ΓΡΗΓΟΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER TΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Πτυχιακή Εργασία ΓΡΗΓΟΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Όνομα Σπουδαστή: Στρεμπένης Γεώργιος Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ.Αναστάσιος Μπαλουκτσής

Σύντομη Περιγραφή Εισαγωγή Ο DFT είναι ένα από τα πιο σπουδαία εργαλεία στη ψηφιακή επεξεργασία σήματος. Στην πτυχιακή θα αναπτυχθούν οι αλγόριθμοι DIT και DIF οι οποίοι μειώνουν κατά πολύ τον αριθμό των απαιτούμενων πράξεων όταν το πλήθος των διακριτών σημείων της συνάρτησης είναι μεγάλο. Εισαγωγή Η ανάλυση Fourier είναι μια οικογένεια μαθηματικών τεχνικών, με την χρήση των οποίων επιδιώκεται η ανάλυση των σημάτων σε ημιτονοειδής συναρτήσεις διαφορετικού πλάτους και φάσης και ονομάστηκε έτσι από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό J.B.J.Fourier (1768-1830)

Τύποι Μετασχηματισμού Fourier Αντίστροφος μετασχηματισμός Σειρά Fourier

Τύποι Μετασχηματισμού Fourier (συνέχεια) Αντίστροφος μετασχηματισμός Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier(FFT) O FFT είναι ένα πλήθος από διαφορετικούς αλγορίθμους για τον υπολογισμό του DFT έχοντας κοινό χαρακτηριστικό να διαιρούν το πρόβλημα σε πανομοιότυπα μικρότερα προβλήματα και να χρειάζονται μόνο (Ν/2)log2N μιγαδικούς πολλαπλασιασμούς για τον υπολογισμό ενός DFT N-σημείων. όπου

Κατηγορίες FFT Κατηγορία 1 Κατηγορία 2 Αλγόριθμοι FFT διαίρεσης στο χρόνο (DIT) Αλγόριθμοι FFT διαίρεσης στη συχνότητα (DIF) Κατηγορία 2 Αλγόριθμοι FFT σε θέση (In-Place) Αλγόριθμοι FFT φυσικής εισόδου-εξόδου (Natural Input-Output)

Αλγόριθμοι FFT διαίρεσης στο χρόνο Έστω δείγμα f[n] αποτελείται από ένα αριθμό στοιχείων, ο οποίος μπορεί να εκφρασθεί ως δύναμη του 2. Τα δεδομένα χωρίζονται σε δύο ομάδες, εκ των οποίων η μια περιλαμβάνει τα δεδομένα με άρτιο δείκτη και η άλλη με περιττό δείκτη Για

Αλγόριθμοι FFT διαίρεσης στο χρόνο(συνέχεια) Και Για Άρα έχουμε: για ή

Σχηματική παράσταση υπολογισμού DIT

Επεξήγηση υπολογιστικής δομής πεταλούδας Οι υπολογισμοί μετά τους DFT μετασχηματισμούς γίνονται σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις με μια υπολογιστική δομή που ονομάζεται «πεταλούδα». Παράδειγμα για Ν=2 Έστω x(n) για

Επεξήγηση υπολογιστικής δομής πεταλούδας (συνέχεια) Για k=1 Άρα για Σχήμα Πεταλούδας

Αλγόριθμοι FFT διαίρεση στη συχνότητα(DIF) Οι συντελεστές F[k] χωρίζονται σε δύο ομάδες, εκ των οποίων η μία περιλαμβάνει τους συντελεστές με άρτιο δείκτη και η άλλη με περιττό δείκτη.

Αλγόριθμοι FFT διαίρεση στη συχνότητα (DIF ) Για τους συντελεστές με περιττό δείκτη ισχύει:

Σχηματική παράσταση υπολογισμού DIF

Αριθμητικές πράξεις μεταξύ DFT-FFT

Χρήση προγράμματος Matlab Παράδειγμα DIT για Ν=8 εισάγοντας τιμές από πληκτρολόγιο

Παράδειγμα DIT για Ν=8 εισάγοντας τιμές από αρχείο excel

Διαγράμματα μέτρου και φάσης

Παράδειγμα DIF για Ν=8 εισάγοντας τιμές από πληκτρολόγιο

Παράδειγμα DIF για Ν=8 εισάγοντας τιμές από αρχείο excel

Διαγράμματα μέτρου και φάσης

Τέλος παρουσίασης Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέπων καθηγητή Δρ. Αναστάσιο Μπαλουκτσή για την συνεργασία και την πολύτιμη βοήθεια που μου πρόσφερε ώστε να υλοποιηθεί η εργασία αυτή.