1 Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Πολυσύνολα

2 Εισαγωγή •Σύνολο είναι μία συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων •Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες συναντάμε συλλογές από μη διακεκριμένα αντικείμενα •π.χ. Έχουμε δύο ή περισσότερους φοιτητές με το ίδιο επώνυμο και θέλουμε να αναφερθούμε στη συλλογή των ονομάτων των φοιτητών

3 Ορισμός •Πολυσύνολο είναι μία συλλογή αντικειμένων τα οποία δεν είναι απαραιτήτως διακεκριμένα

Παραδείγματα •{a, a, a, b, b, c} •{a, a, a, a} •{a, b, c} •{ } 4

Πολυσύνολα •Η πολλαπλότητα ενός στοιχείου σε ένα πολυσύνολο ορίζεται ως ο αριθμός των φορών που το στοιχείο εμφανίζεται στο πολυσύνολο 5

Παράδειγμα Έστω το πολυσύνολο {a, a, a, c, d, d} •Η πολλαπλότητα του στοιχείου α είναι 3 •Η πολλαπλότητα του στοιχείου b είναι 0 •Η πολλαπλότητα του στοιχείου c είναι 1 •Η πολλαπλότητα του στοιχείου d είναι 2 6

Πολυσύνολα vs Σύνολα Τα σύνολα είναι απλώς ειδικές περιπτώσεις πολυσυνόλων στα οποία η πολλαπλάτητα κάθε στοιχείου είναι 0 ή 1 7

Πληθικός Αριθμός •Ο πληθικός αριθμός ενός υποσυνόλου ορίζεται ως ο πληθικός αριθμός του συνόλου στο οποίο αντιστοιχεί, αν θεωρήσουμε ότι τα στοιχεία του πολυσυνόλου είναι όλα διακεκριμένα 8

Συνδυασμοί Πολυσυνόλων Έστω P και Q δύο πολυσύνολα •Η ένωση των P και Q, που συμβολίζεται P  Q, είναι ένα υποσύνολο τέτοιο ώστε η πολλαπλότητα ενός στοιχείου στο P  Q να είναι ίση με τη μέγιστη των πολλαπλοτήτων του στοιχείου στο P και στο Q •Έστω P = {a, a, a, c, d, d} και Q = {a, a, b, c, c}  P  Q = {a, a, a, b, c, c, d, d} 9

Συνδυασμοί Πολυσυνόλων (συνέχεια) •Η τομή των P και Q, που συμβολίζεται P  Q, είναι ένα υποσύνολο τέτοιο ώστε η πολλαπλότητα ενός στοιχείου στο P  Q να είναι ίση με την ελάχιστη από τις πολλαπλότητες του στοιχείου στο P και στο Q •Έστω P = {a, a, a, c, d, d} και Q = {a, a, b, c, c}  P  Q = {a, a, c} 10

Συνδυασμοί Πολυσυνόλων (συνέχεια) •Η διαφορά των P και Q, που συμβολίζεται P - Q, είναι ένα υποσύνολο τέτοιο ώστε η πολλαπλότητα ενός στοιχείου στο P -  Q να είναι ίση με την πολλαπλότητα του στοιχείου στο P μείον την πολλαπλότητα του στοιχείου στο Q •Έστω P = {a, a, a, b, b, c, d, d, e} και Q = {a, a, b, b, b, c, c, d, d, f}  P  Q = {a, e} 11

Συνδυασμοί Πολυσυνόλων (συνέχεια) •To άθροισμα δύο υποσυνόλων P και Q, που συμβολίζεται P + Q, είναι ένα υποσύνολο τέτοιο ώστε η πολλαπλότητα ενός στοιχείου στο P +  Q να είναι ίση με το άθροισμα των πολλαπλοτήτων του στοιχείου στο P και στο Q [Παρατηρήστε ότι δεν υπάρχει αντίστοιχος ορισμός αθροίσματος δύο συνόλων] •Έστω P = {a, a, b, c, c} και Q = {a, b, b, d}  P + Q = {a, a, a, b, b, b, c, c, d} 12

Παράδειγμα •Έστω το πολυσύνολο R = {ηλεκτρολόγος μηχανικός, ηλεκτρολόγος μηχανικός, ηλεκτρολόγος μηχανικός, μηχανολόγος μηχανικός, μαθηματικός, μαθηματικός, φυσικός} το προσωπικό που απαιτείται στην πρώτη φάση ενός μηχανολογικού έργου και 13

Παράδειγμα (συνέχεια) •Έστω το πολυσύνολο S = {ηλεκτρολόγος μηχανικός, μηχανολόγος μηχανικός, μηχανολόγος μηχανικός, μαθηματικός, επιστήμονας υπολογιστών, επιστήμονας υπολογιστών} το προσωπικό που απαιτείται στη δεύτερη φάση του έργου 14

Παράδειγμα (συνέχεια) •Το πολυσύνολο R  S είναι το προσωπικό που πρέπει να προσλάβουμε για το έργο και ισούται με R  S = {ηλεκτρολόγος μηχανικός, ηλεκτρολόγος μηχανικός, ηλεκτρολόγος μηχανικός, μηχανολόγος μηχανικός, μηχανολόγος μηχανικός, μαθηματικός, μαθηματικός, φυσικός, επιστήμονας υπολογιστών, επιστήμονας υπολογιστών} 15

Παράδειγμα (συνέχεια) •Το πολυσύνολο R  S είναι το προσωπικό που θα απασχοληθεί και στις δύο φάσεις του έργου και ισούται με R  S = {ηλεκτρολόγος μηχανικός, μηχανολόγος μηχανικός, μαθηματικός} 16

Παράδειγμα (συνέχεια) •Το πολυσύνολο R-S είναι το προσωπικό στο οποίο θα πρέπει να αναθέσουμε μία νέα εργασία μετά το τέλος της πρώτης φάσης του έργου και ισούται με R-S = {ηλεκτρολόγος μηχανικός, ηλεκτρολόγος μηχανικός, μαθηματικός, φυσικός} 17

Παράδειγμα •Έστω R το πολυσύνολο που περιέχει τους αριθμούς λογαριασμών όλων των συναλλαγών μιας τράπεζας οι οποίες έγιναν μια συγκεκριμένη μέρα •Έστω S το πολυσύνολο που περιέχει τους αριθμούς λογαριασμών όλων των συναλλαγώντης επόμενης μέρας 18

Παράδειγμα (συνέχεια) •Τα R και S είναι πολυσύνολα γιατί σε έναν λογαριασμό μπορεί να γίνουν περισσότερες από μία συναλλαγές σε μία ήμερα  Τ ο R+S είναι ένας κατάλογος των αριθμών λογαριασμών των συναλλαγών που έγιναν κατά τις δύο αυτές ημέρες 19