Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ιστορικά 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων CnH2n+2 1850 Cayley-De Morgan-Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (1) Ορισμός: σύνολο κορυφών και ακμών Συμβολισμός: G(V,E), G=(V,E), (V(G),E(G)) n: τάξη-order είναι το πλήθος των κορυφών: n=|V| m: μέγεθος-size είναι το πλήθος των ακμών: m=|E| Πεπερασμένος γράφος: n, m πεπερασμένα Άπειρος γράφος Ειδικές περιπτώσεις: n=0: κενός-empty n=1: ασήμαντος-trivial m=0: μηδενικός-null (Nn) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (2) Τερματικά σημεία ακμής (ονομάζεται προσπίπτουσα) Γειτονικά σημεία (αν ενώνονται)–ανεξάρτητα σημεία Γειτονιά κορυφής: N(v)={uV(G)|(v,u) E(G)} Βαθμός κορυφής – degree: d(v)=|N(v)| Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γράφου d(G), D(G) Τακτικοί γράφοι (regular): Οι κορυφές έχουν το ίδιο d Κυκλικός γράφος (Cn): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός) Πλατωνικοί γράφοι (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (3) Απομονωμένη κορυφή – isolated: d(v)=0 Εκκρεμής κορυφή – pendant: d(v)=1 Αν V1,…,Vl είναι ανεξάρτητα υποσύνολα κορυφών, τότε οι υπογράφοι G(V1),…,G(Vl) είναι οι συνδεδεμένες συνιστώσες του γράφου G Συνδεδεμένος γράφος, αν αποτελείται από μία μόνο συνιστώσα Συνδεδεμένος κατά ελάχιστο τρόπο, αν η διαγραφή μιας μόνο ακμής τον αποσυνδέει και δημιουργεί συνιστώσες Σειρά – rank: r=n-k, n η τάξη και k το πλήθος των συνιστωσών Μηδενικότητα – nullity: μ=m-n-k Βρόχος: ακμή με ταυτόσημες κορυφές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (4) Παράλληλες ακμές: ενώνουν το ίδιο ζεύγος κορυφών Απλός γράφος: δεν περιλαμβάνει βρόχους ή παράλληλες ακμές Ψευδογράφος: περιλαμβάνει βρόχους Πολυγράφος: με παράλληλες ακμές αλλά χωρίς βρόχους Υποκείμενος: ο γράφος που προκύπτει αν απαλειφθούν οι βρόχοι και οι παράλληλες ακμές Κατευθυνόμενος ή προσανατολισμένος, D(V,A), είναι ο γράφος από ένα μη κενό σύνολο κορυφών και διατεταγμένα ζεύγη κορυφών, που ονομάζονται τόξα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (5) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (6) Λήμμα των χειραψιών: Πόρισμα για τακτικούς γράφους: Γραμμικός γράφος L(G): m κορυφές, μία για κάθε ακμή του G έτσι ώστε δύο κορυφές του να είναι γειτονικές αν οι αντίστοιχες ακμές του G πρόσκεινται στην ίδια κορυφή Πόρισμα: Το πλήθος των ακμών του γραμμικού γράφου L(G) είναι Θεώρημα: Το πλήθος των κορυφών περιττού βαθμού ενός πεπερασμένου γράφου είναι άρτιος αριθμός. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (7) Πλήρης γράφος Κn: όλες οι κορυφές του ενώνονται είναι και τακτικός γράφος βαθμού n-1 Γράφος με m συνιστώσες τύπου Κn : m Κn Κλίκα H ενός γράφου G, είναι ένας υπογράφος που αποτελείται από σύνολο κορυφών S, έτσι ώστε H(S) να είναι πλήρης. Αριθμός κλίκας ω, λέγεται η τάξη της κλίκας. Θεώρημα: Ένας πλήρης γράφος Κn έχει n(n-1)/2 ακμές Θεώρημα: Για έναν απλό γράφο G με n κορυφές, m ακμές και k συνιστώσες ισχύει: Πόρισμα: κάθε απλός γράφος με n κορυφές και τουλάχιστον (n-1)(n-2)/2 ακμές είναι συνδεδεμένος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (8) Για κάθε ακμή ενός γράφου w(e) είναι το βάρος αυτής και αν υπάρχει, τότε έχουμε ζυγισμένο γράφο Βάρος γράφου είναι το άθροισμα τα βαρών Ετικέτες στις κορυφές ή τις ακμές των γραφών Ισομορφικοί: υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία Μ ώστε αν οι κορυφές u και v είναι γειτονικές στον ένα γράφο τότε και οι M(u) και M(v) είναι γειτονικές στο δεύτερο γράφο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (9) Θεώρημα: Το πλήθος των απλών γράφων με ετικέτες που έχουν n κορυφές και m ακμές είναι Πόρισμα: Το πλήθος των απλών γράφων με ετικέτες και n κορυφές είναι Υπογράφος, υπεργράφος, ζευγνύων υπογράφος, επηρεασμένος από σύνολο κορυφών/ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (10) Για ένα γράφο G, ο κυκλικός υπογράφος με την ελάχιστη τάξη ονομάζεται περιφέρεια g(G). Αν ο γράφος με περιφέρεια g είναι τακτικός βαθμού r τότε ονομάζεται (g,r)-κλωβός. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (11) Θεώρημα Αν με f(g,r) συμβολίζεται το κάτω όριο της τάξης ενός (g,r)-κλωβού, τότε ισχύει: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (1) Ένωση δύο γράφων είναι ο γράφος G με σύνολο κορυφών και σύνολο ακμών Σύμβολα αθροίσματος δακτυλίου, συμπληρώματος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (2) Κάθε μη συνδεδεμένος γράφος μπορεί να εκφρασθεί ως ένωση δύο ή περισσοτέρων συνιστωσών. Η ένωση m ισομορφικών γράφων G συμβολίζεται με mG. Αν ένας γράφος G μπορεί να εκφρασθεί ως ένωση των παραγόντων του, τότε η ένωση αυτή ονομάζεται παραγοντοποίηση του G. Ένας παράγοντας που είναι τακτικός γράφος βαθμού r ονομάζεται r-παράγοντας. Ένας γράφος είναι r-παραγοντοποιήσιμος αν αποτελείται μόνο από r-παράγοντες. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (3) Τομή δύο γράφων είναι ο γράφος G με σύνολο κορυφών και σύνολο ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (4) Άθροισμα δακτυλίου είναι ο γράφος G με σύνολο κορυφών και σύνολο ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (5) Το συμπλήρωμα ενός γράφου G συμβολίζεται με και είναι ο γράφος που έχει σύνολο κορυφών ενώ το σύνολο των ακμών του αποτελείται από όλες τις δυνατές ακμές που δεν ανήκουν στο σύνολο E(G). Αν ο G δεν είναι συνδεδεμένος, τότε ο είναι συνδεδεμένος (είναι δυνατό να αποδειχθεί). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (6) Διαγραφή κορυφής και διαγραφή ακμής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (7) Η πράξη της ανταλλαγής ή αντιστροφής ακμών ταυτίζεται με τη διαγραφή δύο ακμών (v1,v2) και (v3,v4) και την εισαγωγή των ακμών (v1,v3) και (v2,v4), όπως στο σχήμα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (8) Κατά τη διάσπαση μιας κορυφής v1 διαγράφονται δύο ακμές (v1,v2) και (v3,v4) του γράφου και εισάγονται με ένωση δύο νέες ακμές (v4,v2) και (v4,v3) θεωρώντας μία νέα κορυφή v4. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (9) Αν κατά τη διαγραφή μιας κορυφής από ένα συνδεδεμένο γράφο προκύψουν δύο ή περισσότερες συνιστώσες, τότε η κορυφή αυτή λέγεται αποκόπτουσα κορυφή ή σημείο άρθρωσης. Αν με τη διαγραφή μιας ακμής προκύψουν δύο συνιστώσες, τότε η ακμή αυτή ονομάζεται αποκόπτουσα ακμή ή γέφυρα. Τα τερματικά σημεία μιας τέτοιας ακμής είναι αποκόπτουσες κορυφές. Ένας γράφος που δεν περιέχει αποκόπτουσες ακμές ονομάζεται δισυναφής. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (10) Ένας γράφος που δεν περιέχει αποκόπτουσες κορυφές ονομάζεται δισυνδεδεμένος ή μη διαχωριστός, ενώ λέγεται ότι ο γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο. Ένας διαχωριστός γράφος έχει μία ή περισσότερες αποκόπτουσες κορυφές. Κατά τη διάσπαση μιας αποκόπτουσας κορυφής, η κορυφή αυτή αντικαθίσταται από δύο ή περισσότερες κορυφές, ώστε να προκύψουν ανεξάρτητα τεμάχια. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (11) Η σύνδεση ή άθροισμα δύο γράφων συμβολίζεται με και είναι ένας γράφος που αποτελείται από το γράφο και όλες τις δυνατές ακμές μεταξύ των κορυφών των δύο γράφων. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (12) Αν είναι δυνατόν οι κορυφές ενός γράφου G να επιμερισθούν σε δύο υποσύνολα V1 και V2, έτσι ώστε κάθε ακμή του G να προσπίπτει σε μία κορυφή του V1 και μία του V2, τότε ο γράφος G ονομάζεται διμερής ή διγράφος, ενώ τα V1 και V2 ονομάζονται μερικά σύνολα. Αν κάθε κορυφή του V1 συνδέεται με κάθε κορυφή του V2, τότε ο γράφος G ονομάζεται πλήρης διμερής και συμβολίζεται με , όπου και Κάθε πλήρης διμερής γράφος είναι και διμερής αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει (βλ. Βασικές Έννοιες –8 για K3,3). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (13) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (14) Με όμοιο τρόπο ορίζονται οι πολυμερείς και οι πλήρεις πολυμερείς γράφοι. Το καρτεσιανό γινόμενο δύο γράφων G1 και G2 ορίζεται ως ο γράφος με σύνολο κορυφών V(G1xG2)=V(G1)xV(G2) ενώ δύο κορυφές v=(v1,v2) και u=(u1,u2) είναι γειτονικές στο καρτεσιανό γινόμενο αν v1=u1 και η v2 συνδέεται με την u2 στο γράφο G2 ή συμμετρικά αν v2=u2 και η v1 συνδέεται με την u1 στο γράφο G1. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (15) Το λεξικογραφικό γινόμενο ή σύνθεση δύο γράφων G1 και G2 συμβολίζεται με G1[G2] και ορίζεται ως ο γράφος με σύνολο κορυφών V(G1xG2)=V(G1)xV(G2) ενώ δύο κορυφές v=(v1,v2) και u=(u1,u2) είναι γειτονικές στο λεξικογραφικό γινόμενο αν η v1 συνδέεται με την u1 στο γράφο G1 ή αν v1=u1 και η v2 συνδέεται με την u2 στο γράφο G2. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (16) Ένας γράφος G αποσυντίθεται σε δύο γράφους G1 και G2 αν ισχύει: και Κατά την αποσύνθεση αγνοούνται οι απομονωμένες κορυφές. Με απλά λόγια, κάθε ακμή του G βρίσκεται είτε στον ένα γράφο είτε στον άλλο, αλλά όχι και στους δύο. Παρόλα αυτά μπορεί κάποιες κορυφές να ανήκουν και στους δύο υπογράφους. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (17) Συγχώνευση δύο κορυφών v1 και v2 ενός γράφου είναι η αντικατάστασή τους από μία νέα κορυφή v, ενώ οι ακμές που ήταν προσπίπτουσες στις κορυφές v1 ή/και v2 αντικαθιστώνται από νέες ακμές προσπίπτουσες προς την κορυφή v. Η πράξη αυτή συμβολίζεται με Κατά τη συγχώνευση, ο αριθμός των ακμών παραμένει σταθερός, ενώ ο αριθμός των κορυφών μειώνεται κατά ένα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (18) Κατά την υποδιαίρεση, μία ακμή e διαγράφεται, ενώ οι προσκείμενες κορυφές της e ενώνονται δια μέσου δύο νέων ακμών και μιας ενδιάμεσης κορυφής. Συστολή μιας ακμής e ενός γράφου είναι η αντίστροφη πράξη της υποδιαίρεσης. Κατά τη συστολή η ακμή e διαγράφεται και ταυτοποιούνται οι κορυφές που ήταν προσκείμενες προς την ακμή αυτή. Ο γράφος που προκύπτει κατά τη συστολή συμβολίζεται με Δύο γράφοι λέγονται ομοιομορφικοί αν ένας μπορεί να προκύψει από τον άλλο με μία ή περισσότερες υποδιαιρέσεις ή συστολές ακμών. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Προτάσεις 1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Προτάσεις 2 Το συμπλήρωμα του ισούται με G αν το g είναι υπογράφος του G, τότε ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι Και Γράφοι I Αλγόριθμος: ακολουθία βημάτων αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο - είσοδο - έξοδο - περατότητα - αποτελεσματικός - καθορισμένος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι Και Γράφοι IΙ Η αποτελεσματικότητα καθορίζεται από την πολυπλοκότητα χρόνου και χώρου. Στους γράφους θα μας απασχολήσει περισσότερο η πολυπλοκότητα χρόνου. Πολυπλοκότητα χρόνου είναι το πλήθος εκτελέσεων της βασική πράξης, ώστε να παραχθούν τα επιδιωκόμενα δεδομένα εξόδου. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι Και Γράφοι IΙΙ Η εκτίμηση της επίδοσης ενός αλγορίθμου μπορεί να γίνει είτε πειραματικά είτε θεωρητικά. Πειραματικά, μπορούμε να μετρήσουμε το πλήθος των πράξεων ενός αλγορίθμου, δηλ. τον απόλυτο χρόνο, μέγεθος όμως που δεν εξαρτάται από πολλούς παράγοντες. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι Και Γράφοι IV Για τη θεωρητική εκτίμηση της πολυπλοκότητας χρόνου, έχει ιδιαίτερη σημασία το μέγεθος του προβλήματος, που εφόσον αναφερόμαστε σε γράφους εκφράζεται από την τάξη και το μέγεθός τους. Ο συμβολισμός Ο εκφράζει το άνω όριο του πλήθους των απαιτούμενων πράξεων με τη βοήθεια μιας συνάρτησης Ο(f(n)) Μας ενδιαφέρει συνήθως - η πολυπλοκότητα της χειρότερης περίπτωσης - η πολυπλοκότητα της μέσης περίπτωσης Πολυωνυμικός είναι ο αλγόριθμος όπου η συνάρτηση f είναι άνω φραγμένη από κάποιο πολυώνυμο Αποτελεσματικός είναι ο αλγόριθμος με όσο το δυνατό μικρότερου βαθμού πολυώνυμο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποθήκευση Γράφων Στατικές αναπαραστάσεις Πίνακας γειτνίασης – adjacency matrix Πίνακας προσπτώσεων – incidence matrix Δυναμικές αναπαραστάσεις Λίστες ακμών – edge lists (για αραιούς γράφους) Λίστες γειτνίασης ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αποθήκευση Γράφων Λίστες γειτνίασης (1) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αποθήκευση Γράφων Λίστες γειτνίασης (2) Γραμμικός Πίνακας ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αποθήκευση Γράφων Λίστες γειτνίασης (3) Γραμμική Συνδεδεμένη Λίστα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αποθήκευση Γράφων Λίστες γειτνίασης (4) Συνδεδεμένη δομή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αποθήκευση Γράφων Λίστες γειτνίασης (5) Αν υποτεθεί ότι η μέση τιμή των βαθμών των κορυφών του γράφου είναι dav και ότι για τον ορισμό της επιγραφής μιας κορυφής απαιτείται μία λέξη, τότε εύκολα προκύπτει ότι ο συνολικός απαιτούμενος χώρος μνήμης για αυτές τις μεθόδους είναι περίπου Δυναμικές αναπαραστάσεις μπορούν να εφαρμοσθούν και στην περίπτωση των μη κατευθυνόμενων γράφων, όμως στην περίπτωση αυτή απαιτείται περίπου διπλάσιος χώρος μνήμης. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (1) Μία μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων, που αντιστοιχεί στις τιμές των βαθμών των κορυφών ενός γράφου. Μία τυχούσα ακολουθία λέγεται γραφική αν πράγματι αντιστοιχεί σε κάποιο γράφο G. Ο γράφος G που αντιστοιχεί σε δεδομένη ακολουθία S ονομάζεται παραγοντοποίηση της ακολουθίας S. Για κάθε γράφο αντιστοιχεί μία και μοναδική ακολουθία βαθμών και αυτή έχει τις εξής ιδιότητες Μη αρνητικές τιμές Πλήθος περιττών βαθμών άρτιο Τιμές μικρότερες από n Παράδειγμα: Η ακολουθία 2,2,2,2,2,2 απεικονίζει το γράφο C6 και τον 2C3. Μία ακολουθία βαθμών λέγεται απλή, αν είναι γραφική και υπάρχει μόνο μία πραγματοποίησή της (τότε θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την αποθήκευση του γράφου). ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΙΚΑΝΗ & ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ Θεώρημα: Μια ακολουθία d1,d2,…,dn είναι γραφική, αν είναι γραφική η d2-1,d3-1,…,dd1+1-1,dd1+2,…,dn ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (2) Αλγόριθμος Αν κάποιο d > n-1  OXI Αν όλα μηδενικά  ΝΑΙ Αν κάποιο αρνητικό  OXI Αν χρειάζεται, η ακολουθία αναδιατάσσεται ώστε να είναι μη αύξουσα Διαγράφεται ο πρώτος όρος (d1) και αφαιρείται μία μονάδα από τους επόμενους d1 όρους Πήγαινε στο Βήμα 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (3) Παράδειγμα: η ακολουθία 5,4,4,3,2,1,1 S2: 3, 3, 2, 1, 1, 0 S3: 2, 1, 1, 0, 0 S4: 0, 0, 0, 0 Άρα η ακολουθία είναι γαρφική Κατασκευή γράφου σταδιακά, ξεκινώντας από την S4 Μία ακολουθία βαθμών μπορεί να αντιστοιχίζεται σε περισσότερους από έναν γράφους. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (4) Έχει αποδειχθεί ότι μία πραγματοποίηση γραφικής ακολουθίας βαθμών μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε άλλη πραγματοποίηση μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό ανταλλαγών ακμών. Θεώρημα: Μια ακολουθία d1,d2,…,dn είναι γραφική αν και μόνο αν Σdi είναι άρτιο και για κάθε ακέραιο k, 1<=k<=n-1 ισχύει: Παράδειγμα: Έστω ότι δίνεται η ακολουθία S: 5,5,5,5,2,2,2. Παρατηρούμε ότι: Για k=1, Για k=2, Για k=3, Για k=4 δεν ισχύει (ΨΕΥΔΗΣ) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων