Τα Μαθηματικά στην Αρχαία Αίγυπτο Ν. Καστάνη Τα Μαθηματικά στην Αρχαία Αίγυπτο Ν. Καστάνη Η πρώτες μόνιμες εγκαταστάσεις γύρω από το Νείλο έγιναν την περίοδο 8.000-6.000 π.Χ. Στα μέσα της 4ης χιλιετηρίδας δημιουργήθηκαν δύο βασίλεια: το Βόρειο στην Κάτω Αίγυπτο και το Νότιο στην Άνω Αίγυπτο. Γύρω στο 3.000 π.Χ. ο βασιλιάς Μήνης ή Μένες από την Άνω Αίγυπτο κυρίευσε το βασίλειο της Κάτω Αιγύπτου και ενοποίησε την περιοχή σ΄ένα βασίλειο. Η χώρα μετατράπηκε σε μια συγκεντρωτική δεσποτεία Με τον Μένες άρχισε η ονομαζόμενη εποχή των δυναστειών, η εποχή των Φαραώ (μέχρι το 341 π.Χ.).

Ιστορία της Αρχαίας Αιγύπτου Αναπαράσταση της κυριαρχίας του Μένες

Η Αρχαία Αίγυπτος

Η γραφή στην Αρχαία Αίγυπτο Το πρώτο είδος γραφής στη Αρχαία Αίγυπτο εμφανίστηκε το 3.100 π.Χ. περίπου και ήταν η ιερογλυφική. Γύρω στο 2.000 π.Χ. επικράτησε ένα άλλο είδος γραφής που ονομάζεται ιερατική γραφή. Και γύρω στο 700 π.Χ. εμφανίστηκε και η δημοτική γραφή.

Είδη γραφής στην Αρχαία Αίγυπτο

Οι γραφείς στη Αρχαία Αίγυπτο

Οι πηγές των αιγυπτιακών Μαθηματικών. Πάπυρος Rhind, είναι μια συλλογή 84 προβλημάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.Χ. Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.Χ. Είναι μια συλλογή 25 προβλημάτων. Ο δερμάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.Χ. και περιέχει 26 αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων. Επίσης υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.Χ. περίπου και περιέχουν μαθηματικές πράξεις και προβλήματα.

Αιγυπτιακοί πάπυροι με Μαθηματικά Πάπυρος της Μόσχας Πάπυρος Rhind

Οι παραστάσεις των αριθμών στην Αρχαία Αίγυπτο Αριθμοί στην ιερατική γραφή Αριθμοί στην ιερογλυφική γραφή

Αριθμητικές πράξεις στον Πολιτισμό της Αρχαίας Αιγύπτου Πρόσθεση

Από το πρόβλημα 79 του πάπυρου Rhind Μεταγραφή της ιερατικής γραφής των αριθμών σε σύγχρονη απόδοση. Πρώτα από δεξιά στα αριστερά και στη συνέχεια σύμφωνα με τον σημερινό τρόπο.

Αριθμητικές πράξεις στον Πολιτισμό της Αρχαίας Αιγύπτου Πολλαπλασιασμός 16 . / 160 10 / 80 5 / 256 αποτέλεσμα 1616

1212 17 1/ 34 2 68 4/ 136 8/ 221 13 1713 Πολλαπλασιασμοί 17 1/ 34 2 68 4/ 136 8/ -------------------------------- 221 13 1713

Διαίρεση 1 80 2 160 4 / 320 / 10 / 800 / ----------------------------------------------------- 14 1120 297 : 12 1 12 2 24 4 48 8 / 96 / 16 / 192 / ½ / 6 / ¼ / 3 / ------------------------------------------------------------------------ 24 ½ ¼ 297 1120 : 80

Κλάσματα

Πίνακας των “κλασμάτων” με n=2κ+1. Από τον Πάπυρο Rhind

Προβλήματα Από τον πάπυρο Rhind Να μοιραστούν 6 ψωμιά σε 10 ανθρώπους. Απάντηση: Επαλήθευση: 1 Διαίρεση : 1 10 2 1 5 / 1 / 4 2 8 4

Υπολογισμοί “αχά” Ο όρος “αχά” ή “χα” σημαίνει ποσότητα ή σωρός κάποιων πραγμάτων. Πρόβλημα 26 του πάπυρου Rhind : Μια ποσότητα και το τέταρτο μέρος αυτής κάνουν μαζί 15. Ποια είναι η ποσότητα; Έστω 4. Τότε το 4 και 1 (το τέταρτο μέρος του 4) κάνει 5 και όχι 15. Για να βρεθεί το σωστό, πρώτα υπολογίζεται η απόκλιση και σημειώνεται ότι το 15 είναι τριπλάσιο του 5. Έτσι η διόρθωση της αρχικής αυθαίρετης παραδοχής γίνεται με τριπλασιασμό της, 3 φορές το 4, δηλ. 12. Διαπιστώνεται ότι αυτό είναι σωστό, γιατί 12 και 3 (το τέταρτο του 12) κάνει 15. Η μέθοδος αυτή, που χρησιμοποιήθηκε και σε μεταγενέστερες εποχές, ονομάζεται: μέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ή μέθοδος της λανθασμένης θέσης.

Γεωμετρικές γνώσεις των Αιγυπτίων Από τις υπάρχουσες μαρτυρίες διαπιστώνεται ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν να υπολογίζουν τα εμβαδά ορθογωνίων παραλληλογράμμων, ορθογωνίων τριγώνων, τραπεζοειδών, κύκλων. Επίσης γνώριζαν να υπολογίζουν όγκους κυλίνδρων, πυραμίδων και κόλουρων πυραμίδων. Πρόβλημα 51 του πάπυρου Rhind: Να υπολογιστεί η επιφάνεια ενός τριγωνικού χωραφιού με βάση 4 (μονάδες μέτρησης) και πλευρά 10. Το αποτέλεσμα βρίσκεται με τον πολλαπλασιασμό του μισού του 4 επί 10, δηλ. 20.

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του εμβαδού κύκλου Πρόβλημα 50 του πάπυρου Rhind: Ένα κυκλικό χωράφι έχει διάμετρο 9 (μονάδες μέτρησης). Πόσο είναι το εμβαδόν του; Ο υπολογισμός γίνεται ως εξής: Πρώτα βρίσκεται το ένα ένατο του 9, που είναι 1. Αυτό αφαιρείται από το 9 και γίνεται 8. Και υπολογίζεται το γινόμενο του 8 επί 8. 1 8 2 16 4 32 \ 8 64 / Το 64 είναι το αποτέλεσμα. Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του εμβαδού κύκλου αντιστοιχεί, με τα σημερινά δεδομένα, στον τύπο:

Πρόβλημα 14 του πάπυρου της Μόσχας: Υπολογισμός του όγκου κόλουρης πυραμίδας, με ύψος 6 (μονάδες μήκους) η μια βάση 4 και η άλλη 2. Αλγόριθμος: Πολλαπλασιασμός του 4 επί 4, κάνει 16. Πολλαπλασιασμός του 4 επί 2, κάνει 8. Πολλαπλασιασμός του 2 επί 2, κάνει 4. Πρόσθεση του 16 και 8 και 4, κάνει 28. Το ένα τρίτο του 6, κάνει 2. Πολλαπλασιασμός του 28 επί 2, κάνει 56. Το 56 είναι το αποτέλεσμα. Με τα σημερινά δεδομένα αντιστοιχεί στον τύπο: