, έδειξε ότι είναι αδύνατο να εδραιωθεί η εσωτερική συνέπεια μιας μεγάλης κλάσης αξιωμάτων, εκτός και αν υιοθετηθούν συλλογιστικές αρχές τόσο περίπλοκες ώστε η εσωτερική τους συνέπεια να είναι τόσο αμφίβολη όσο και των ίδιων των συστημάτων.

Συνέπεια Ο 19ος αι. ήταν ιδιαίτερα παραγωγικός για τα μαθηματικά αφού τέθηκαν νέα θεμέλια και αναθεωρήθηκαν παλαιότερα. Ένα πρόβλημα που ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς τη εποχής ήταν το 5ο αίτημα του Ευκλείδη όπως είναι γνωστή η πρόταση ότι από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μια παράλληλη. Από το έργο των Riemman, Bolyai, Lobatzefky και Gauss έγινα γνωστό ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί. Τότε οι μαθηματικοί αντιλήφθηκαν ότι οι μαθηματικές αλήθειες δεν υπόκεινται στη διαίσθηση αλλά είναι τελείως ανεξάρτητες από τις μαθηματικές έννοιες τις οποίες καλούνται να περιγράψουν. Ωστόσο η αφαιρετικότητα των μαθηματικών έθεσε ένα ακόμα πιο σοβαρό πρόβλημα :

Συνέπεια Το πρόβλημα της συνέπειας: Ένα δεδομένο σύστημα αξιωμάτων που παίζει το ρόλο των θεμελίων του συστήματος είναι εσωτερικά συνεπές ώστε να μην μπορούν να αποδειχθούν από τα αξιώματα θεωρήματα αντιφατικά μεταξύ τους.

Συνέπεια Η αμφιβολία οδήγησε σε αναζήτηση. Ένας από τους κύριους εκφραστές της αναζήτησης ήταν ο Hilbert, ο οποίος προσπάθησε ουσιαστικά να αφαιρέσει από τις μαθηματικές έννοιες κάθε νόημα. Προσπάθησε να αφήσει κενά σύμβολα. Τότε τα θεωρήματα δεν θα αποτελούσαν τίποτε άλλο από μετασχηματισμούς θεωρημάτων. Ουσιαστικά επιδιώχθηκε μία πλήρης τυποποίηση του επαγωγικού συστήματος. Δηλαδή αποστράγγιση από κάθε νόημα των εκφράσεων που υπάρχουν στο σύστημα.

Τα ίδια τα σύμβολα που περιγράφουν το τυπικό σύστημα Συνέπεια Μαθηματικά Μεταμαθηματικά Τα ίδια τα σύμβολα που περιγράφουν το τυπικό σύστημα Προτάσεις που δεν ανήκουν στο σύστημα αλλά αναφέρονται τυπικά στο σύστημα, που αφορούν τα σύμβολα που υπάρχουν μέσα σε ένα τυποποιημένο σύστημα.

Λογισμός: Ένα σύστημα συμβόλων τα οποία χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν έννοιες χωρίς να υποκρύπτουν τίποτα και περιέχοντας ό,τι εμείς ρητά τους έχουμε ορίσει να περιέχουν Περατοκρατικές διαδικασίες: Διαδικασίες που δεν αναφέρονται ούτε σε άπειρο αριθμό δομικών ιδιοτήτων των τύπων, ούτε σε άπειρο πλήθος στοιχείων (finitistic). Αποδείξεις που συμμορφώνονται με αυτή την απαίτηση ονομάζεται απόλυτες αποδείξεις.

Συστηματική κωδικοποιήση της λογικής Principia Mathematica (Whitehead – Russell) Οι μαθηματικές αποδείξεις περιέχουν συλλογιστικούς αρχές (ή κανόνες) που δεν είναι ρητά διατυπωμένες και συχνά οι μαθηματικοί τις αγνοούν. Η προσπάθεια του συγγράμματος είναι μια προβολή των μαθηματικών στις θεμελιώδης αρχές της Λογικής. Ο Russell όπως και ο Frege πιστεύει ότι όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να οριστούν με καθαρά λογικές ιδέες και όλα τα αξιώματα της αριθμητικής μπορούν να αποδειχτούν από ένα μικρό αριθμό βασικών προτάσεων βεβαιωμένων ως καθαρά λογικών αληθειών.

Συστηματική κωδικοποιήση της λογικής Τότε τα Principia Mathematica μετουσιώνουν το πρόβλημα της συνέπειας της αριθμητικής σε πρόβλημα των θεμελίων της λογικής. (Η τυποποίηση γίνεται από τον Boole και τους διαδόχους του «The mathematical analysis of Logic» - 1847). Τι προσέφεραν: Τυποποίηση του συστήματος Έκφραση των λογικών κανόνων

Θεμελίωση και απόδειξη της συνέπειας Πώς χτίζεται ένα παράδειγμα συνεπούς συστήματος: Πλήρης κατάλογος των συμβόλων του συστήματος (λεξιλόγιο) Διατυπώνονται οι συντακτικοί κανόνες (Γραμματική) Ορισμένοι τύποι επιλέγονται ως πρωταρχικοί τύποι Αποδεικτικοί κανόνες Κανόνας της Αντικατάστασης Κανόνας της Απόσπασης

Θεμελίωση και απόδειξη της συνέπειας Θεώρημα: Κάθε τύπος που μπορεί να εξαχθεί από τα αξιώματα με διαδοχική εφαρμογή των αποδεικτικών κανόνων. Συνέπεια: Αν ο λογισμός δεν είναι συνεπής κάθε τύπος είναι θεώρημα, το οποίο είναι το ίδιο με το να πούμε ότι από ένα αντιφατικό σύνολο αξιωμάτων μπορεί να αποδειχθεί οποιοσδήποτε τύπος. Αλλά αυτό έχει και το αντίστροφο: Αν κάθε τύπος δεν είναι θεώρημα (δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένας τύπος που δεν παράγεται από τα αξιώματα), τότε ο λογισμός είναι συνεπής. Πληρότητα: Να προσδιοριστεί ένα σύνολο αρχικών παραδοχών από τις οποίες να παράγονται όλες οι αληθείς προτάσεις κάποιου ερευνητικού πεδίου.

Απεικόνιση Παράδοξο Richard (1905): Είναι πιθανόν να απεικονίσουμε – να καθρεφτίσουμε τις μεταμαθηματικές προτάσεις ενός επαρκούς τυπικού συστήματος στο ίδιο το σύστημα. Μια αφηρημένη δομή από σχέσεις μεταξύ αντικειμένων σε ένα πεδίο ισχύει και μεταξύ αντικειμένων σε ένα άλλο πεδίο. (Όπως αλγεβρικές σχέσεις αναδεικνύουν τις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων στο χώρο , έτσι και ο Gödel έδειξε ότι οι ίδιες μεταμαθηματικές προτάσεις μπορούν να προβληθούν στο αριθμητικό αλγεβρικό σύστημα. Αυτό θα διευκόλυνε ιδιαίτερα την απόδειξη.)

Θεμελίωση και απόδειξη της συνέπειας Αρίθμηση Gödel: Ο Gödel έδειξε ότι είναι δυνατόν να αποδώσουμε έναν μοναδικό αριθμό σε κάθε στοιχειώδες σύμβολο, σε κάθε τύπο και σε κάθε απόδειξη (πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων). Αν θέλουμε να κωδικοποιήσουμε την πρόταση π.χ. Υπάρχει x τέτοιο ώστε, το x να είναι ο επόμενος του y ή (όπως συμβολίζεται στο λογισμό): ( ᴲ x ) ( x = s y ) ↓ ↓ ↓ ↓ 8 4 11 9

Θεμελίωση και απόδειξη της συνέπειας Είναι επιθυμητό να αντιστοιχίσουμε στον τύπο ένα μοναδικό αριθμό. Αυτό γίνεται αν αντιστοιχίσουμε στον τύπο το γινόμενο των 10 πρώτων αριθμών σε αύξουσα διάταξη, υψωμένο τον καθένα στον αντίστοιχο αριθμό Gödel. Δηλ.: 28 34 511 79 119 1311 175 197 2313 299 Η πρότασή μας είναι κωδικοποιημένη σύμφωνα με τον Gödel με μοναδικό τρόπο.

Καρδιά του επιχειρήματος Πώς να κατασκευάσουμε έναν αριθμητικό τύπο G που αντιπροσωπεύει τη μεταμαθηματική πρόταση: «Ο τύπος G δεν είναι αποδείξιμος». Αυτός ο τύπος G, επομένως, φαινομενικά λέει για τον εαυτό του ότι δεν είναι αποδείξιμος. Μέχρις ενός σημείου, ο G κατασκευάζεται ανάλογα με το παράδοξο Richard. Στο παράδοξο αυτό, η έκφραση «αριθμός Richard» σχετίζεται με έναν ορισμένο αριθμό n και η πρόταση: «ο n είναι αριθμός Richard» κατασκευάζεται. Στο συλλογισμό του Gödel ο τύπος G επίσης σχετίζεται με έναν ορισμένο αριθμό h και κατασκευάζεται έτσι ώστε να αντιστοιχεί στην πρόταση: «ο τύπος που αντιστοιχεί στον αριθμό h δεν είναι αποδείξιμος».

Ο Gödel έδειξε επίσης ότι ο G είναι αποδείξιμος αν, και μόνο αν, η τυπική του άρνηση ~G είναι αποδείξιμη. Αυτό το βήμα στο συλλογισμό είναι πάλι ανάλογο με ένα αντίστοιχο βήμα του παραδόξου Richard, στο οποίο αποδεικνύεται ότι ο n είναι αριθμός Richard αν, και μόνο αν, ο n δεν είναι αριθμός Richard. Ωστόσο, αν ένας τύπος και η άρνησή του είναι και οι δύο τυπικά αποδείξιμοι, ο αριθμητικός λογισμός δεν είναι συνεπής. Επομένως, αν ο λογισμός είναι συνεπής, ούτε ο G ούτε ο ~G είναι τυπικά παράγωγα των αξιωμάτων της αριθμητικής. Συνεπώς, αν η αριθμητική είναι συνεπής, ο G είναι ένας τυπικά μη αποκρίσιμος τύπος.

Αν και ο G δεν είναι τυπικά αποδείξιμος, είναι παρ’ όλα αυτά ένας αληθής αριθμητικός τύπος. Είναι αληθής με την έννοια ότι δηλώνει πως κάθε φυσικός αριθμός κατέχει μια συγκεκριμένη αριθμητική ιδιότητα η οποία μπορεί να οριστεί επακριβώς και η οποία φανερώνεται από κάθε ακέραιο που εξετάζεται. Καθώς ο G είναι ταυτόχρονα και αληθής και τυπικά μη αποκρίσιμος, τα αξιώματα της αριθμητικής είναι μη πλήρη. Με άλλα λόγια , δεν μπορούμε να παράγουμε όλες τις αριθμητικές αλήθειες από τα αξιώματα. Επιπλέον, ο Gödel απέδειξε ότι η αριθμητική είναι ουσιωδώς μη πλήρης: ακόμα και αν υποτεθούν επιπρόσθετα αξιώματα, έτσι ώστε ο αληθής τύπος G να μπορεί να αποδειχθεί τυπικά από το διευρυμένο σύνολο αξιωμάτων, θα μπορούσε να κατασκευαστεί ένας άλλος αληθής αλλά τυπικά μη αποκρίσιμος τύπος.

Ο Gödel περιέγραψε πώς να κατασκευαστεί ένας αριθμητικός τύπος Α που αντιπροσωπεύει τη μεταμαθηματική πρόταση: «η αριθμητική είναι συνεπής», και απέδειξε ότι ο τύπος «Α Ͻ G» είναι τυπικά αποδείξιμος. Τελικά έδειξε ότι ο τύπος Α δεν είναι αποδείξιμος. Από αυτό έπεται ότι η συνέπεια της αριθμητικής δεν μπορεί να αποδειχθεί με ένα συλλογισμό που μπορεί να αντιπροσωπευτεί μέσα στον τυπικό αριθμητικό λογισμό. Το θεώρημα του Gödel δεν αποκλείει μια μεταμαθηματική απόδειξη της συνέπειας της αριθμητικής. Αυτό που αποκλείει είναι μια απόδειξη της συνέπειας που να μπορεί να απεικονιστεί στα τυπικά συμπεράσματα της αριθμητικής.

Μεταμαθηματικές αποδείξεις της συνέπειας της αριθμητικής έχουν πράγματι κατασκευαστεί, ιδιαίτερα από τον Gerhard Gentzen, ένα μέλος της σχολής του Hilbert, στα 1936, αλλά έκτοτε και από άλλους. Αυτές οι αποδείξεις έχουν μεγάλη λογική σπουδαιότητα, ανάμεσα σε άλλους λόγους διότι προτείνουν νέες μορφές μεταμαθηματικών κατασκευών, και διότι μ’ αυτό τον τρόπο βοηθούν να γίνει σαφές πώς πρέπει να διευρυνθεί το σύνολο των συλλογιστικών κανόνων προκειμένου να αποδειχθεί η συνέπεια της αριθμητικής. Αλλά αυτές οι αποδείξεις δεν μπορούν να αντιπροσωπευτούν μέσα στον αριθμητικό λογισμό και, καθώς δεν είναι περατοκρατικές, δεν επιτυγχάνουν τους διακηρυγμένους αντικειμενικούς στόχους του αρχικού προγράμματος του Hilbert.

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ… Προκάλεσε έντονη αναστάτωση στους Μαθηματικούς εκείνης της εποχής, που είχαν αφιερώσει τη ζωή τους στην επίλυση άλυτων προβλημάτων, γιατί το θεώρημα εισήγαγε την αμφιβολία για την ύπαρξη ή μη της απόδειξης. Ουσιαστική κατάργηση του προγράμματος Hilbert για τον φορμαλισμό των Μαθηματικών. Η προοπτική να βρεθεί για κάθε παραγωγικό σύστημα (και , πιο ειδικά για ένα σύστημα στο οποίο να μπορεί να εκφραστεί το σύνολο της αριθμητικής) μια απόλυτη απόδειξη συνέπειας που να ικανοποιεί τις περατοκρατικές απαιτήσεις της πρότασης του Hilbert, δεν είναι βέβαια λογικά αδύνατη, είναι όμως πάρα πολύ απίθανη. 56

Υπάρχει ένα ατέλειωτο πλήθος αληθών αριθμητικών προτάσεων που δεν μπορούν να εξαχθούν τυπικά από κανένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων με ένα κλειστό σύνολο συλλογιστικών κανόνων. Όπως δείχνει η επιχειρηματολογία του ίδιου του Gödel, δεν μπορούν να τεθούν απώτατα όρια στην εφευρετικότητα των μαθηματικών στο να επινοούν νέους αποδεικτικούς κανόνες. Συνεπώς δεν μπορεί να δοθεί μία τελική απάντηση για την ακριβή λογική μορφή των έγκυρων μαθηματικών αποδείξεων.

Τα συμπεράσματα του Gödel έχουν σχέση και με το ζήτημα αν μπορεί αν κατασκευαστεί μια υπολογιστική μηχανή ικανή να συναγωνιστεί το ανθρώπινο μυαλό σε μαθηματική ευφυΐα. Οι σημερινές υπολογιστικές μηχανές έχουν ενσωματωμένο ένα σταθερό σύνολο οδηγιών. Οι οδηγίες αυτές αντιστοιχούν στους σταθερούς συλλογιστικούς κανόνες της τυποποιημένης αξιωματικής διαδικασίας. Ίσως βέβαια ο ανθρώπινος εγκέφαλος να έχει ενσωματωμένους τους δικούς του περιορισμούς και ίσως να υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα που είναι ανίκανος να λύσει. Αλλά, ακόμα και σ’ αυτή την περίπτωση ο εγκέφαλος φαίνεται να εμπεριέχει μια δομή κανόνων λειτουργίας, η οποία είναι πάρα πολύ πιο ισχυρή από τη δομή των τεχνητών μηχανών που έχουν επινοηθεί μέχρι τώρα. Δεν υπάρχει λοιπόν άμεση προοπτική να αντικατασταθεί το ανθρώπινο μυαλό από ρομπότ.

ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΔΕΛΦΩΝ CARNAP Λίγες ημέρες μετά την αποκάλυψη της ανακάλυψης του Gödel, στον Carnap, σε ένα καφέ («Cafe Reichsrat»), εκείνος υποστήριξε ότι η συνέπεια πρέπει να αποτελεί βάση των τυπικών Μαθηματικών θεωριών. Ένα χρόνο μετά, ο Carnap εξομολογείται πως ακόμα δεν έχει καταλάβει τα αποτελέσματα του Gödel. HILBERT Αντέδρασε με θυμό, και πρότεινε να εμπλουτίσει τα φορμαλιστικά (στη συνέχεια εγκατέλειψε την ιδέα αυτή) του συστήματα, με έναν καινούργιο κανόνα παραγωγικής συνεπαγωγής, που θα επέτρεπε εφαρμογή άπειρων προτάσεων. Αργότερα αποδέχεται την εργασία του Gödel, αφού, σε ένα εγχειρίδιο Μαθηματικής Λογικής, συμπεριλαμβάνει την εργασία του τελευταίου. Ο βοηθός του Hilbert, ζητάει βοήθεια από τον ίδιο τον Gödel, για κάποιες λεπτομέρειες της απόδειξής του. 59

ZERMELO Ο Gödel ήταν ο Μαθηματικός του αντίπαλος. Έγραψε στον Gödel ότι ανακάλυψε ένα μεγάλο κενό στην απόδειξή του , για να λάβει μια 10-σελιδη απάντηση. Χωρίς κανένα αποτέλεσμα. Έτσι έπαψε να ασχολείται μαζί του. Ακόμη και ο Carnap παραδέχτηκε ότι ο Zermelo είχε παρανοήσει εντελώς το επίτευγμα του Gödel. RUSSELL Αν και αναγνωρίζει τη σημασία του αποτελέσματος, ρωτάει αμήχανα: «Δηλαδή να πιστέψουμε ότι 2+2 δεν κάνει 4 αλλά 4,001 ;». Ο Gödel αναφέρει σε ένα γράμμα ότι: «ο Russel προφανώς παρερμηνεύει τα ευρήματά μου, αλλά ο τρόπος που το κάνει, έχει πολύ ενδιαφέρον». 60

VON NEUMANN Ένας από τους λίγους της εποχής, που όχι μόνον κατάλαβε το θεώρημα αλλά και κατέληξε και στο 2ο Θεώρημα (του Gödel). Όταν το κοινοποίησε στον Gödel, αυτός απάντησε προς απογοήτευση του πρώτου.... «Θα με ενδιέφερε πολύ να ακούσω τις απόψεις σας επάνω σε αυτό... Αν ενδιαφέρεστε θα σας στείλω την αναλυτική απόδειξη». 61

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ «Ο Θεός υπάρχει αφού τα Μαθηματικά είναι συνεπή, και ο Διάβολος υπάρχει αφού δεν μπορούμε να το αποδείξουμε.» ANDRE WEIL «Ο φιλεύσπλαχνος Θεός προστατεύει τα Μαθηματικά από το να πνιγούν στα ρηχά νερά της τεχνικής.» SIMONE WEIL «Χάρη στα Μαθηματικά του Gödel, γνωρίζουμε πως η Μαθηματική σκέψη είναι και πρέπει να είναι κατ’ ουσία δημιουργική.» EMIL POST 62

«Κορυφαία Μαθηματική προσωπικότητα του 20ου αιώνα.» ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ “ΤΙΜΕ” «Άραγε, η ψυχική του αρρώστια είναι συνέπεια του ότι απέδειξε τη μη αποδειξιμότητα της συνέπειας της φορμαλιστικής αριθμητικής ή μήπως η αρρώστια του είναι αναγκαία για ένα τέτοιο εγχείρημα;» FILIP FURTWANGLER 63

Νομίζω πως τέτοιου είδους ερωτήματα, κάνουν αυτά τα «μόνον» δύο θεωρήματα, ξεχωριστά μέσα στο πλήθος των όλο και περισσότερων νέων θεωρημάτων (κάθε χρόνο «παράγονται» περίπου 50000 σελίδες Μαθηματικών).‏ Και κάνουν τον Gödel των 2 Θεωρημάτων να ξεχωρίζει, ενώ άλλοι Μαθηματικοί με δεκάδες δημοσιεύσεις (η μόδα της εποχής) να είναι στη Μαθηματική «αφάνεια». 64

«Ζούμε σε έναν κόσμο, όπου το 90% των όμορφων πραγμάτων καταστρέφονται πάνω στο άνθος τους.» KURT GÖDEL 65

66

Εθνικοσοσιαλισμός vs. Επιστήμη

D. Hilbert: Έζησε την αποπομπή πολλών (Εβραίων) συνεργατών του από τη σχολή του στο Πανεπιστήμιο του Göttingen. Οι αποφάσεις των Ναζί ήταν καταδικαστικές για το Τμήμα Μαθηματικών, που αποτελούταν κατά πλειοψηφία από Εβραίους. Η είδηση του θανάτου του ανακοινώθηκε μετά την πάροδο έξι μηνών από το ναζιστικό Τύπο!

*Διάλογος ανάμεσα στον Hilbert και τον Bernhard Rust, Υπουργό Παιδείας, το 1934: Rust: Πώς πάνε τα Μαθηματικά στο Göttingen τώρα που απελευθερώθηκαν από την εβραϊκή επιρροή; Hilbert: Μαθηματικά στο Göttingen; Πραγματικά δεν έχει μείνει πλέον τίποτα από αυτά... L. Wittgenstein Δεν επηρεάστηκε ιδιαίτερα Στη διάρκεια του Β΄ Π.Π. εργάστηκε ως εθελοντής τραυματιοφορέας σε νοσοκομείο του Λονδίνου

Φωτογραφία στην στρατιωτική ταυτότητα του von Neumann εν καιρώ πολέμου K. Gödel: Είχε ήδη εγκατασταθεί στην Αμερική από το 1932. Φημολογείται ότι υπέστη σοβαρή νευρική κρίση μετά την είδηση της δολοφονίας του M. Schlick. J. von Neumann: Αμερικανός εβραϊκής καταγωγής, διαδραμάτισε πρωταγωνιστικό ρόλο στην ανάπτυξη της Πυρηνικής Φυσικής και τη δημιουργία της ατομικής βόμβας που ρίφθηκε στο Nagasaki. Φωτογραφία στην στρατιωτική ταυτότητα του von Neumann εν καιρώ πολέμου

Τα πρόσωπα του Logicomix… B. Russell: Δεν επηρεάστηκε άμεσα. Αν και ειρηνιστής, ανάμεσα στην πανευρωπαϊκή υποταγή υπό το ναζιστικό καθεστώς και την ένοπλη σύρραξη, υιοθέτησε εν τέλει επιθετική στάση («Σχετικός Πολιτικός Ειρηνισμός»). G. Frege: Γνωστός για τα εθνικοσοσιαλιστικά και αντισημιτικά φρονήματά του, αφιέρωσε τα τελευταία χρόνια της ζωής του στην απέλαση των Εβραίων. «Η Λογική γίνεται κάλλιστα ο βοηθός του δήμιου»

M. Schlick: Δολοφονήθηκε στις 22 Ιουνίου 1936, όταν ανέβαινε τις σκάλες του Πανεπιστημίου, από έναν νεαρό Αυστριακό, ονόματι Johann Nelböck. Το 1935 ο Schlick είχε εκφράσει ανοιχτά την αποδοκιμασία του για τα τεκτενόμενα στη Γερμανία. Ο Nelböck, αν και αρχικά είχε συλληφθεί και φυλακιστεί, τελικά αφέθηκε ελεύθερος χάρη στα φιλοναζιστικά αισθήματα που διαρκώς ενισχύονταν στην Αυστρία (εν συνεχεία έγινε μέλος του Αυστριακού Ναζιστικού Κόμματος). Κύκλος της Βιέννης: Διαλύθηκε λίγο μετά τη δολοφονία του Schlick. Τα περισσότερα μέλη του βρήκαν άσυλο στις ΗΠΑ (εκτός του Schlick)

…και ένας ακόμη: Albert Einstein Εβραϊκής καταγωγής (αν και ελάχιστα θρήσκος) Το 1933 αναγκάζεται να αναζητήσει άσυλο στις Η.Π.Α., λόγω της επικράτησης του ναζιστικού καθεστώτος Εφιστούσε επανειλημμένα την προσοχή των κρατών και συμβούλευε στρατιωτική ετοιμότητα απέναντι στη ναζιστική απειλή Επικηρυγμένος έναντι 5000$

Γενικά… Τα στοιχεία του Ναζισμού που επηρέασαν την Επιστήμη ήταν τα εξής: Αντισημιτισμός  επίσημη απέλαση Εβραίων επιστημόνων από τα Πανεπιστήμια με τους Νόμους της Νυρεμβέργης – 1935 (ομοίως οι ομοφυλόφιλοι) Ανάπτυξη βιομηχανίας  εύνοια εφαρμοσμένων επιστημών έναντι θεωρητικών Πόλεμος  σχεδιασμός πρωτοποριακών οπλικών συστημάτων, ανάπτυξη κλάδων όπως η πυρηνική φυσική Προπαγάνδα  ανάπτυξη τηλεπικοινωνιών, ΜΜΕ Στρατόπεδα συγκέντρωσης  διενέργεια ιατρικών πειραμάτων στους εγκλείστους, ανάπτυξη Ιατρικής

Sachsenhausen Buchenwald

Αποτέλεσμα… Τίθεται σοβαρό ΖΗΤΗΜΑ ΗΘΙΚΗΣ των επιστημόνων (πρβλ. ατομική βόμβα)  Σε τι βαθμό φέρουν ευθύνη οι ίδιοι οι επιστήμονες για γεγονότα όπως αυτά που συνέβησαν στον Β΄ Π.Π.;;;  Πρέπει τελικά να τεθούν όρια στην ανεξέλεγκτη ανάπτυξη της Επιστήμης;;;  Αν όχι, τότε τι πρέπει να γίνει ώστε να μην καταστεί όπλο στα χέρια κακόβουλων ανθρώπων;;;

Κύκλος της Βιέννης

Φιλοσοφικός κύκλος (ομάδα φιλοσόφων με κοινές βλέψεις) 1922-1936 M. Schlick Φιλοσοφικός κύκλος (ομάδα φιλοσόφων με κοινές βλέψεις) Verein Ernst Mach (verein= επιστημονική εταιρεία – αρχική ονομασία, προς τιμήν του Ernst Mach) Λογικο-εμπειριστικό / λογικο-θετικιστικό κίνημα: Η εμπειρία είναι η μοναδική πηγή γνώσης (εμπειριστικός, θετικιστικός χαρακτήρας) Η λογική ανάλυση εκτελούμενη με τη βοήθεια της συμβολικής λογικής είναι η προτιμώμενη μέθοδος επίλυσης φιλοσοφικών προβλημάτων. Σλικ: επικεφαλής, όταν κλήθηκε στο Παν/μιο της Βιέννης Μαχ: Αυστριακός φυσικός κ φιλόσοφος (πρβλ. υπερηχητική ταχύτητα, αριθμός Μαχ) Αρχές: καθόριζαν τη στάση του κύκλου, ΕΞΑΙΡΕΣΗ Ο ΓΚΕΝΤΕΛ!!! Αποτυπώνονται στο Μανιφέστο του Κύκλου

Gustav Bergmann, Rudolf Carnap, Herbert Feigl, Philipp Frank, Kurt Gödel, Hans Hahn, Tscha Hung, Victor Kraft, Karl Menger, Richard von Mises, Marcel Natkin, Otto Neurath, Olga Hahn-Neurath, Theodor Radakovic, Rose Rand και Friedrich Waismann Απαρχές του Κύκλου: Συναντήσεις (1907-1912, 1921-1922) ανάμεσα στους Philipp Frank, Hans Hahn και Otto Neurath πάνω σε θέματα Φιλοσοφίας της Επιστήμης και Επιστημολογίας. Απαρχές: σε καφέ της Βιέννης Οι συναντήσεις διακόπηκαν λόγω του Α ΠΠ Μέθοδος που θυμίζει την επίλυση σχολ. γεωμετρικών ασκήσεων ΜΕΤΑΦΥΣΙΚΗ: Μη ορθολογική ερμηνεία του κόσμου (περιλ. οι θρησκείες) παράδειγμα ελέγχου «ορθότητας

Επιδράσεις από το Tractatus Logico-Philosophicus (Wittgenstein). Απώτερος στόχος: Ενοποίηση της Επιστήμης (ώστε κάθε ορθά διατυπωμένη πρόταση να ανάγεται σε απλούστερες, που συνδέονται άμεσα με εμπειρικά δεδομένα, και να δημιουργηθεί μια «οικουμενική επιστημονική» γλώσσα) Εξάλειψη της μεταφυσικής (→ προτάσεις χωρίς νόημα → λεξιλόγιο ή σύνταξη ) μέσω λογικής ανάλυσης

Φημισμένες Δημοσιεύσεις - Συνέδρια 1928: Πράγα 1930: Königsberg (→ Ανακοίνωση 1ου Θεωρ. Μη Πληρότητας) 1934: Πράγα 1935: Παρίσι 1936: Κοπεγχάγη (αφιερωμένο στην Κβαντική Φυσική και την Αιτιότητα) 1937: Παρίσι 1938: Cambridge, Μ. Βρετανία 1939: Cambridge, Μασαχουσέτη Erkenntniss: ανάληψη έκδοσης, από το ’39 => Otto Neurath, Rudolf Carnap and Charles Morris Κβ. Φυσική: Φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων Αιτιότητα: Σχέση αιτίου – αιτιατού

1928-1937: Schriften zur wissenschaftlichen Weltauffassung («Μονογραφίες για την επιστημονική θεώρηση του κόσμου» – M. Schlick, P. Franz – 10 συγγράμματα) 1933-1939: Einheitswissenschaft («Ενοποιημένη Επιστήμη» - Carnap, Frank, Hahn, Neurath, Jörgensen, Morris – 7 συγγράμματα) 1930-1940: Επιστημονικό περιοδικό Erkenntnis (Rudolf Carnap και Reichenbach) 1938-1969: Μεμονωμένες δημοσιεύσεις στη Διεθνή Εγκυκλοπαίδεια Ενοποιημένης Επιστήμης (International Encyclopedia of Unified Science)

(Γνωστός και ως Λογικός Εμπειρισμός ή Νεοθετικισμός) Λογικός Θετικισμός (Γνωστός και ως Λογικός Εμπειρισμός ή Νεοθετικισμός) Φιλοσοφικό ρεύμα Χαρακτηρίζει τη νοοτροπία του Κύκλου της Βιέννης, αλλά και του Κύκλου του Βερολίνου Ρίζες στο έργο των Frege, Russell και Wittgenstein Συνδυασμός Εμπειρισμού – Θετικισμού και μαθηματικής Λογικής Εύνοια Επιστήμης αντί της μεταφυσικής Βασική αρχή: «Μια πρόταση θεωρείται ότι κυριολεκτικά έχει νόημα, εάν και μόνο εάν είναι αναλυτική ή είναι εμπειρικώς επαληθεύσιμη» (Αρχή της Επαληθευσιμότητας) Εμπειρισμός-θετικισμός: η εμπειρία αποτελεί τη βάση της γνώσης

Επιδίωξη: Δημιουργία μιας «παγκόσμιας» επιστημονικής γλώσσας, που θα μπορεί να εκφράζει όλους τους τομείς της Επιστήμης από κοινού (Ενοποιημένη Επιστήμη)

Κατά τον Κύκλο της Βιέννης Λογική Ανάλυση Κατά τον Κύκλο της Βιέννης Μέθοδος επίλυσης φιλοσοφικών προβλημάτων Στοιχείο που διαφοροποιεί τις αρχές του Κύκλου από τις άλλες μορφές του Εμπειρισμού Διαχωρισμός προτάσεων σε δύο είδη: Προτάσεις που ανάγονται σε απλούστερες που σχετίζονται με εμπειρικά δεδομένα ↔ Επιστήμη Προτάσεις που ΔΕΝ ανάγονται και συνεπώς δεν έχουν νόημα ↔ μεταφυσική Φυσ. Γλώσσα: πχ ουσιαστικά για πράγματα, ιδιότητες, σχέσεις, διαδικασίες, καταστάσεις κλπ 2η αιτία: αντίφαση Αμφότερα αίτια ΑΠΟΡΡΙΠΤΟΝΤΑΙ ΑΠ ΤΟΝ ΚΥΚΛΟ

Αίτια των λογικών σφαλμάτων είναι η αμφισημία της φυσικής γλώσσας και το γεγονός ότι υπάρχουν a priori συνθετικές προτάσεις που επεκτείνουν τη γνώση χωρίς τη συμβολή της εμπειρίας. Εντούτοις, η επιβίωση της μεταφυσικής και της θεολογίας οφείλεται όχι μόνο σε λογικά σφάλματα, αλλά και σε κοινωνικούς και οικονομικούς παράγοντες

Βιβλιογραφία www.wikipedia.org www.albert-einstein.org/.index2.html (αφιερωμένη στον Einstein) www.rudyfoto.com/hol/nazimedicine.html (φωτογραφίες από στρατόπεδα συγκέντρωσης) www.jnfindlay.com (αφιερωμένη στον J.N. Findlay) http://www.spartacus.schoolnet.co.uk/TUrussellD.htm (εκπαιδευτικού περιεχομένου - βιογραφία D. Black) Ernest Nagel, James R. Newman, «Το Θεώρημα του Gödel», Εκδόσεις Τροχαλία, 1991 (Οι ιστοσελίδες ισχύουν για το δίαστημα Απρίλιος – Μάιος 2010)

ΤΕΛΟΣ Ο εγκέφαλος είναι μια υπολογιστική μηχανή συνδεδεμένη με ένα πνεύμα Kurt Gödel