Τζόγος, Κυκλωματα και Facebook 2 η Διάλεξη Α. Γελαστόπουλος Ρ. Γρηγορίου Θ. Κεχαγιάς Μάρτης 2009

Facebook by Touchgraph

Περίπατος στο Facebook Ερώτημα: Ποιος είναι ο Βασικός Facebooker?

Παράδειγμα: Που βαδίζουμε κύριοι

Παράδειγμα: Web Surfing

Παράδειγμα: Αναφορές σε μια Εργασία

Παράδειγμα: Αριθμός Erdos

Πως να το μοντελοποιήσουμε? Τυχαίοι περίπατοι Γράφοι Αλυσίδες Markov

Γράφοι Π.χ. V={Θανάσης, Ορέστης, Χριστίνα,...}, Ε={ΘανΟρε, ΘανΧρι, ΟρεΧρι,...} Με γράφους μπορούμε να μοντελοποιήσουμε: Ηλ. Κυκλώματα Το Facebook Το Internet / Web Το …

Facebook by Touchgraph

Αλυσίδες Markov Ενας τυχαίος περίπατος πάνω σε γράφο Μαρκοβιανή ιδιότητα: το παρελθόν δεν μετράει:

Τυχαίος Περίπατος στο Facebook (Touchgraph)

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα

Παράδειγμα 3

Παράδειγμα 4

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα

Ασυμπτωτική Συμπεριφορά

Θεώρημα: Αν υπάρχει s > 0 τέτοιο ώστε P s > 0, τότε υπάρχουν p n (n=1,2,…,N) τέτοια ώστε για m, n = 1, …, N: lim t  ∞ [P t ] mn = p n

Ερώτημα: Ποιος είναι ο βασικός Facebooker? 1 η Απάντηση: Αυτός που έχει περισσότερη πιθανότητα (αυτός που έχει μέγιστη πιθανότητα ισορροπίας) Matlab Code

Παράδειγμα 7 Facebook

Ερώτημα: Ποιος είναι ο βασικός Facebooker? 2 η Απάντηση: Αυτός που είναι το κέντρο του γράφου ???

Ευκλείδεια Γεωμετρία: Το κέντρο ενός κύκλου? Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου? Το κέντρο ενός τυχόντος σχήματος?

Κέντρο – Ορισμός 1: Δίνεται σχήμα S (ένα σύνολο σημείων) Το κέντρο του S είναι το σημείο M το οποίο ελαχιστοποιεί την ποσότητα δηλαδή

Κέντρο – Ορισμός 2 (Βαρύκεντρο): Δίνεται σχήμα S (ένα σύνολο σημείων) Το κέντρο του S είναι το σημείο M το οποίο ελαχιστοποιεί την ποσότητα δηλαδή

Γεωμετρία των Γράφων: Η απόσταση δύο κόμβων u,v ενός γράφου είναι το μήκος του μικρότερου μονοπατιού από το u,v u v d(u,v)=3

u v

Αρχικοποίηση: dist = … for (k=1:n) for (i=1:n) for (j=1:n) through_k = dist(i,k)+dist(k,j); if (through_k < dist(i,j)) dist(i,j) = through_k; end Αλγόριθμος Floyd Υπολογισμός των αποστάσεων σε ένα Γράφο:

Γεωμετρία των Γράφων: Δίνεται γράφος G (V,E). Το κέντρο του G είναι ο κόμβος u ο οποίος ελαχιστοποιεί την ποσότητα δηλαδή

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Παράδειγμα 3 (Facebook)

Ερώτηση Ποια είναι η σχέση των δύο λύσεων του βασικού Facebooker?

Εκμεταλλευόμαστε τη συμμετρία. Οι 3 πρώτες εξισώσεις είναι γραμμικώς εξαρτημένες. Η τέταρτη λέει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 1 α α α α α α α α β β β Λύση: Αλλά το γ είναι το κέντρο, είτε με min(max(dist)) είτε με min(sum(dist)). Άρα «κέντρο != μέγιστη πιθανότητα» α α α α α α α α β β β γ

Ερώτηση ? Το θεώρημα δεν απαντάει στη σχέση μεταξύ των 2 λύσεων

Six Degrees of Separation Yet the world is small: 6˚ The planet is very large: 6.5b!

Six degrees of separation Ο συντομότερος δρόμος για να συνδεθούν μεταξύ τους δύο τυχαίοι άνθρωποι στην γη αποτελείται το πολύ από 6 ακμές Α Β

Έρευνα: Milgram(1967)  300 γράμματα από Δυτική Αμερική με τον ίδιο προορισμό που βρισκόταν στην Μασαχουσέτη.

Συμπεράσματα: Έφτασαν μόνο τα 64, με μέσω αριθμό ενδιάμεσων αλλαγών 5,5. Έλλειψη αξιοπιστίας λόγω μικρού αριθμού δείγματος.

Έρευνα: Watts(2001)  Αποστολή s σε 157 χώρες απ’ όλο τον κόσμο με τελικό στόχο 19 παραλήπτες. Συμπεράσματα: Ο μέσος όρος των ενδιάμεσων αποστολών ίσος με 6. Αξιόπιστο πείραμα, η θεωρία δείχνει να επαληθεύεται.

FACEBOOK χρήστες (κόμβοι) ακμές Διάμετρος 8 Συμπεράσματα: Για δύο τυχαίους χρήστες μέσος όρος της απόστασης 2,85. Το 0,69% των χρηστών αποτελούν αποκομμένα ζεύγη, για τα οποία δεν ισχύει η θεωρία. Έρευνες σε social networks

MSN 240 εκατ. χρήστες (κόμβοι) 30 δισ. συζητήσεις (ακμές) σε έναν μήνα Υπολογισμός αποστάσεων χρηστών με τον αλγόριθμο Floyd Συμπεράσματα: Για δύο τυχαίους χρήστες μέσος όρος της απόστασης 6,6. Ωστόσο για το 22% των χρηστών η θεωρία καταρρίπτεται.

Είναι τα αποτελέσματα αξιόπιστα..? Όχι γιατί…

Διάγραμμα κατανομής ΜΣΝ χρηστών / απόλυτες τιμές Διάγραμμα κατανομής ΜΣΝ χρηστών / ανηγμένο κατά κεφαλή

Μαθηματική προσέγγιση: k  Ο μέσος αριθμός γνωστών N  Ο πληθυσμός της γης Για να αποδειχθεί η θεωρία αρκεί να δείξουμε ότι: k*k*k*k*k*k = N  k 6 = N Α Β

Αν L  μέση απόσταση 2 κόμβων C  συντελεστής ομαδοποίησης του τυχαίου κόμβου Τυχαίο Συγκεκριμένο L  n / k C = 3/6 = 1/2 Τυχαίο L  lnn / lnk C ≈ k / n  0

Six clicks of separation Παραδείγματα: Six degrees of Kevin Bacon Six degrees of Wikipedia Μαθηματικοί Γενικού τμήματος WWW ???

Six degrees of Kevin Bacon O Kevin Bacon έχει τον αριθμό 0. Ένας/Μια ηθοποιός (Α) που έχει εμφανιστεί μαζί του σε κάποια ταινία έχει τον αριθμό 1. Ένας/Μια ηθοποιός (Β) που έχει εμφανιστεί σε κάποια ταινία μαζί με τον Α έχει τον αριθμό 2. κλπ

Six degrees of Wikipedia Ξεκινάμε από ένα άρθρο με ένα συγκεκριμένο θέμα που έχει αριθμό 0. Χρησιμοποιούμε ένα από τα links που εμφανίζονται στο άρθρο για να πάμε σε ένα άλλο με αριθμό 1. Φαίνεται ότι μέσω το πολύ 6 “κλικ” μπορούμε να καταλήξουμε σε κάτι τελείως άσχετο.

Μαθηματικοί Γενικού Τμήματος Ο μαθηματικός από τον οποίο ξεκινάμε έχει τον αριθμό 0 Ένας μαθηματικός που έγραψε ένα σύγγραμμα μαζί του έχει τον αριθμό 1 Κλπ

Λίγα λόγια για τoν συντελεστή ομαδοποίησης(C) Όπου: k i  Ο αριθμός των ακμών που υπάρχουν μεταξύ των γειτόνων του i n i  Ο αριθμός όλων των δυνατών ακμών μεταξύ των γειτόνων