Maths behind human beauty Με τι ασχοληθήκαμε. Τα μαθηματικά και η τέχνη. Συμμετρίες Μαθηματικά και αναλογίες προσώπου.(Ποια πρόσωπα είναι μαθηματικά όμορφα.)‏ Fractals

Τα μαθηματικά και η τέχνη Τα μαθηματικά και η τέχνη μολονότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο ξεχωριστά – διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς.Tα μαθηματικά, μολονότι θεωρούνται κυρίως λογική – αναλυτική επιστήμη, έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης, η οποία απευθύνεται κυρίως στο συναίσθημα. Τα μαθηματικά μέχρι και σήμερα εξακολουθούν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών της τέχνης. Ιστορική αναδρομή. Ο Ευκλείδης άκμασε γύρο στο 300 π.Χ στην Αλεξάνδρεια. Για τη ζωή του δεν γνωρίζουμε τίποτα εκτός από το ότι σπούδασε στην Αθήνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Όσον αφορά την συγγραφική του δράση, γνωρίζουμε ότι ένα από τα σημαντικότερα έργα του είναι τα “Στοιχεία”. Τα “Στοιχεία” συμπεριλαμβάνουν τις κυριότερες γεωμετρικές γνώσεις των Ελλήνων. Το έργο αυτό, σε 13 βιβλία περιέχει μέσα του 372 θεωρήματα και 93 προβλήματα. Στο 13ο βιβλίο των «Στοιχείων» του απέδειξε ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε τύποι κανονικών πολυέδρων: το τετράεδρο, το οκτάεδρο, ο κύβος, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Ο Αθηναίος φιλόσοφος Πλάτωνας (427-348 π.χ.) έτρεφε ένα τόσο μεγάλο θαυμασμό απέναντι σ’ αυτά τα σχήματα ώστε τα χρησιμοποίησε στο κοσμολογικό του σύστημα προκειμένου να απεικονίσει τα τέσσερα βασικά στοιχεία του σύμπαντος – τη γη, τον αέρα, τη φωτιά και το νερό. Τα «Πλατωνικά στερεά», όπως είναι γνωστά τα κανονικά αυτά πολύεδρα, έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς σε πολλά και διάφορα έργα τέχνης ως διακοσμητικά στοιχεία. Ο Leonardo da Vinci (1402-1519) είναι γνωστός για τα επιτεύγματά του τόσο στις επιστήμες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα του χρησιμοποίησε παραστατική γεωμετρία προκειμένου να δημιουργήσει τα πρώτα παραμορφωμένα πλέγματα, τα οποία όταν ειδωθούν από κάποια συγκεκριμένη γωνία εμφανίζονται κανονικά.

Ο Johanes Kepler (1580-1630) επίσης πέρα από τη αστρονομία είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τη δημιουργία γεωμετρικών ψηφιδωτών. Ο Vincent van Gogh(1853-1890) είναι γνωστός για τα εντυπωσιακά έργα του με τους μοναδικούς του στροβιλισμούς. Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» ο νους μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη Maurits Escher (1898-1972), ο οποίος δικαίως θεωρείται ο πατέρας αυτού του είδους της τέχνης. Πολλά έργα του έχουν ως βάσηκάποια μαθηματικά θέματα που έχουν κατά καιρούς αναλυθεί σε βιβλία ψυχαγωγικών μαθηματικών, όπως αυτά του Martin Gardner. Ο Escher είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχημένη ψηφιδωτή τεχνική με την οποία χωρίζει το επίπεδο. Χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών, ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων κατάφερε να δημιουργήσει μεγάλη ποικιλία καταπληκτικών όσο και απροσδόκητων εικόνων, οι οποίες βασίζονται σε νόμους της συμμετρίας, της θεωρίας συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας και της κρυσταλλογραφίας . Ο Salvator Dali(1904-1989) ήταν ένας άλλος διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικά-τοπολογικά στοιχεία. Ο Dali απεικόνισε σε πολλά έργα του τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων.  Στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης», υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα. Στα τέλη του 19ου αιώνα – αρχές του 20ου, μια ομάδα μαθηματικών με επικεφαλής τους Peano, Hilbert, Cesaro, Koch και Sierprinski, μεταξύ άλλων, διαμόρφωσαν μια νέα οικογένεια καμπύλων με αλλοπρόσαλλες μαθηματικές ιδιότητες, οι οποίες ξέφευγαν από κάθε άλλο προηγούμενο. Αντίθετα προς την παραδοσιακή γεωμετρία που βασιζόταν στα τρίγωνα, τα τετράγωνα, τους κύκλους, τις ελλείψεις κλπ, αυτή η νέα γεωμετρία περιγράφει περιστρεφόμενες καμπύλες, σπιράλ και ίνες οι οποίες περιτυλίσσονται μεταξύ τους έτσι ώστε να δίνουν περίπλοκα σχήματα, οι λεπτομέρειες των οποίων να χάνονται στο άπειρο.

The Last Supper (1495-1498) -Τοιχογραφία Leonardo Da Vinci The Last Supper (1495-1498) -Τοιχογραφία

Escher O M.C. Escher, που ήταν ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα, έγινε παγκοσμίως γνωστός για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης του είναι ένα ταξίδι μεταξύ της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής. Είχε δηλώσει επίσης : “Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνης”. Τα έργα του αντανακλούν ένα πλήθος μαθηματικών ιδεών και ειδικά έννοιες και τεχνικές της σύγχρονης γεωμετρίας. Εκεί έρχεται σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ, εντυπωσιάζεται και εμπνέεται από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτηρίων. Ο Escher ήθελε να δώσει ζωή σε αυτά τα αφηρημένα σχέδια χρησιμοποιώντας ζώα κυρίως πουλιά και ψάρια, φυτά και ανθρώπους γιατί η επίδραση από κάτι γνώριμο του φαινόταν πιο δυνατή. Παρόλο που στα προηγούμενα χρόνια είχε κινηθεί κατά διαστήματα προς αυτή την κατεύθυνση από το 1937 συγκεντρώνεται στις επινοήσεις της δικής του φαντασίας και ερευνά εντατικά τεκμηριωμένο, εικονογραφικό υλικό από διάφορες έρευνες  για τα μαθηματικά και την κρυσταλλογραφία. Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του.

Print Gallery, lithograph (1956) Belvedere, lithograph (1958)

Το έργο όμως που τον έκανε πασίγνωστο ήταν η συστηματική διαίρεση του επιπέδου και οι περίφημες πλακοστρώσεις του. Ένα έργο στο οποίο υπερέχει η καθαρή γεωμετρία. Ο ίδιος είπε : “Πρόκειται για την πλουσιότερη πηγή έμπνευσης που είχα ποτέ: Ο τρόπος με τον οποίο μια επιφάνεια μπορεί να διαιρεθεί, ή να γεμίσει με ομοιόμορφα σχήματα που εφάπτονται χωρίς να αφήνουν καθόλου κενά.” Up and Down γνωστό και ως High and Low, lithograph (1947) Sky and Water II, lithograph (1938)

Vincent Willem van Gogh(1853-1890)‏ Γιός πάστορα, πρωτότοκος οκτώ παιδιών, μελαγχολικός και ευάλωτος ψυχικά από την παιδική ηλικία, ο Ολλανδός Vincent van Gogh, θα γίνει η εμβληματική μορφή του εξπρεσιονισμού ζωγραφίζοντας περί τους 800 πίνακες και 1000 μικρότερα σχέδιαστη διάρκεια δέκα μόλις χρόνων. Ιεροκήρυκας αρχικά και ενθουσιώδης με τη θρησκεία θα νοιώσει την ένδεια και τον αγώνα των απλών ανθρώπων, στοιχεία που θα μεταφέρει αργότερα στην επιφάνεια των έργων του αλλάζοντας δραστικά το θεματολόγιο της μοντέρνας τέχνης. Λάτρης της φύσης θα απεικονίσει την οργιαστική έκρηξή της με χρώματα και παθιασμένες πινελιές που δεν έχουν ποτέ πριν παρουσιαστεί σε καμβά. Στα 27 του σπουδάζει τέχνη, δουλεύοντας εντατικά και αλληλογραφώντας με τον αδελφό του Τεό, σημαντικό έμπορο τέχνης. Το 1888 αποσύρεται στην Προβηγκία, διαταραγμένος ψυχολογικά ακρωτηριάζει το αριστερό του αυτί και το ’89 εισάγεται σε ψυχιατρική κλινική. Ένα χρόνο μετά, ο άνθρωπος που είχε πει «ρισκάρω τη ζωή μου για το έργο μου και το μισό λογικό μου έχει χαθεί» αυτοπυροβολείται στο στήθος και πεθαίνει δυο μέρεςαργότερα, στα 37 του μόλις χρόνια. Αριστερά το έργο Έναστρη Νύχτα, (λάδι σε καμβά, 29×36, 1889, Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης (ΜοΜΑ), Νέα Υόρκη) και δεξιά εικόνα αναταράξεων σε θαλάσσια νέφη από δορυφόρο της NASA. Η ομοιότητα και οπτικά είναι εντυπωσιακή

Η «Έναστρη Νύχτα» με ένα φλεγόμενο κυπαρίσσι στο πρώτο φόντο και τον νυχτερινό ουρανό να στροβιλίζεται σε ένα χορό από δίνες θεωρείται το magnus opus, το μέγιστο έργο του van Gogh και ίσως το διασημότερο μετά τα περίφημα «Ηλιοτρόπια». Όλα τα στοιχεία της εξπρεσιονιστικής ιδιοφυϊας του ζωγράφου είναι εδώ: οι εκρηκτικές, πηχτές σαν ανάγλυφα πινελιές, η δυνατή σύνθεση, η συμπυκνωμένη ένταση, η μαεστρία των χρωμάτων. Αλλά και κάτι ακόμα, που ανακαλύφθηκε μόλις πριν λίγα χρόνια στο επιστημονικό εργαστήριο του φυσικού Χοσέ Λουί Αραγκόν, στο Εθνικό Αυτόνομο Πανεπιστήμιο του Μεξικό. Η έρευνα έδειξε πως ότι οι χαοτικές δίνες που εμφανίζονται σε πίνακες του van Gogh όπως στην »Έναστρη Νύχτα» ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά. Με λίγα λόγια τους φυσικούς στροβιλισμούς που εμφανίζει ένας τυφώνας, μια ταραγμένη θάλασσα, οι ανεμοστρόβιλοι και τα νέφη. Η ανάλυση των πινάκων στον υπολογιστή αποκάλυψε πως οι ζωγραφικές δίνες του van Gogh ακολουθούν τις εξισώσεις του Αντρεϊ Κολμογκόροφ. Το 1941 ο Ρώσος επιστήμονας εισήγαγε την ιδέα πως και οι πιο ελάχιστες κλιμακώσεις των αναταράξεων υπακούουν σε ένα παγκόσμιο μοτίβο, είναι δηλαδή παρόμοιες για κάθε ροή στροβιλισμού διατυπώνοντας τις «κλιμακώσεις Κολμογκόροφ», τις μόνες μέχρι στιγμής εξισώσεις που εξηγούν το ακόμα αινιγματικό φαινόμενο των στροβιλισμών. Οι «κλιμακώσεις» του που έδιναν ένα μαθηματικό μοντέλο για την ροή της ενέργειας των στροβιλισμών στον χώρο και τον χρόνο, με αναπάντεχο, διαισθητικό τρόπο αποτυπώνονται στην δονούμενη επιφάνεια της «Έναστρης Νύχτας» αλλά και σε άλλους πίνακες του ζωγράφου όπως στο «Δρόμο με Κυπαρίσσι και Άστρο» και στο φόντο «Αυτοπροσωπογραφιών» του. Ο van Gogh ήταν ο μόνος ζωγράφος που έδειξε συνέπεια με τα μαθηματικά των ρευστών αναταράξεων. Σε αντίστιξη, για παράδειγμα η διάσημη «Κραυγή» του Edvard Munch, μόνο επιφανειακά παρουσίαζε ομοιότητα αλλά δεν ακολουθούσε τη θεωρία του Κολμογκόροφ. Το παράδοξο είναι πως ο Ολλανδός καλλιτέχνης ζωγράφιζε τις σωστές μαθηματικά δίνες του μόνο την περίοδο των ψυχωτικών του επεισοδίων. Ο πίνακας δείχνει τη θέα από το δωμάτιό του όταν ήταν έγκλειστος στο άσυλο του Σαν Ρεμύ. Αν και δείχνει νυχτερινό τοπίο ζωγραφίστηκε από μνήμης στη διάρκεια της μέρας. Για την ιστορία, η «Έναστρη Νύχτα» έχει δείξει μια ακόμα περίεργη σύμπτωση, με κοσμικούς σχηματισμούς, αυτή τη φορά. Στις εικόνες που μετέδωσε ο δορυφόρος Hubble το 2004 ο πίνακας συγκρίθηκε με την αστρονομική φωτογραφία ενός αστεριού με το όνομα V838 Monocerotis και βρέθηκε αξιοθαύμαστη ομοιότητα των περιδινούμενων νεφών αερίου στην επιφάνεια του αστεριού με τα μοτίβα στροβιλισμού στον καμβά του van Gogh.

Βάζο με 12 ηλιοτρόπια (1889) Μετά το θάνατο του van Gogh, η φήμη του εξαπλώθηκε ραγδαία, με αποκορύφωμα μεγάλες εκθέσεις έργων του που πραγματοποιήθηκαν στο Παρίσι (1901), το Άμστερνταμ (1905), την Κολονία (1912), τη Νέα Υόρκη (1913) και το Βερολίνο (1914).

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ξεκινώντας από την αόριστη αντίληψη της συμμετρίας σαν "αρμονία των αναλογιών", σε αυτό το κεφάλαιο θα αποπειραθούμε να παρουσιάσουμε τη γεωμετρική, έννοια της συμμετρίας στις διάφορες μορφές που εμφανίζεται. Σκοπός είναι η βαθύτερη κατανόηση της συμμετρίας και επιπλέον η σκιαγράφηση της γενικής ιδέας που αποτελεί τη βάση όλων αυτών των ειδικών μορφών της: το αμετάβλητο ενός σχηματισμού στοιχείων ως προς μια ομάδα μετασχηματισμών. Συμμετρία ονομάζεται η ιδιότητα μερικών γεωμετρικών σχημάτων, στα οποία σε κάθε σημείο τους υπάρχει αντίστοιχο σημείο που ανήκει στο σχήμα. Το μέσο αυτού του ευθύγραμμου τμήματος ανήκει σε ένα στοιχειώδες γεωμετρικό σχήμα, δηλαδή ένα σημείο, μια ευθεία, ή ένα επίπεδο. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο υπάρχουν τρία είδη συμμετρίας τα οποία είναι: η σφαιρική, η αξονική, η κατοπτρική και η συμμετρία κλίμακας. Είδη συμμετρίας. Σφαιρική είναι η σημειακή συμμετρία ως προς το σημείο Ο: Για κάθε σημείο Α του σχήματος, στο σχήμα ανήκει και το σημείο Β, το οποίο ανήκει στο προεκτεταμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΟ έτσι, ώστε ΑΟ=ΟΒ. Αξονική είναι η συμμετρία ως προς τον άξονα ε: Για κάθε σημείο Α του σχήματος, στο σχήμα ανήκει και το σημείο Β που βρίσκεται σε τέτοιο σημείο, ώστε να απέχει από την ευθεία ε απόσταση ίδια με το Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να τέμνεται από την ευθεία ε. Κατοπρική είναι η συμμετρία ως προς επίπεδο Π: Για κάθε σημείο Α του σχήματος, στο σχήμα ανήκει και το σημείο Β που βρίσκεται σε τέτοιο σημείο, ώστε να απέχει από το επίπεδο Π απόσταση ίδια με το Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να τέμνεται κάθετα από το επίπεδο Π. Η κατοπτρική συμμετρία εμφανίζεται στους καθρεύτες. Η συμμετρία υπό κλίμακα εμφανίζεται στις αυτοόμοιες δομές, τα φράκταλ. Οι δομές αυτές αναπαράγουν τον εαυτό τους στο χώρο, με ελάχιστη διαφοροποίηση σε σχήμα από το αρχικό μοτίβο αλλά σε άλλο μέγεθος, καθώς εξελίσσονται.

Εάν επιχειρήσουμε να γράψουμε ορισμένες λέξεις και τις τοποθετήσουμε μπροστά από έναν καθρεύτη, θα παρατηρήσουμε ότι κάποιες διαβάζονται ανάποδα και κάποιες όχι. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα γράμματα: Β,Ε,Η,Θ,Ι,Κ,Ξ,Ο,Σ,Φ,Χ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα συμμετρίας και την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο τους. Έτσι σε αυτό το μετασχηματισμό τα είδωλά τους παραμένουν ίδια.

Συμμετρίες που παρατηρούνται στη φύση. 1) ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα του ανθρώπου, το είδος της συμμετρίας που εμφανίζεται είναι κατά προσέγγιση η αμφίπλευρη. Αφού το ανθρώπινο σώμα είναι αμφίπλευρα συμμετρικό, κάθε αμφίπλευρα συμμετρικό σώμα θα έχει την ίδια θεμελιώδη και καταφανή ιδιότητα του ανθρώπινου σώματος: να έχει τα επιμέρους τμήματα του κατανεμημένα ομοιόμορφα γύρω από ένα κάθετο ενδιάμεσο άξονα, έτσι ώστε να χωρίζεται νοητά σε δύο όμοια μισά, που το ένα μπορεί να προκύψει από το άλλο με τη διαδικασία που λέγεται κατοπτρισμός ή ανάκλαση. Με λίγη σκέψη το συμπέρασμα επεκτείνεται σε όλα τα σπονδυλωτά ζώα.

Το πρόβλημα της συμμετρίας του ανθρώπου του Βιτρούβιουτου Leonardo da Vinci. Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της ιδιοφυΐας του Leonardo da Vinci είναι η ανάδειξη.Έτσι, όταν μελετά και ζωγραφίζει τις αναλογίες του ανθρώπου του Βιτρούβιου δεν εξετάζει μόνο το ανδρικό κορμί. Στο πιο αφαιρετικό επίπεδο, δίνει μια προσεγγιστική μέθοδο της επίλυσης του τετραγωνισμού του κύκλου που δεν έχει λύση με την αποκλειστική χρήση του χάρακα και του διαβήτη. Δίνει, όμως, και πληροφορίες για το ανθρώπινο σώμα που δεν είναι μόνο και μόνο η υλοποίηση των θεωρητικών υπολογισμών του Βιτρούβιου. Ένα από τα προβλήματα που αναδεικνύει η ιδιοφυΐα του, είναι η ασυμμετρία της συμμετρίας του ανθρώπινου σώματος. Επιφανειακά, ο άνθρωπος έχει φαινομενικά μια αξονική συμμετρία. Όμως, όπως το διευκρινίζει η τέχνη του Leonardo da Vinci, η πραγματικότητα είναι διαφορετική. Το ανδρικό κορμί είναι σχεδόν συμμετρικό, αλλά δεν είναι απόλυτα συμμετρικό. Το ίδιο ισχύει και για την αναπαράσταση του ανθρώπου του Βιτρούβιου από το Leonardo da Vinci. Φαινομενικά, το έργο είναι η αρχιτεκτονική πρόσοψη του ανθρώπινου οικοδομήματος. Αν εξετάσουμε, όμως, μεθοδικά τις λεπτομέρειες που καταγράφει ο Leonardo da Vinci, θα δούμε ότι η αναπαράστασή του είναι όντως πολλαπλή. Η διαφορά μεταξύ δεξιού και αριστερού ποδιού είναι προφανής. Το ίδιο ισχύει και για τα χέρια. Όμως, αν δεν προσέξουμε τα χαρακτηριστικά του κορμιού, θα παραμείνουμε στην εντύπωση ότι είναι απόλυτα συμμετρικός. Τον Απρίλιο του 1489 ξεκίνησε τη συγγραφή ενός βιβλίου υπό τον τίτλο Περί της ανθρώπινης μορφής, το οποίο όμως δεν ολοκλήρωσε ποτέ. Παράλληλα έκανε διάφορες μελέτες πάνω στην ανθρώπινη ανατομία, συγκρίνοντας τις «θεωρίες» του με τη μοναδική σωζόμενη σχετική θεωρία που υπήρχε την εποχή εκείνη, τον Άνθρωπο του Βιτρούβιου. Ο Βιτρούβιος είχε καταλήξει στο συμπέρασμα πως το ανθρώπινο σώμα -- με τα χέρια σε έκταση -- μπορούσε να χωρέσει στα δύο τέλεια γεωμετρικά σχήματα, τον κύκλο και το τετράγωνο και πως το κέντρο του σώματος ήταν ο αφαλός. Ο Λεονάρντο, με τις δικές του μελέτες, διόρθωσε κάποιες ανακολουθίες του Βιτρούβιου.

2)Ανάκλαση και κατοπτρισμός. Έτσι όταν θα λέμε ανάκλαση ή κατοπτρισμό θα εννοούμε το ίδιο πράγμα με την αμφίπλευρη συμμετρία και αντίστροφα. O Αντικατοπτρισμός είναι ένα παράξενο φαινόμενο που παρατηρείται στις θερμές περιοχές, συνήθως ερήμουςΑυτό μας κάνει να βλέπουμε αντικείμενα, που δεν υπάρχουν, ότι βρίσκονται πολύ κοντά μας. Αυτό συμβαίνει, γιατί τα στρώματα της ατμόσφαιρας, που βρίσκονται κοντά στο θερμό έδαφος, θερμαίνονται και αυτά και έτσι ο δείκτης διάθλασης αλλάζει. Μια Οπτική Ακτίνα που εκκινεί από ένα αντικείμενο, που στην πραγματικότητα βρίσκεται πολύ μακριά, αλλάζει συνεχώς διεύθυνση έτσι, ώστε, όταν φθάσει στον οφθαλμό του παρατηρητή, να δίνει την εντύπωση ότι η ακτίνα αυτή έχει έλθει από αλλού, δηλαδή ότι το αντικείμενο βρίσκεται αλλού. Όταν το αντικείμενο που κατοπτρίζεται, γιατί ακριβώς το θερμό στρώμα αέρα δρα ως κάτοπτρο, είναι ο ουρανός, τότε μας δίνει την εντύπωση μιας λίμνης, εξ' αιτίας του μπλε χρώματός του. Αυτό συνήθως συμβαίνει στα καραβάνια στην έρημο και πολλές φορές δημιουργεί θύματα. Άλλος αντικατοπτρισμός είναι, όταν βλέπουμε την εικόνα ενός αντικείμενου ανεστραμμένη. Στην Νότια Ευρώπη συμβαίνει ένα είδος αντικατοπτρισμού. Π.χ. όταν προχωρούμε το καλοκαίρι σε ένα δρόμο πολύ μακρύ, τότε νομίζουμε ότι το τέλος του δρόμου είναι βρεγμένο. Αυτό οφείλεται επίσης στην ανάκλαση των ακτίνων του ουρανού στο κατάστρωμα του δρόμου.

Δυο είδη αντικατοπτρίσου διακρίνουμε τον κατώτερο και τον ανώτερο. Όλοι έχουμε δει τον αντικατοπτρισμό που δημιουργείται όταν οδηγούμε σε θερμό οδόστρωμα. Ο ουρανός φαίνεται να ανακλάται σε νερό που βρίσκεται πάνω στον δρόμο σε κάποια απόσταση μπροστά μας, όταν όμως πλησιάσουμε το σημείο τότε διαπιστώνουμε ότι το οδόστρωμα είναι στεγνό και "τα νερά" εμφανίζονται όλο και μακρύτερα. Οι βρεγμένοι δρόμοι είναι το είδωλο του χρώματος του ουρανού που καθρεπτίζεται στην άσφαλτο και είναι ορατό από τη θέση του οδηγού η των επιβατών και από άτομα που βρίσκονται στο οδόστρωμα. To φαινόμενο αυτό λέγεται αντικατοπτρισμός και σημαίνει την εμφάνιση ενός αντικειμένου σε διαφορετική θέση στην ατμόσφαιρα από εκείνη που πράγματι είναι. Ο αέρας πάνω από την επιφάνεια του οδοστρώματος είναι πολύ ζεστός, ενώ ψηλότερα είναι θερμότερος. Το φως κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα στον αραιότερο θερμό αέρα απ' ότι στον υπερκείμενο πυκνότερο ψυχρό αέρα. Έτσι, το φως από τον ουρανό δε φτάνει σε μας σε ευθεία γραμμή, αλλά ακολουθώντας την διαδρομή του ελαχίστου χρόνου, κάμπτεται για λίγο προς τη χαμηλότερη και θερμότερη περιοχή κοντά στην επιφάνεια του εδάφους πριν φτάσει στα μάτια μας.

3)ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ή ΜΙΣΗ ΣΤΡΟΦΗ. Ο ανώτερος αντικατοπτρισμός δημιουργείται με τις ίδιες διαδικασίες όπως ο κατώτερος, αλλά όταν ο αέρας είναι ψυχρότερος στο έδαφος από το ανώτερο στρώμα του. Στην περίπτωση αυτή τα αντικείμενα εμφανίζονται ανυψωμένα και μεγεθυσμένα. 3)ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ή ΜΙΣΗ ΣΤΡΟΦΗ. Στη φύση παρατηρούνται και άλλα είδη όπως η κεντρική συμμετρία, η οποία αναφέρεται και στον εγκυκλοπαιδικό ορισμό ως αντιστοιχία στη σχετική θέση και το σχήμα των τμημάτων γύρω από ένα κέντρο ή έναν κεντρικό άξονα.

4)ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Μιλώντας για αμφίπλευρη και κεντρική συμμετρία μιλήσαμε για κίνηση. Μπορούμε να φανταζόμαστε τις συμμετρίες σαν κινήσεις. Για παράδειγμα, ένα σώμα θα είναι αμφίπλευρα συμμετρικό όταν ταυτίζεται με το κατοπτρικά συμμετρικό του, όταν δηλαδή παραμένει αμετάβλητο στην όψη μετά από κίνηση, τον μετασχηματισμό του κατοπτρισμού. Βέβαια ένα τρομερά άσχημο πράγμα μπορεί να είναι αμφίπλευρα συμμετρικό, διότι δεν παίζει ρόλο η αισθητική σημασία του. Παρεμπιπτόντως, κάθε σχήμα έχει τουλάχιστον μια τετριμμένη συμμετρία: αν δεν το μετακινήσουμε καθόλου παραμένει αμετάβλητο. Αυτή θα ονομάζεται ταυτοτική. Έτσι ένα αμφίπλευρα συμμετρικό σχήμα θα έχει δύο συμμετρίες: την ταυτοτική και την συμμετρία κατά την μετακίνηση του. Ένα άλλο είδος συμμετρίας που εμφανίζεται συχνά στη φύση είναι η περιστροφική. Για παράδειγμα, ο ιδανικός πεντάποδος αστερίας της εικόνας έχει περιστροφική συμμετρία. Δηλαδή αν τον στρέψουμε γύρω από το κέντρο του κατά γωνία 360/5=72 μοιρών, το ένα πέμπτο μιας πλήρους στροφής, η σχετική του θέση δεν θα φαίνεται να έχει αλλάξει, δηλαδή δεν θα καταλάβουμε καμία διαφορά στη μορφή του πριν και μετά, αφού κάθε πόδι θα έχει πέσει στο επόμενο και τα κενά στα κενά. Αν αντίθετα τον περιστρέψουμε κατά γωνία 45 μοιρών, τότε θα παρατηρήσουμε αλλαγή. Υπάρχουν συνολικά πέντε διαφορετικές γωνίες κατά τις οποίες μπορούμε να περιστρέψουμε τον αστερία δίχως να αντιλαμβανόμαστε διαφορά στον προσανατολισμό. Αυτές είναι οι κατά 0, 72, 144, 216, 288, δηλαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του ενός πέμπτου μιας πλήρους στροφής. Όλοι οι κρύσταλλοι του χιονιού βασίζονται στο κανονικό εξάγωνο αλλά κάθε ένας έχει ένα μοναδικό σχέδιο.

5)ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΔΙΑΚΟΣΜΗΤΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ. Τέλος, ένα ακόμη είδος συμμετρίας που θα μας απασχολήσει, κυρίως όσον αφορά το επίπεδο και την εμφάνισή της στην τέχνη, είναι η μεταφορική ή διακοσμητική συμμετρία, που βασίζεται στον μετασχηματισμό της παράλληλης μεταφοράς κατά διάνυσμα α. Ένα σχέδιο ή ένα μόρφωμα έχει μεταφορική συμμετρία όταν ταυτίζεται με την εικόνα του από τον μετασχηματισμό της μεταφοράς. Ακόμη, για μια τέτοια εικόνα που παραμένει αναλλοίωτη από τη μεταφορά κατά , λέμε ότι εμφανίζει μια επ' άπειρον σχέση, δηλαδή επανάληψη με κανονικό ρυθμό μέσα στο χώρο. Αυτή η μεταφορά γίνεται να συνδυαστεί με ανακλαστική συμμετρία. Σε αυτήν την περίπτωση, τα κέντρα των κατοπτρισμών εμφανίζονται σε κάθε μέσο της μεταφοράς, δηλαδή απέχουν το ένα από το άλλο απόσταση 1/2α. Άρα έχουμε δυο είδη μεταφορικής συμμετρίας: ένα που εμφανίζεται μόνο η μεταφορά και άλλο ένα που η μεταφορά συνδυάζεται με κατοπτρισμό. Παραδείγματα μεταφορικής συμμετρίας συναντάμε στις διακοσμητικές ταινίες, σε γλυπτά, κίονες, αγγεία κ.α.. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μεταφορικής συμμετρίας (χωρίς κατοπτρισμό) φαίνεται στην διακοσμητική ταινία στο επάνω μέρος του διπλανού γλυπτού που βρίσκεται στην Villa Barbaro, στο Maser, της Ιταλίας και έχει σχεδιαστεί από τον Andrea Palladio.

Ένα ακόμη παράδειγμα συμμετρίας.

Η Χρυσή Τομή φ. Ορισμός: Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο. Δηλαδή Από την δεξιά ισότητα παίρνουμε ότι Αντικαθιστώντας έχουμε Απαλοίφοντας τα b παίρνουμε Που τελικά δίνει

Τι σχέση έχουν τα μαθηματικά με την ομορφιά; Πραγματικά, έχουν τεράστια σχέση μεταξύ τους!! Η φυσική έλξη που αισθάνεται ο καθένας μας από την ομορφιά κάποιου άλλου έχει σχέση με την αναλογία. Η ελκυστικότητά μας σ' ένα διαφορετικό σώμα αυξάνεται εάν αυτό το σώμα είναι συμμετρικό και έχει καλές αναλογίες. Επιπλέον, εάν το πρόσωπο έχει καλές αναλογίες, είναι πιο πιθανόν να το παρατηρήσουμε και να το βρούμε όμορφο. Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι αντιλαμβανόμαστε τα σώματα με πολύ καλές αναλογίες ως πιο υγιή. Η μάσκα ομορφιάς. Αυτή η μάσκα από ανθρώπινο πρόσωπο βασίζεται στη χρυσή τομή. Οι αναλογίες του μήκους της μύτης, η θέση των ματιών και το μήκος του πηγουνιού, όλα, προσαρμόζονται σε κάποια πτυχή της χρυσής τομής

Ο Δ.Marquardt Ο Δ.Marquardt,γνωστός πλαστικός χειρούργος συνέλεξε φωτογραφίες των προσώπων ο κόσμος θεωρούσε όμορφα και άρχισε τη μέτρηση των διαστάσεών τους. Οπότε κάτι ιδιαίτερο και συναρπαστικό παρουσιάστηκε: η χρυσή αναλογία. Όμορφα στόματα των ανθρώπων ήταν 1,618 φορές μεγαλύτερα από τη μύτη τους και η μύτη τους 1,618 φορές μεγαλύτερη από την άκρη της μύτης τους. Όσον αφορά τα δεδομένα του Marquardt διαπίστωσε ότι πράγματι το τέλειο πρόσωπο ήταν σύμφωνο με τη χρυσή αναλογία. Ακόμη και το τρίγωνο που σχηματίζεται από τη μύτη και το στόμα ήταν ένα τέλειο οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο. Όλα τα παραπάνω ερωτήματα απαντιόνται με τη χρυσή τομή. Ας τα δούμε αναλυτικά. Αν κάποιος μετρήσει το μήκος που έχει το πάνω άκρο του κεφαλιού του από τη μύτη του και το κάτω άκρο (σαγόνι) και θέσει ως α την μεγάλη και ως b τη μικρή και τα εξισώσει όπως δείξαμε παραπάνω, θα διαπιστώσει οτι ο λόγος τείνει στο 1.618 αρκετά.Ανάλογα με τον αν είναι μεγαλύτερος ο λόγος ή μικρότερος τότε στο άτομο ταιριάζουν ή όχι τα φουντωτά μαλλιά ή τα κοντοκουρεμένα, για παράδειγμα. Αν δηλαδή η απόσταση της μύτης του από το πάνω άκρο του κεφαλιού του είναι μικρότερη από όση χρειάζονταν για να ικανοποιηθεί η αναλογία, τότε στο άτομο ταιριάζουν τα πιο φουντωτά μαλλιά. Αντίστοιχα αν ισχύει οτι το κάτω άκρο είναι μικρότερο, τότε στο πρόσωπο ταιριάζουν τα γένια. Και η αναλογίες συνεχίζουν και συνεχίζουν. Βάση αυτών των αναλογιών κάποιοι επιστήμονες κατάφεραν να δημιουργήσουν μία μάσκα. Τη μάσκα της χρυσής τομής. Μία μάσκα που αποδεικνύει οτι η ομορφιά είναι ξεκάθαρα μία μαθηματική υπόθεση! Κάπως έτσι και για τα σώματα ισχύει η αναλογία, παίρνοντας όπως πριν, σαν ατην μεγάλη απόσταση και σαν b την μικρή. Έτσι υπολογίζεται αν ταιριάζουν τα μεγάλα καπέλα ή τα τακούνια σε κάποιον/α. Αλλά και η γενική καλαισθησία του σώματος ενός ανθρώπου. Και τέλος με τον ίδιο τρόπο υπολογίζεται το ύψος στο οποίο τοποθετούνται τα πόμολα στις πόρτες – τουλάχιστον έτσι βρίσκεται η ιδανική θέση για αυτά, άσχετα αν αυτή επιλέγεται ή όχι πλέον για λόγους μοντέρνου στυλ και διακόσμησης.

Ποιοι παράγοντες καθορίζουν το κατά πόσο θα βρείτε κάποιον ελκυστικό όσον αφορά το σώμα και το πρόσωπό του; Η συμμετρία φαίνεται ότι παίζει σημαντικό ρόλο στην ομορφιά διαχρονικά και κάποιοι, μάλιστα, πιστεύουν ότι η ασυμμετρία μπορεί να είναι ενδεικτική γενετικών προβλημάτων. Φαίνεται πως όλοι μας, ασυναίσθητα, έχουμε την τάση να αναζητούμε τη συμμετρία στο έτερον μας ήμισυ, με στόχο να βελτιώσουμε τις εξελικτικές πιθανότητες επιβίωσής μας. Ένας πλαστικός χειρουργός από τη Νότια Καλιφόρνια, ο Dr Stephen Marquardt, φαίνεται ότι κινήθηκε στα χνάρια του «δικού μας» Πυθαγόρα, μελετώντας τη «χρυσή αναλογία φ», η οποία χαρακτηρίζει και το ιδανικό ανθρώπινο πρόσωπο. Ο Πυθαγόρας είχε παρατηρήσει, από την εποχή εκείνη, ότι οι περισσότερες αναλογίες στη φύση έχουν σχέση με μία συγκεκριμένη. Πίστευε, μάλιστα, ότι πρόσωπα και σώματα ανδρών και γυναικών που θεωρούνται αντικειμενικά όμορφα ακολουθούσαν αυτή την αναλογία, η οποία, μεταγενέστερα, ονομάστηκε «χρυσή αναλογία φ», προς τιμήν του γλύπτη Φειδία που την ακολουθούσε σταφημισμένα έργα του, μεταξύ των οποίων και τον Παρθενώνα. Φαίνεται όμως πως ο «χρυσός αριθμός φ» (που είναι το 1,618) βρίσκεται παντού: στη φύση, σε ζωντανούς οργανισμούς, αλλά και σε πολλά αρχιτεκτονικά θαύματα, όπως οι Πυραμίδες της Αιγύπτου ή ο Παρθενώνας που προαναφέραμε. Με τον αριθμό αυτό αλλά και τις «χρυσές αναλογίες» στη φύση ασχολήθηκαν δεκάδες ακόμη επιστήμονες και καλλιτέχνες, όπως ο διάσημος μαθηματικός Fibonacci με τους «μυστήριους αριθμούς» του, αλλά και ο Leonardo Da Vinci στο περίφημο έργο του «Άνθρωπος του Βιτρούβιου», αλλά και τις αναλογίες της Mona Lisa.

Παραδείγματα μέσω εικόνων ανθρώπων που το πρόσωπο τους έχει το Φ.

Φράκταλ.

Ορισμος. Η λέξη Φράκταλ (Fractal) προέρχεται από το λατινικό Fractus και το ρήµα Frangere, που σηµαίνει “σπάζω”,δηµιουργώ ακανόνιστα θραύσµατα. Είναι φυσικό να ταιριάζει µε τις ανάγκες µας το Fractus να σηµαίνει και τεµαχισµένος αλλά και ακανόνιστος. Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης. Πολλά σχήµατα της Φύσης είναι τόσο ακαθόριστα και κατακερµατισµένα που, αν τα συγκρίνουµε µε τα Ευκλείδεια,βλέπουµε ότι η Φύση δεν είναι απλώς πιο πολύπλοκη, αλλά επιδεικνύει ένα εντελώς άλλο επίπεδο πολυπλοκότητας. Το πλήθος των φυσικών σχηµάτων και µεγεθών είναι πρακτικά άπειρο. Η ύπαρξη αυτών των σχηµάτων µάς προκαλεί να µελετήσουµε τις µορφές, που παρέλειψε ο Ευκλείδης θεωρώντας τις άµορφες,

Σύνολο Mandelbrot.

Τα πιο γνωστά φρακταλ. Σύνολο Mandelbrot Το σύνολο Mandelbrot είναι σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Για να φτιάξουμεαυτό το fractal πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο που βασίζεται στον αναδρομικό τύπο χωρίζοντας τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου σε δύο κατηγορίες : 1. σημεία μέσα στο σύνολο Mandelbrot 2.σημεία εκτός αυτού Έτσι λοιπόν να, ορίστε πως θα δείχνει ένα σύνολο Mandelbrot:

Σύνολα Julia Τα σύνολα Julia έχουν μεγάλη σχέση με τα σύνολα Mandelbrot. Η επαναληπτική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για αυτά είναι η ίδια με του συνόλου Mandelbrot. Η μόνη διαφορά έγκειται στο τρόπο που χρησιμοποιείται ο τύπος. Η τιμή του C καθορίζει και το σχήμα του συνόλου.

Η νιφάδα του Koch Για να κατασκευάσουμε μια νιφάδα Koch, πρέπει να αρχίσουμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο με τις πλευρές του να έχουν μήκος, παραδείγματος χάριν, 1. Στη μέση κάθε πλευράς, θα προσθέσουμε ένα νέο τρίγωνο με μέγεθος ένα τρίτο του αρχικού.Επαναλαμβάνουμε αυτήν την διαδικασία για έναν άπειρο αριθμό επαναλήψεων. Το μήκος του"συνόρου", της περιμέτρου είναι 3.(4/3).(4/3).(4/3). ... - άπειρο. Εντούτοις, το εμβαδό παραμένει λιγότερο από αυτό ενός κύκλου περιγεγραμμένου στο τρίγωνο. Αυτός σημαίνει ότι μια άπειρη σε μήκος γραμμή περιβάλλει μια περιοχή πεπερασμένου εμβαδού. Μια νιφάδα Koch στην τελική της μορφή μοιάζει πολύ με μια ακτογραμμή.

Να και μερικά ακόμα fractals Σου μοιάζει με φύλλο απο φτέρη ε; τα φύλλα της φτέρης είναι κλασσικό παράδειγμα fractal σχήματος όπως ειπαμε και παραπάνω.Αυτό είναι πιο τεχνητό, αλλά παρατήρησε : Επανάληψη. συνεχής επανάληψη του ίδιου μοτίβου. Σε κάθε σημείο αν κάνεις ένα ζουμάρισμα θα δείς τα ίδια. Το ίδιο σχήμα..Εφαρμογές; Απειρες πραγματικά. Απο αστροφυσική και βιολογικές επιστήμες μέχρι γραφιστική. Το ιδιο μας το σωμα ειναι ενα φρακταλ.Ακομα και το πως και γιατί τα αστέρια είναι εκεί που είναι, μπορεί ίσως να εξηγηθεί μέσω της φρακταλικής συμπεριφοράς της κατανομής των διαστρικών αερίων. Οι κλασματικές κατανομές είναι ιεραρχικές στη δομήτους. Σκέψου ένα συννεφάκι καπνού ή ένα σύννεφο στον ουρανό. Ο στροβιλισμός του αέρα δίνει τα σχήματα τους, τα οποία ίσως να μπορούν να περιγραφούν με κλασματική γεωμετρία. Στη βιολογία.. πανικός. Από την αυτο-ομοιότητα στις αλυσίδες του DNA μέχρι την οργάνωση των χρωμοσωμάτων και από τη συμπεριφορά πληθυσμών στο ρυθμό της καρδιάς κάθε ατόμου.

Σε τι μαθηματικά στηρίζονται. Μπορούμε να πούμε ότι στην περίπτωση των φρακταλ, τα μαθηματικά οπτικοποιούνται προσεγγίζοντας την τέχνη με τη βοήθεια των υπολογισών. Τα παραδείγματα που δείχνουν τον κύριο ρόλο των μαθηματικών στις σύγχρονες εξελίξεις είναι ανεξάντλητα. Η φαντασία δε κάποιων μαθηματικών που έχουν εξειδικευτεί στους εκατό βασικούς κλάδους στους οποίους δωρίζεται η συγκεκριμένη επιστήση βρίσκεται αρκετά χρόνια μπροστά. Συνθέτει και αναλύει προβλήματα και καταστάσεις που ύστερα από κάποιο ρεγάλο χρονικό διάστηκα απορεί να αποκτήσουν τη κορφή πραγμάτων που εχρησιμοποιούντο καθημερινά για να κάνουνε ευκολότερη τη ζωή μας. Κάτι σαν την Άλγεβρα του Τζορτζ Μπουλ, πολύτιμο εργαλείο για τη λύση προβλημάτων στην ηλεκτρονική και στις τηλεπικοινωνίες ειδικότερα, την οποία επεξεργάστηκε στα τέλη του 19ου αιώνα και βρήκε εφαρμογή λίγο πριν το 1950, όταν αποφτιάχτηκε ο πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής. Τα φρακταλ τα συναντούμε σε κάποιους βασικούς μαθηματικούς ορούς κάποιοι από τους οποίους είναι οι εξής: 1) Μιγαδικοί αριθμοί 2) Η δυναμική των επαναλήψεων 3)Μέθοδος Newton 4) Οι ρίζες μιας απλής μιγαδικής εξίσωσης κ.α. Ακόμα τα φρακταλ σχετίζονται με το χάος σε πολύ μεγάλο βαθμό που εμειί οι ιδιοι δεν μπορουμε να αναλυσουμε. Το Χαος χαρακτηρίζεται κυρίως από ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες (γνωστή και ως φαινόμενο της πεταλούδας ) και ακολούθως από μη περιοδικότητα.

http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs Βιβλιογραφία http://www.digitallife.gr/yparxei-magiki-formoula-pou-ypologizei-tin-omorfia-o-rolos-twn-mathimatikwn-kai-tis-symmetrias- 25504 http://trelosmathimatikos.blogspot.gr/2011/07/blog-post_23.html Βικιπαίδεια: Συμμετρία http://aplamathimatika.blogspot.gr/2011/05/blog-post.html http://master.math.upatras.gr/~oxy/symmetry/symmetry_chap2.pdf http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs