Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης K9

Γενικά Ο Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης είναι η τελευταία από τις τέσσερις μεθόδους αξιολόγησης αμοιβαία αποκλειόμενων εναλλακτικών λύσεων. Αν και θεωρείται η πιο δύσκολη από όλες τις μεθόδους, σε περίπτωση που εφαρμοστεί χωρίς τη χρήση Η/Υ, χρησιμοποιείται ευρέως. Ο λόγος είναι ότι η μέθοδος αυτή παρουσιάζει το ποσοστό (%) της απόδοσης ως μεταβλητή απόφασης.

Γενικά Τα ποσοστά (%) που συνοδεύουν μια χρηματοοικονομική δραστηριότητα (δανεισμός, αποταμίευση, ρύθμιση χρεών κτλ) τα συναντάμε καθημερινά στη ζωή μας και κυρίως στις συναλλαγές μας με τις τράπεζες. Το γεγονός αυτό βοηθάει ώστε η μέθοδος του ΕΒΑ να γίνεται εύκολα κατανοητή, τόσο στον επιχειρηματικό χώρο, όσο και στον απλό κόσμο, σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μεθόδους οι οποίες παρουσιάζουν κάποιες δυσκολίες ως προς την ερμηνεία τους.

Ορισμός Ο ΕΒΑ είναι η τιμή του επιτοκίου i για την οποία η εξίσωση της παρούσας αξίας ενός χρηματο-χρονοδιαγράμματος μηδενίζεται: PW=∑ Bt(P/F,i,t) - ∑ Ct(P/F,i,t) (1)   Επίσης ο ΕΒΑ μπορεί να ορισθεί και ως το ποσοστό (%) που εξισώνει την παρούσα αξία των κερδών με την παρούσα αξία των κοστών ενός χρηματο-χρονοδιαγράμματος. ∑ Bt(P/F,i,t) = ∑ Ct(P/F,i,t) (2) Μια λύση ικανοποιεί οικονομικά το πρόβλημα εφόσον ο ΕΒΑ είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (ή τον ελάχιστο αποδεκτό βαθμό απόδοσης) i*, δηλαδή εφόσον: i > i* (3)

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ Παράδειγμα: Ένα πακέτο μετοχών μιας ασφαλιστικής εταιρείας αποκτήθηκε στις 11 Νοεμβρίου του 1978 στο ποσό του 1.500.000 δρχ. Πωλήθηκε στην ίδια ημερομηνία μετά από δύο χρόνια για 1.777.800 δρχ. Ποιος ήταν ΕΒΑ της επένδυσης; Φόροι και πληθωρισμός δεν λαμβάνονται υπόψη.

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ Λύση: Το χρηματο-χρονοδιάγραμμα του προβλήματος είναι το ακόλουθο:

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ έχουμε: ∑ Bt(P/F,i,t) = ∑ Ct(P/F,i,t) => (1.777.800). (Ρ/F,i,2) = (1.500.000) => (Ρ/F,i,2) = 0.8437

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ Ένας τρόπος να βρεθεί προσεγγιστικά απάντηση για το i είναι να συμβουλευτεί κάποιος τους πίνακες στη γραμμή 2 και στην στήλη (Ρ/F) για να βρει τις τιμές που προσεγγίζουν το 0.8437 και τα ποσοστά που τις συνοδεύουν. Αυτές είναι: 0.8417 με 9% και 0.8573 με 8% Ο ΕΒΑ είναι περίπου 9% διότι το 0.8437 είναι πιο κοντά στο 0.8417 απ' ότι στο 0.8573.

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ Μια γραμμική παρεμβολή θα μας δώσει πιο ακριβή απάντηση; i=9-[(9-8)*((0.8437-0.8417)/(0.8573-0.8418))] => i = 8.872% P/F % 0.8417 9 0.8437 ; 0.8573 8

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ Δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για το πόσο ακριβής είναι αυτή η λύση διότι η παρεμβολή θεωρεί μια γραμμική σχέση μεταξύ Ρ/F και i. Γνωρίζουμε ότι αυτές οι δύο ποσότητες συνδέονται με τον ακόλουθο τύπο:  (P/F,i,t)=1/(1+i)t Για να βρούμε μια ακριβή τιμή του i, αρκεί να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα: 0.8437 = 1/(1+i)t = > (1+i)2 = 1/0.8437 => i= 0.0886944 => i = 8.869%

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ Η τιμή αυτή διαφέρει κατά 0.003 από τη τιμή που βρήκαμε με την γραμμική παρεμβολή. Η συγκεκριμένη μεθοδολογία γενικά γίνεται λιγότερο ακριβής όταν η διαφορά μεταξύ των τιμών προσέγγισης γίνεται μεγαλύτερη. Για παράδειγμα στο πρόβλημά μας εφαρμόζοντας γραμμική παρεμβολή με τις τιμές του παρακάτω πίνακα παίρνουμε διαφορετικό αποτέλεσμα.

Άμεσος Υπολογισμός του ΕΒΑ P/F % 0.8264 10 0.8437 ; 0.907 5 Αν κάνουμε τις πράξεις θα παρατηρήσουμε ότι η διαφορά είναι 0.058 περίπου 19 φορές μεγαλύτερη από την πρώτη γραμμική παρεμβολή. Συμπερασματικά, όταν χρησιμοποιείται η γραμμική παρεμβολή για την εύρεση του ΕΒΑ μέσω πινάκων θα πρέπει το αποτέλεσμα που προκύπτει από τις τιμές προσέγγισης να είναι μέσα στα όρια σφάλματος του ΕΒΑ.

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος Παράδειγμα: Μια εταιρεία αγόρασε πριν 3 χρόνια εξοπλισμό σε Η/Υ αξίας 60 χιλ. Ευρώ. Το καθαρό κέρδος εκτιμήθηκε στα 30 χιλ. Ευρώ. ανά έτος της οικονομικής του ζωής, η οποία θεωρήθηκε 10 χρόνια. Τώρα ο εξοπλισμός έχει μηδέν τιμή μεταπώλησης και είναι έτοιμος προς παροπλισμό. Η εταιρεία θα αποκτήσει νέο εξοπλισμό αξίας 105 χιλ. Ευρώ και οικονομικής ζωής 5 χρόνων. Το καθαρό κέρδος θα είναι 32.1 χιλ. Ευρώ για το πρώτο έτος και 64.2 χιλ. Ευρώ για καθένα από τα επόμενα τέσσερα. Αν αυτό το σύστημα έχει μηδενική τιμή μεταπώλησης, ποιος είναι ο βαθμός απόδοσης; Φόροι και πληθωρισμός να μην ληφθούν υπόψη.

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος Λύση: Το πρόβλημα εισάγει τη χρήση μερικών εννοιών από προηγούμενα κεφάλαια, συγκεκριμένα το βυθισμένο κόστος. Ο εξοπλισμός αξίας 60 χιλ. Ευρώ, ο οποίος αποκτήθηκε πριν από 3 χρόνια, καθώς και όλα τα ποσά που συνδέονται μ' αυτόν μπορούν να θεωρηθούν βυθισμένο κόστος και περασμένα κέρδη και να μην έχουν καμία σχέση με το πώς θα προσεγγίσουμε το πρόβλημα. Επομένως το χρηματο-χρονοδιάγραμμα του προβλήματος είναι το ακόλουθο :

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος ∑ Bt(P/F,i,t) = ∑ Ct(P/F,i,t) => (32100). (Ρ/F,i,1) + (64200). (Ρ/F,i,4) * (Ρ/F,i,1) - 105000 = 0 Οι δύο άγνωστοι, (Ρ/F,i,1) και (Ρ/Α,i,4) κάνουν αδύνατο τον άμεσο υπολογισμό του i. Ο μόνος τρόπος επίλυσης είναι η μέθοδος δοκιμής-σφάλματος. Η διαδικασία της μεθόδου αυτής είναι να γίνουν δοκιμές σε διάφορες τιμές δεικτών ώστε να βρεθούν οι δύο που θα προσεγγίζουν μια τιμή του ΕΒΑ, η οποία να βρίσκεται μέσα στα επιθυμητά όρια.

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος Πώς όμως αποφασίζεται η τιμή του δείκτη για την πρώτη δοκιμή; Μια πρώτη προσέγγιση μπορεί να γίνει αν υποθέσουμε ότι το κέρδος στο χρηματο- χρονοδιάγραμμα είναι συγκεντρωμένο στη μέση και κάνουμε έναν γρήγορο υπολογισμό για να βρούμε τον ΕΒΑ. Έτσι έχουμε : 4*(64200)-32100 = 288900 => 105000 = 288900 *(Ρ/F,i,3) => (Ρ/F,i,3) = 0.3634 Για i = 40% έχουμε (Ρ/F,40,3) = 0.3644

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος Αντικαθιστόντας το 40% στην εξίσωση (4) έχουμε : ΡW= (32100)* (Ρ/F,40,1) + (64200)*(Ρ/A,40,4)*(Ρ/F,40,1) -105000 => ΡW=(32100) *(0.7143) + (64200)*(1.849)*(0.7143) -105000 => ΡW= 2720.7 που δεν είναι ίσο με μηδέν.

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος Ο ΕΒΑ δεν είναι 40% διότι μας έδωσε παρούσα αξία + 2720.7 Ευρώ και όχι μηδέν. Η επόμενη δοκιμή τώρα θα είναι με τιμή ΕΒΑ μικρότερη ή μεγαλύτερη του 40%; Επειδή έχουμε παρούσα αξία θετική θέλουμε να μειώσουμε την επίδραση των κερδών. Αυτό σημαίνει αύξηση του ποσοστού. Δοκιμάζουμε λοιπόν για i = 45%. Η εξίσωση δίνει: PW=-6701.1 που πάλι δεν είναι ίσο με μηδέν. Έτσι ολοκληρώθηκε μια προσέγγιση. Ο πραγματικός ΕΒΑ βρίσκεται μεταξύ του 40% και 45%.

Υπολογισμός του ΕΒΑ μέσω Δοκιμής και Σφάλματος Το σχετικό γράφημα που αντιστοιχεί στα δεδομένα αυτά φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: x / 2720,7 =(5- x) / 6701.1 => x =1.44 Άρα ο ΕΒΑ τελικά είναι περίπου 41.44% ή 41 % κατά προσέγγιση.

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Όπως είπαμε και στον ορισμό του ΕΒΑ μια λύση ικανοποιεί οικονομικά το πρόβλημα εφόσον ο ΕΒΑ είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (ή τον ελάχιστο αποδεκτό βαθμό απόδοσης) i* i >i* όπου i: ΕΒΑ και i*: κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου.

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων H ερώτηση στο προηγούμενο πρόβλημα θα μπορούσε να ήταν: «Θα πρέπει η εταιρεία να αγοράσει εξοπλισμό Η/Υ αν ο ελάχιστος αποδεκτός βαθμός απόδοσης είναι 30%»; Τότε θα έπρεπε να συγκρίνουμε τις εναλλακτικές της αγοράς ή μη του εξοπλισμού. Επειδή 41% > 30% η απόφαση θα ήταν να γίνει η αγορά. Επειδή στην πράξη ακολουθείται μια συγκεκριμένη μικροοικονομική διαδικασία θα γίνουν επιλογές εναλλακτικών λύσεων δοκιμαστικά, ξεκινώντας με αυτή που έχει τη χαμηλότερη αρχική επένδυση.

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Υπολογίζουμε τον ΕΒΑ αυτής της εναλλακτικής και τον συγκρίνουμε με το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Αν εγκριθεί, τότε δημιουργούμε το χρηματο-χρονοδιάγραμμα της οριακής ανάλυσης αφαιρώντας το χρηματο-χρονοδιάγραμμα της εναλλακτικής με τη χαμηλότερη επένδυση (πρώτη) από αυτό της εναλλακτικής με την υψηλότερη επένδυση (δεύτερη). Στη συνέχεια συγκρίνουμε τον οριακό ΕΒΑ (δηλαδή την ποσότητα Δi) με το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Αν ο Δi είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το κόστος ευκαιρίας, τότε η εναλλακτική με την υψηλότερη επένδυση (δεύτερη) γίνεται αποδεκτή, εάν όχι, απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική χαμηλότερης επένδυσης.

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε: Έστω οι λύσεις Α και Β διαταγμένες κατά σειρά αύξησης του αρχικού κόστους επένδυσης Έστω ότι ο ΕΒΑ της Α: iΑ > ι* Αν Δi > ι* (Δi: ο ΕΒΑ του Β-Α) τότε επιλέγεται η Β Αν Δi < ι* επιλέγεται η Α Αν πρέπει οπωσδήποτε μια από τις δύο να επιλεγεί, καταφεύγουμε άμεσα σε οριακή ανάλυση: Δi > ι* επιλέγεται η Β (δεύτερη), Δi < ι* επιλέγεται η Α (πρώτη). Η οριακή ανάλυση στον ΕΒΑ είναι απαραίτητη όταν εξετάζονται αμοιβαία αποκλειόμενες εναλλακτικές λύσεις. Από αυτή την άποψη η μέθοδος του ΕΒΑ είναι ανάλογη με εκείνη του λόγου οφέλους / κόστους.

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Παράδειγμα: Τα στοιχεία δύο «μετά φόρων και πληθωρισμού» χρηματο-χρονοδιαγραμμάτων αμοιβαία αποκλειόμενων εναλλακτικών, είναι τα ακόλουθα (σε χιλ.) Χρόνια 1 2 -240.000 450.000 1-5 120.000 210.000

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Η μηδενική εναλλακτική θα πρέπει να ληφθεί υπόψη. (α) Με i* = 30% και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ΕΒΑ, ποια εναλλακτική (αν υπάρχει κάποια) θα επιλεγεί; (β) Με i* = 35%; (γ) Με i* = 40%; (δ) Με i* = 45%; Όλα τα ποσοστά θα πρέπει να στρογγυλοποιούνται στον πλησιέστερο ακέραιο.  

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Λύση: (α) Επειδή πρέπει να ληφθεί υπόψη η μηδενική εναλλακτική, η χαμηλότερου αρχικού κόστους εναλλακτική θα πρέπει να συγκριθεί με αυτήν. Χρησιμοποιώντας την βασική εξίσωση για την πρώτη εναλλακτική έχουμε: PV = -240.000 + 120.000*(P/A, i, 5) = 0 => (P/A, i, 5) = 2 και με την χρήση των πινάκων i = 41%. Επειδή 41%>30%, η εναλλακτική 1 θα πρέπει να γίνει αποδεκτή.

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Δοκιμάζοντας την εναλλακτική 2 χρησιμοποιώντας την οριακή ανάλυση (2-1): PV = -210.000 + 90.000*(P/A, i, 5) = 0 => (P/A, i, 5) = 2.3333 και με την χρήση των πινάκων i = 32%. Επειδή 32%>30%, η εναλλακτική 2 επιλέγεται έναντι της 1. (β) Δουλεύοντας όπως στο (α) έχουμε ότι i1=41%>35% και επιλέγεται η 1. Επίσης i(2-1) =32%<35% οπότε η 2 απορρίπτεται και επιλέγουμε την 1

Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων (γ) Ομοίως i1=41%>40% και επιλέγεται η 1 . Επίσης i(2-1) =32%<40% οπότε η 1 επικρατεί. (δ) Εδώ έχουμε i1=41% < 45% οπότε η 1 απορρίπτεται. Τώρα η 2 πρέπει να συγκριθεί με την μηδενική: PW = -450.000 + 210.000 * (P/A, i,5) = 0 => (P/A, i,5) = 2.143. Η γραμμική παρεμβολή δίνει i = 37%. Επειδή 37% < 45% η 2 επίσης απορρίπτεται και η μηδενική εναλλακτική γίνεται αποδεκτή.

Ο ΕΒΑ και η Μέθοδος της Παρούσας Αξίας Η μέθοδος του ΕΒΑ αμφισβητήθηκε από αρκετούς, διότι τα αποτελέσματα της δεν συμφωνούσαν πάντα με αυτά της μεθόδου της παρούσας αξίας. Η λανθασμένη αυτή εκτίμηση πάντως, οφείλεται στο γεγονός της μη σωστής χρήσης της μεθόδου και μόνο. Η διαδικασία επιλογής μιας εναλλακτικής με βάση το μεγαλύτερο ΕΒΑ θα οδηγήσει σε εσφαλμένη απόφαση. Όπως είδαμε και προηγουμένως, όταν εξετάζουμε αμοιβαία αποκλειόμενες εναλλακτικές λύσεις, είναι απαραίτητη η οριακή ανάλυση.

Ο ΕΒΑ και η Μέθοδος της Παρούσας Αξίας Παράδειγμα: Έστω δύο αμοιβαία αποκλειόμενες λύσεις Α και Β:

Ο ΕΒΑ και η Μέθοδος της Παρούσας Αξίας Ο ΕΒΑ της Α είναι: iΑ = 27.2%, ενώ αντίστοιχα της Β είναι: iΒ = 23.1%, και του οριακού Β-Α χρηματο-χρονοδιαγράμματος είναι: iΒ-A = 20%. Aν υποθέσουμε ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου είναι: i* = 10%, τότε ποια από τις δύο λύσεις πρέπει να επιλεγεί;

Ο ΕΒΑ και η Μέθοδος της Παρούσας Αξίας Πολύ εύκολα κάποιος μπορεί να επιλέξει την Α διότι έχει μεγαλύτερο ΕΒΑ, όμως αυτή η απόφαση θα ήταν λάθος. Αυτό το βλέπει κανείς από το γεγονός ότι για i*=10% η παρούσα αξία της Β είναι μεγαλύτερη από αυτή της Α: ΡWΒ =1.983 >ΡWΑ= 1.116 Το λάθος έγινε διότι αγνοήσαμε τον ΕΒΑ του οριακού μεταξύ τους χρηματο-χρονοδιαγράμματος, δηλαδή του Β-Α, όπως θα έπρεπε. Πράγματι, ο ΕΒΑ του Β-Α είναι 20%. Αυτό σημαίνει ότι εφόσον η Α ικανοποιεί το πρόβλημα, δηλαδή iΑ = 27.2% > 10%, και εφόσον iΒ-A = 20% > 10% η Β πρέπει τελικά να επιλεγεί. Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι σύμφωνο και με το κριτήριο της παρούσας αξίας αφού ΡW(B-A) & 10% = 0.867 > 0. Άρα δεν τίθεται θέμα υπεροχής της μιας μεθόδου έναντι της άλλης, όπως εσφαλμένα, υποστηρίζεται από πολλούς συγγραφείς.

Η Περίπτωση Ισων Αρχικών Επενδύσεων Για την εφαρμογή της μεθόδου του ΕΒΑ σε αμοιβαία αποκλειόμενες λύσεις ίσων αρχικών επενδύσεων, απαιτούνται κάποιοι ειδικοί χειρισμοί. Έχει παρατηρηθεί, ότι εάν οι εναλλακτικές ληφθούν με μια σειρά, η απόφαση θα είναι σωστή. Αν ληφθούν με διαφορετική σειρά, η απόφαση θα είναι λανθασμένη. Ο Bergmann απέδειξε πώς στις περιπτώσεις αυτές οι λύσεις θα πρέπει να διατάσσονται με τέτοιο τρόπο ώστε κατά την οριακή σύγκριση τους να προκύπτει χρηματο-χρονοδιάγραμμα όπου η πρώτη χρηματορροή θα είναι αρνητική.

Η Περίπτωση Ισων Αρχικών Επενδύσεων Παράδειγμα: Έστω δύο λύσεις Α και Β: Ας υποθέσουμε ότι το κόστος ευκαιρίας είναι: i*=10%. ποία λύση θα πρέπει να επιλεγεί; Έτος Α Β Β-Α Α-Β -100 1 20 70 50 -50 2 40 10 -10 3 60 -20 4 80 -60

Η Περίπτωση Ισων Αρχικών Επενδύσεων Λύση: Αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο του ΕΒΑ και ξεκινήσουμε από την Α θα έχουμε: iΑ = 27% > 10%. Επίσης: iB-A = 11% άρα θα πρέπει να επιλεγεί η Β. Αν τώρα ξεκινήσουμε από την Β θα έχουμε: iΒ = 36% >10% και iB-A = 11% >10% άρα θα πρέπει να επιλεγεί η Α. Αν, τέλος, επιλέξουμε την Β επειδή έχει μεγαλύτερο ΕΒΑ δεν είμαστε σύμφωνοι με το κριτήριο της παρούσας αξίας, αφού ΡWΑ & 10% = 50.9 ενώ ΡWΒ & 10% = 48.4 που σημαίνει ότι πρέπει να επιλέξουμε την Α. Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Bergmann στη προκειμένη περίπτωση βλέπουμε ότι πρέπει να ξεκινήσουμε από την Β καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι επιλέγουμε την Α. Το αποτέλεσμα αυτό είναι σύμφωνο με εκείνο που προκύπτει από την εφαρμογή της παρούσας αξίας.