2ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΒΑΡΒΑΡΑΣ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

; Η μάζα Μεταφορική κίνηση Στροφική κίνηση Η δύναμη Η ροπή Αίτιο : Προσδίδει στο σώμα επιτάχυνση Προσδίδει στο σώμα γωνιακή επιτάχυνση Εκφράζει αδράνεια : Εκφράζει αδράνεια : ; Η μάζα

Θα έλεγε κάποιος ότι η μάζα είναι το μέτρο της αδράνειας και στη στροφική κίνηση.Τούτο διότι θέτουμε δυσκολότερα σε περιστροφή ένα σώμα μεγάλης μάζας παρά ένα μικρής. Θεωρήσατε τα δύο υλικά σημεία , ίδιας μάζας , στερεωμένα σε αβαρείς ράβδους που στρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο περί άρθρωση. Οι ράβδοι δέχονται ίδιες δυνάμεις , στο ίδιο σημείο .Επομένως δέχονται ίδιες ροπές. Ποια θ’ αποκτήσει μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση ;

Ψάχνουμε για ένα μέγεθος που θα εκφράζει αδράνεια στη στροφική κίνηση Ψάχνουμε για ένα μέγεθος που θα εκφράζει αδράνεια στη στροφική κίνηση. Αυτό πρέπει να είναι ανάλογο με τη μάζα. Φυσικά αφού όσο μεγαλύτερη μάζα έχει ένα σώμα τόσο δυσκολότερα στρίβει.

Επομένως η αδράνεια τετραπλασιάστηκε. Όταν διπλασιάσαμε την απόσταση από τον άξονα η γωνιακή επιτάχυνση υποτετραπλασιάστηκε. Επομένως η αδράνεια τετραπλασιάστηκε.

Και ανάλογο της μάζας , επομένως : Ι = m.r2 Αυτό σημαίνει ότι το μέγεθος που ψάχνουμε πρέπει να είναι ανάλογο του r2.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ένα στερεό που μπορεί να περιστραφεί γύρω από άξονα , αποτελείται από τα υλικά σημεία m1, m2 … mi που απέχουν από τον άξονα αποστάσεις r1 , r2 … ri . r1 m1 r2 m2 ri mi Ονομάζουμε ροπή αδρανείας το μονόμετρο μέγεθος Ι = m1. r12 +m2. r22 + …+mi . ri2 ή Μονάδα της ροπής αδρανείας είναι το : 1 kg .m2

Όσο μεγαλύτερες είναι οι αποστάσεις των στοιχειωδών μαζών από τον άξονα περιστροφής , τόσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας. Ερώτηση : Ένα σιδερένιο στεφάνι και ένας πλαστικός δίσκος έχουν ίδιες μάζες και ίδιες ακτίνες. Ποιο από τα δύο έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας ; Η παραπάνω ερώτηση ήταν ελλειπής. Η ροπή αδράνειας αναφέρεται πάντοτε σε συγκεκριμένο άξονα. Ι1 < Ι2

Κινητική ενέργεια στρεφομένου σώματος r1 m1 r2 m2 ri mi Το σώμα που φαίνεται περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω . Η κινητική του ενέργεια λόγω περιστροφής είναι : Όμως όλα τα υλικά σημεία έχουν ίδια γωνιακή ταχύτητα ω . Επομένως :

r1 m1 r2 m2 ri mi Προσέξτε την ομοιότητα :

Ροπές αδράνειας κάποιων σωμάτων Έστω ένα δαχτυλίδι μάζας Μ , ακτίνας R , που στρέφεται περί άξονα κάθετο στο επίπεδό του, και διέρχεται από το κέντρο του δαχτυλιδιού. Ο Η ροπή αδρανείας του είναι :

Απόδειξη : Το δαχτυλίδι αποτελείται από τα υλικά σημεία dm1 , dm2 ,…., dmi κ.λ.π dm1 dm2 R dmi Όλα αυτά έχουν ίδια απόσταση R από τον άξονα . Ο Ι = dm1. r12 +dm2. r22 + …+dmi . rι2 = dm1. R2 +dm2. R2 + …+dmi . R2 = ( dm1 +dm2 + …+dmi ). R2 = M. R2

Με τον ίδιο τύπο : Ι = Μ.R2 υπολογίζεται και η ροπή αδρανείας κυλινδρικού φλοιού. Τούτο ισχύει διότι ο κυλινδρικός φλοιός μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από επάλληλα δαχτυλίδια.

Έστω ένας δίσκος , μάζας Μ , ακτίνας R , που στρέφεται περί άξονα κάθετο στο επίπεδό του, και διέρχεται από το κέντρο του δίσκου. Ο Η ροπή αδρανείας του είναι :

Με τον ίδιο τύπο υπολογίζεται και η ροπή αδρανείας συμπαγούς κυλίνδρου Τούτο ισχύει διότι ο κύλινδρος μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από επάλληλους δίσκους.

Ροπή αδράνειας ομογενούς ,σφαιρικού φλοιού ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο του :

Ροπή αδράνειας συμπαγούς ,ομογενούς , σφαίρας ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο της : Συγκρίνατε με τον σφαιρικό φλοιό.

Ροπή αδράνειας ,λεπτής ομογενούς ράβδου, ως προς κάθετο άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας της. L

Ροπή αδράνειας ομογενούς ορθογώνιας πλάκας , ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της , διερχόμενο από το κέντρο μάζας της. α b

Ποια είναι η ροπή αδράνειας για την λεπτή πλάκα του σχήματος ; b

Θεώρημα παραλλήλων αξόνων Θεώρημα Steiner

Δεν είμαστε υποχρεωμένοι να « σουβλίζουμε » τα σώματα ώστε ο άξονας να περνάει από το κέντρο μάζας του σώματος. Ποια είναι όμως τότε η ροπή αδράνειας ; Την απάντηση δίνει το θεώρημα παραλλήλων αξόνων (θεώρημα Steiner ) . « Αν ΙCM η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ , ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του σώματος , τότε η ροπή αδράνειας ως προς άξονα παράλληλο , που απέχει απόσταση d από τον προηγούμενο, είναι : Ι = ΙCM + Μ.d2 » d

Εφαρμογή Βρείτε την ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς άξονα , κάθετο στο επίπεδό του , διερχόμενο από σημείο της περιφερείας του.

Εφαρμογή Κ R Ο Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα στο Κ είναι : Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα στο Ο είναι : Ο

Ο λόγος των κινητικών ενεργειών Στη γενική περίπτωση ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης προς τη κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης έχει οιανδήποτε τιμή. Όταν όμως το σώμα κυλίεται χωρίς ολίσθηση ….

Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και χαρακτηριστικός του σώματος.

Στην περίπτωση του κυλίνδρου ( ή δίσκου ) ισχύει : Στην περίπτωση συμπαγούς σφαίρας ισχύει :