Συνδυαστικα Λογικα Κυκλωματα Combinational Logic Circuits Λογικες Πυλες Βoolean Algebra Aπλοποιηση με Boolean Algebra και K-MAPS Yλοποιηση Kυκλωματων ΝΑΝD, NOR Two-level XOR

Συνδυαστικα Λογικα Κυκλωματα Ψηφιακα συστηματα επεξεργαζονται δυαδικες πληροφοριες Συχνα αποτελουνται απο ολοκληρωμενα κυκλωματα (integrated ccts) περιεχουν 100δες εκτακομυρια xtrs και πολλα μετρα μηκος συρμα (πολυ μικρο πλατος: nm! τριχα/10000) Τransistors και συρματα σιλικονης Βασικα κυκλωματα ενος ψηφιακου συστηματος μπορουν να περιγραφουν με Λογικες Πυλες (Logic Gates: ΑΝD, OR, NOT)

Συνδυαστικα Λογικα Κυκλωματα Αφαιρετικοτητα: δεν χρειαζεται γνωση ηλεκτρονικων ιδιοτητων πυλων για περιγραφη/σχεδιασμο ψηφιακων συστηματων, μονο λογικες ιδιοτητες Μια πυλη εκτελει μια πραξη στα εισαγομενα για να παραξει ενα εξαγομενο. Το εξαγομενο χρησιμοποιηται στην εισοδο καποιας πυλης. Πυλη Πυλη

Βοοlean Algrebra Mαθηματικη Θεωρια Λογικης (1850s) Χρησιμοποιηται για περιγραφη δυαδικων λογικων κυκλωματων με μαθηματικες εκφρασεις επεξεργασια εκφρασεων αναλυση και σχεδιασμο

Δυαδικη Λογικη Δυαδικες μεταβλητες παιρνουν δυο διακριτες τιμες: 0 και 1 Μεταβλητες συμβολιζονται με Α,Β,C,..,Z 3 Bασικοι Λογικοι Τελεστες ΑΝD Z=X.Y ή Z=XY OR Z=X+Υ NOT Ζ=Χ, Z = X’ (αρνηση, συμπληρωμα) Διαφορες δυαδικης λογικης και αριθμητικης...

Oρισμοι Τελεστων AND OR NOT 0 . 0 = 0 0 + 0 = 0 0 = 1 0 . 0 = 0 0 + 0 = 0 0 = 1 0 . 1 = 0 0 + 1 = 1 1 = 0 1 . 0 = 0 1 + 0 = 1 1 . 1 = 1 1 + 1 = 1

Πινακας Αληθειας (Τruth Table) Περιλαμβανει ολους τους συνδυασμους τιμων σε μια εκφραση και την αντιστοιχη τιμη της εκφρασης n εισοδους, n στηλες και 2n σειρες. Καθε σειρα ενα μοναδικο δυαδικο συνδυασμο (0 .. 2n-1)

Λογικες Πυλες (Logic Gates) Λογικες Πυλες: ηλεκτρονικα κυκλωματα με ενα ή περισοτερα σηματα εισοδου και ενα σημα εξοδου. Τα σηματα ειναι σε ηλεκτρικη μορφη (ταση) με μια απο δυο τιμες Oι τιμες αντιπροσωπευουν πεδια τασης, πχ high ή 1: 3 με 5V low ή 0: -0.5 με 2V Πρεπει να συμπεριφερονται συμφωνα με τον πινακα αληθεια τους

Λογικες Πυλες (Logic Gates) Γραφικα συμβολα βασικων λογικων πυλων: Χρονικο Διαγραμμα Y:ταση(τιμη) Χ:χρονος

AND και OR πυλες με περισσοτερες απο 2 εισοδους

Βοοlean Συναρτησεις (Functions) F = X + Y’Z F ειναι 1 oταν ο ορος Χ=1 ή ο oρος Υ’Ζ=1. Το Υ’Ζ=1 οταν το Υ’=1 (Υ=0) και Ζ=1 οροι συναρτησης ονομα συναρ.

Βοοlean Συναρτησεις (Functions) Mια Βοοlean συναρτηση αποτελειται απο μια δυαδικη μεταβλητη (που δεικνυει την συναρτηση), το συμβολο =, και μια εκφραση που μπορει να αποτελειται απο δυαδικες μεταβλητες, 0, 1, (,) και λογικες πραξεις Η εκφραση οριζει την σχεση μεταξυ δυαδικων μεταβλητων. Η συναρτηση για συγκεκριμενες τιμες των μεταβλητων παιρνει τιμη 1 ή 0

Βοοlean Συναρτησεις και Πινακες Αληθειας Μια συναρτηση μπορει να οριστει επισης με πινακα αληθειας, πχ F = X + Y’Z 3 μεταβλητες εισοδου, 23=8 σειρες coverage: 1 literal 4, 2 literal 2, 3 literal 1

Βοοlean Συναρτησεις και Λογικα(Συνδυαστικα)Κυκλωματα F= X + Y’Z

Βοοlean Συναρτησεις Μια συναρτηση μπορει να περιγραφει με πινακα αληθειας μονο με ενα μοναδικο τροπο Σε αλγεβρικη μορφη (και σε κυκλωμα) μπορει να εκφραστει η ιδια συναρτηση με διαφορους τροπους Ποιος ειναι ο καλυτερος τροπος; μικροτερος αριθμο πυλων και εισοδων σε πυλες Πως επιτυγχανεται; Αλγεβρικη επεξ, Κ-ΜΑP,Q-M, οχι παντοτε εφικτο

Βασικες Ταυτοτητες της Αλγεβρας Βοοle Αντιμεταθεση, προσεταιρισμος;;;, καταμερ;;;

Δυϊσμος (Duality) Iδιοτητα αλγεβρας Boole: οταν μια σχεση ισχυει, ισχυει και η dual της Το dual μιας σχεσης το παιρνουμε με να αλλαξουμε το πιο κατω ANDOR, 01 Προσοχη δεν λεει (και δεν ισχυει) οτι η σχεση και το dual της ειναι ισα

Βασικες Ιδιοτητες Σχεσεις ισχυουν και οταν μια μεταβλητη αντικατασταθει απο μια εκφραση, πχ Χ + 1 = 1, εαν το Χ = ΑΒ + C, τοτε ΑΒ+ C + 1 = 1 (Χ+Υ) (Χ+Ζ) = Χ + ΥΖ, εαν το X=A, Y=B, Ζ = CD, τοτε (Α+Β)(Α+CD)=A + BCD

DeMorgan’s Theorem Υπολογισμος συμπληρωματος μιας εκφρασης Προσοχη στη σειρα αποτιμησης

DeMorgan’s Theorem Ισχυει για πολλαπλες μεταβλητες X1+X2+…+Xn = X1 X2 … Xn X1X2…Xn = X1 + X2 + …+Xn

Προτεραιοτητα Τελεστων () NOT αν υπολογιζεται το συμπληρωμα μιας εκφρασης πρεπει να αποτιμηθει και μετα να υπολογιστει το συμπληρωμα της ΑΝD ΟR Ιδια προτεραιοτητα: αριστερα προς δεξια

Αλγεβρικος Χειρισμος (και Απλοποιηση)

Aπολοποιηση F = Χ’ΥΖ + Χ’ΥΖ’ + ΧΖ = X’Y (Z+Z’) + XZ = X’Y (1) + XZ = X’Y + XZ

Eπαληθευση

Στοχοι Απλοποιησης Kαθε ορος σε μια boolean εκφραση απαιτει μια πυλη και καθε μεταβλητη σε ενα ορο (συμπληρωμενη ή οχι) καθοριζει μια εισοδο στην πυλη (literal) Στοχος της απλοποιησης ειναι να μειωθουν oι οροι(terms) ή/και τα literals Aλγεβρικη απλοποιηση μπορει να πετυχει την πιο απλοποιημενη εκφραση. Δεν υπαρχει συγκεκριμενη διαδικασια (trial and error!)

Παραδειγματα Χ+ΧΥ ΧΥ+ΧΥ’ Χ+Χ’Υ Χ(Χ+Υ) (Χ+Υ)(Χ+Υ’) Χ(Χ’+Υ) Προσοχη: Δυϊσμος

Consensus Theorem (Θεωρια της Ομοφωνιας) ΧΥ + Χ’Ζ+ΥΖ = ΧΥ + Χ’Ζ ΧΥ + Χ’Ζ + (Χ+Χ’) ΥΖ = οταν ΥΖ=1 τοτε η το ΧΥ=1 ή το Χ’Ζ=1 Dual: (X+Y)(X’+Z)(Y+Z) = (X+Y)(X’+Z) (A+B)(A’+C)=

Συμπληρωμα μιας Συναρτησης F’ απο το F πινακα αληθειας: εναλλαγη 1 και 0 εκφραση: DeMorgan’s Theorem Demorgan και Δυισμος ΑΝDOR, 01και συμπληρωσε καθε literal πριν τις αλλαγες προσθεσε παρενθεσεις για καθε ορο F = X’YZ’+X’Y’Z G= X(Y’Z’+YZ)

Προτυπες Μορφες Οροι με γινομενα/products(anded literals) και αθροισματα/sums(ored literals) ΧΥΖ’ Χ΄+Υ+Ζ Tυποποιηση Ελαχιστοροι και Μεγιστοροι

Eλαχιστοροι(minterms) 2n ελαχιστοροι οταν εχουμε n μεταβλητες πχ με 3 μεταβλητες Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι

Mεγιστοροι (Μaxterms) 2n μεγιστοροι οταν εχουμε n μεταβλητες πχ με 3 μεταβλητες Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι

Ελαχιστοροι/Μεγιστοροι mj = Mj, mj = Mj πχ m3=X’YZ M3= (X’YZ)’ = X+Y’+Z’

Εκφραση απο πινακα αληθειας Το αθροισμα ολων των minterms που η συναρτηση παιρνει τιμη 1(sum of minterms) F=X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ=m2+m3+m5+m7 F(X,Y,Z) = Σm(2,3,5,7)

Συμπληρωμα Εκφρασης Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφη αθροισμα γινομ.

Θυμασται... οποιαδηποτε εκφραση μπορει να μετατραπει σε προτυπη μορφη μεσο του πινακα αληθεια της μια λογικη εκφραση με n μοναδικες μεταβλητες εχει 2n ελαχιστορους μια συναρτηση μπορει να εκφραστει σαν αθροισμα ελαχιστορων (γινομενο μεγιστορων) μια συναρτηση που περιεχει ολους τους ελαχιστορους ειναι ιση με την τιμη 1

Παραδειγμα Εκφραστε την πιο κατω συναρτηση με αθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5)

Προτυπη Μορφη:Sum of Products Απλοποιημενη εκφραση απο sum-of-minterms F =Σm(2,3,5,7) =X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ (SOM) =X’Y + XZ (SOP)

Υλοποιηση SOP με 2-levels F = Y’ + X’YZ’+XY

Εκφρασεις οχι σε μορφη SOP Mπορουν να μετατραπουν με αλγεβρικους χειρισμους ή μεσο πινακα αληθειας και απλοπ. Ποια ειναι η καλυτερη επιλογη;;;; 3-levels ή 2-levels

Προτυπη Μορφη POS F = X(Y’+Z)(X+Y+Z’)

Aπλοποιηση με πινακες Κarnaugh Maps ή K-maps Γραφικη μεθοδος απλοποιησης καθε κελι ενας ελαχιστορος αναγνωριση ‘‘μορφων’’ σε ενα πινακα και απλοπ. απλοποιηση παραγει εκφραση σε SOP(POS) μορφη που μπορει να υλοποιηθει με 2-levels συγκεκριμενη διαδικασια που παραγει την βελτιστη(οχι απαραιτητα μοναδικη) απλοποιηση Απλοποιηση: ελαχιστους ορους και literals Αποτελεσματικη για μεχρι και 4 μεταβλητες

Κ-Μaps με 2 μεταβλητες m1+m2+m3

K-maps με 3 μεταβλητες Σειρα! Οι τιμες δυο γειτονικων (οριζοντια/καθετα) ελαχιστορων διαφερουν μονο σε ενα bit position (πχ 100-101) covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα)

Βασικη Ιδεα Κ-maps Oριζοντια ή/και καθετα γειτονικοι ελαχιστοροι μπορουν να απλοποιηθουν γιατι περιεχουν literals σε συμπληρωμενη και μη συμπληρωμενη μορφη (αυτα τα literals μπορουν να απλοποιηθουν) πχ m5+m7 = XY’Z+XYZ = XZ (Y’+Y) = XZ ή m0+m1+m2+m3=X’Y’Z’+X’Y’Z+X’YZ’+X’YZ = X’(Y’Z’+Y’Z+YZ’+YZ) = X’

Βασικη Ιδεα Κ-maps ενα κελλι:1 minterm δυο κελλια: ορο με 2 literals οκτω κελλια:

Παραδειγμα: Σm(2,3,4,5)

Παραδειγμα: Σm(2,3,4,5) 1 στα κελια με ελαχιστορους της συναρτησης καθορισμος του ελαχιστου αριθμου ορθογωνιων (με 1,2,4,8,… κελια) που περιλαμβανουν ολους τους ελαχιστορους καθε ορθογωνιο αντιστοιχει σε ενα (απλοποιημενο) γινομενο. το γινομενο αποτελειται απο τα ελαχιστα literals που περιλαμβανουν το ορθογωνιο

Κριτηριο Γειτονοτητας Οχι αναγκαστικα διπλα στο Κ-map, απλος να διαφερουν οι αντιστοιχοι ελαχιστοροι σε ενα bit position, πχ Σm(0,2,4,6)

Σm(0,1,2,3,6,7)

Δυο βελτιστες λυσεις: Σm(1,3,4,5,6) F = X’Z+XZ’+XY’ ή F = X’Z+XZ’+Y’Z

Εκφραση σε SOP μορφη F(Χ,Υ,Ζ)= X’Z+X’Y+XY’Z+YZ

Εκφραση σε SOP μορφη F(Χ,Υ,Ζ)= X’Z+X’Y+XY’Z+YZ Ελαχιστοροι… F = Z+X’Y

K-maps με 4 μεταβλητες

K-maps με 4 μεταβλητες Ιδια μεθοδος οπως με με 3 μεταβλητες ενα κελλι: ελαχιστορος με 4 literals δυο κελλια: ορος με 3 literals τεσσερα κελια: ορος με 2 literals οκτω κελλια: ορος με 1 literal δεκαεξι κελλια: συναρτηση με παντοτε τιμη 1 Κριτηριο Γειτονοτητας: ελαχιστοροι διαφερουν σε ενα bit position

F(W,X,Y,Z) = X’Z’

F(W,X,Y,Z) = X’Z’

F(W,X,Y,Z)= Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)

F(W,X,Y,Z)= Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) F=

F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’

F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’

Συστηματικη Επεξεργασια Πινακων Prime Implicant (PI): oρθογωνιο με το μεγιστο δυνατο μεγεθος σε ενα K-MAP που δεν περιλαμβανεται σε πιο μεγαλο ορθογωνιο Essential Prime Implicant (EPI): PI που περιεχει ελαχιστορο δεν που περιλαμβανεται σε αλλο PI

F(A,B,C,D)=Σm(1,3,4,5,6,7,12,14) PI: ,EPI: , F=

Essential και nonEssential PI Σm(0,5,10,11,12,13,15) PI: , EPI: , F=

Eπιλογη για nonEPI Eπελεξε ΕPI Eπελεξε nonEPI που δεν εχουν overlap

nonEPI επιλογη Σm(0,1,2,4,5,10,11,13,15) PI: , EPI: , F=

F(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,5,8,9,10) F σε POS F’ = , F = (dual και συμπληρωμα literals)

Aπολοποιηση με POS F’: απλοποιηση 0 στο Κ-Μap - μορφη SOP συμπληρωμα F’ - μορφη POS Oταν εχουμε ενα απο F’pos, Fpos, F’sop, Fsop μπορουμε να παραξουμε τα αλλα

Συνθηκες Αδιαφοριας (don’t-care conditions) Συγκεκριμενοι συνδυασμοι τιμων εισοδου που δεν συμβαινουν ή οταν συμβουν δεν μας ενδιαφερει τι θα συμβει στην εξοδο πχ BCD 4 σηματα εισοδου μα μονο 10 απο τους 16 συνδυασμους συμβαινουν Δεικνυονται με X στα K-maps, και μπορουν να υποθεσουμε πως ειναι 0 ή 1 (don’t care minterms δεν χρειαζεται να απλοποιηθουν)

F(A,B,C,D)=Σm(1,3,7,11,15) d(A,B,C,D)=Σm(0,2,5) Απλοποιηση με don’t cares Δυο λυσεις οχι ισες!

Βασικες Πυλες για Υλοποιηση Ψηφιακων Συστηματων

Βασικες Πυλες για Υλοποιηση Ψηφιακων Συστηματων

Universal Πυλη: ΝΑND

Αλλα συμβολα για NAND πυλες

2-level υλοποιηση SOP εκφρασεων με NAND πυλες F=AB+CD

F(X,Y,Z)=Σm(1,2,3,4,5,7)

Διαδικασια Σχεδιασμου με NAND Απλοποιημενη εκφραση σε SOP μορφη ΝΑΝD πυλη για καθε ορο με τουλαχιστο δυο literals (1st level) ΝΑΝD ή ΝΟΤ-ΟR πυλη με εισοδο τις εξοδους απο το 1st level oροι με ενα literal χρειαζονται NOT πυλη στο 1st level

Μultilevel ΝΑΝD κυκλωματα

Διαδικασια για Multilelevel NAND κυκλωματα ΑΝD με ΝΑΝD (and-not) OR με NAND (not-or) για καθε μονο bubble σε μια γραμμη insert ΝΟΤ πυλη ή συμπληρωσε το σημα εισοδου

Universal πυλες:ΝΟR

Αλλα συμβολα για NΟR πυλες

Yλοποιηση συναρτησεων σε POS μορφη Multilevel: παρομοια με NAND

Πυλη ΧΟR XY = XY’+X’Y Χ XY Υ

Ex-OR Tαυτοτητες X0 = X X1 = X’ XΧ = 0 XΧ’ = 1 XY’ = XY X’Y = XY XY = ΥΧ (XΥ)Ζ = Χ(ΥΖ)

ΧΟR υλοποιηση με πυλες NAND

ΧΝΟR XY = XY+X’Y’

Odd Function (XOR με >2 inputs) XYZ = (XY’+X’Y)Z’+ (X’Y’+XY)Z = XY’Z’+X’YZ’+ X’Y’Z+XYZ μονός αριθμος σηματων εισοδου με τιμη 1

Parity bit Πχ για ενα μυνημα με 3 bits (ΧΥΖ) με even parity: P = XΥΖ (στο σημειο αποστολης) Στο σημειο παραληψης: C = PXΥΖ εαν το C ειναι 1 λαθος!

Ολοκληρωμενα Κυκλωματα Ιntegrated Circuits σημερα: απο transistors και συρματα σιλικονης περιεχεται σε ενα πλαστικο ή κεραμικο πακεττο. διασυνδεση με pins (10s-1000s) καθε ΙC μοναδικο κωδικα Eπιπεδα Ολοκληρωσης SSI ~10,MSI ~100,LSI ~1000,VLSI 104-108 Λογικες “Οικογενειες”: RTL,DTL,TTL,ECL,MOS,CMOS,BiCMOS,GaAs

Xαρακτηρηστικα (ηλεκτρονικες ιδιοτητες) FanΟut: ποσες inputs μπορει να ξεκινουν απο ενα output Kαταναλωση ισχυος Χρονος Μεταδοσης (propagation delay) tαλλαγη στο input - tαλλαγη στο output

Θετικη και Αρνητικη Λογικη Υποθετουμε θετικη λογικη

Περιληψη Δυαδικη Λογικη και Πυλες Boolean Algebra Προτυπες Μορφες Απλοποιηση με Πινακες Πυλες ΝΑΝD,NOR και XOR Επιπεδα ολοκληρωσης