ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ & MATLAB Νικ. Α. Τσολίγκας Χρήστος Μανασής

Σύνθετες Μεταβλητές Οι σύνθετες μεταβλητές έχουν εισηχθεί σαν προέκταση των πραγματικών αριθμών έτσι ώστε όλες η πολυωνυμικές εξισώσεις να έχουν λύση. Παράδειγμα: Ωστόσο, με την πάροδο του χρόνου βρέθηκαν πολλές εφαρμογές οι οποίες μπορούν να επιλυθούν όταν χρησιμοποιούμε σύνθετες μεταβλητές παρά πραγματικές. Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών περιέχει το σύνολο R των πραγματικών αριθμών: •με τις ίδιες πράξεις και ιδιότητες, •τα ίδια ουδέτερα στοιχεία στην πρόσθεση (0) και στον πολλαπλασιασμό (1) και •επιπλέον ένα στοιχείο i (φανταστική μονάδα) τέτοιο ώστε i2= - 1. κάθε στοιχείο z του C γράφεται με μοναδικό τρόπο με τη μορφή z = x + iy, x, y ∈ R το x ονομάζεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται ως Re(z). το y ονομάζεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται ως Im(z).

Γεωμετρική παράσταση και ισότητα μιγαδικών Σε πολικές συντεταγμένες z = r cos θ + ir sin θ Όπου r = (μέτρο) θ = (φάση) Ισότητα μιγαδικών αριθμών: Δυο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη είναι ίσα. a + ib = c + id ⇒ a = c, b = d

Πράξεις μιγαδικών αριθμών Άθροισμα και Αφαίρεση μιγαδικών αριθμών: z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = ??? z1 − z2 = (x1 + iy1) − (x2 + iy2) = ??? Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση μιγαδικών αριθμών: z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = ??? in = i4k+m = (i4)k im = im = 1, ι, -1, -ι : ΓΙΑ m = 0, 1, 2, 3

MATLAB ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

MATLAB ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ -z1 αντίθετος του z1 [ -(a+bi)=-a-bi ] conj(z1) συζυγής του z1 [ conj(z1)=a-bi ] a=real(z1), b=imag(z1) z=a+ib r=abs(z1), θ=angle(z1) z=r ejθ r=sqrt(a^2+b^2), tan(θ) = b/a a=r * cos(θ), b=r * sin(θ)

Μιγαδικά εκθετικά z = z2z1 = r1eiθ1r2eiθ2 = ??????? Εφόσον μιγαδικές οντότητες μπορούμε να τις χειριστούμε όπως τις πραγματικές, με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να χειριστούμε συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών. Οι δυναμοσειρές μας βοηθούν να το πετύχουμε. Καλούμε δυναμοσειρά με κέντρο x0 το άθροισμα των απείρων όρων της ακολουθίας των συναρτήσεων c n = a n ( x − x 0 ) , δηλαδή Για παράδειγμα, Για πραγματικούς αριθμούς ορίζουμε: Για μιγαδικούς αριθμούς ορίζουμε: Συνεπώς: ez1 ez2 = ez1 + z2 και ( ez )a = ea z . Όταν πολλαπλασιάζουμε 2 μιγαδικούς αριθμούς z = z2z1 = r1eiθ1r2eiθ2 = ???????

Μιγαδικά εκθετικά De Moivre Θεώρημα: z = r ( cosθ + i sinθ) η zn = [r ( cosθ + i sinθ)]n zn = rn ( cos nθ + i sin nθ)

ΣΥΖΥΓΕΙΣ Εάν z = x+iy = ejθ τοτε ορίζουμε σαν συζυγή = x-iy

MATLAB ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ