Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα Θεματική Ενότητα Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα

Ασκήσεις ΙΙ

Θέμα Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα έχει κατασκευαστεί έτσι ώστε να αναγνωρίζει ακολουθίες από 0 και 1 της μορφής 01*(10)*10*, όπου (10)* είναι οποιοσδήποτε αριθμός (το μηδέν επιτρέπεται) από διαδοχικά 10. Κατασκευάστε ένα κατευθυνόμενο γράφημα λαμβάνοντας υπόψη ότι:

Θέμα (συνέχεια) α) Για οποιαδήποτε κορυφή δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό των εξερχομένων ακμών με ετικέτα 0 ή 1. Υπάρχει μία αρχική κορυφή vi και μία τελική κορυφή vf και η ακολουθία ετικετών οποιουδήποτε μονοπατιού από την vi στην vf είναι της μορφής που περιγράψαμε. Επιπλέον, σε κάθε ακολουθία της μορφής αυτής υπάρχει ένα μονοπάτι από την vi στην vj με αντίστοιχες ετικέτες

Θέμα (συνέχεια) β) Επιτρέπεται να υπάρχουν πολλές τελικές κορυφές vf1 , vf2,… H ακολουθία ετικετών οποιουδήποτε μονοπατιού από την vi προς οποιαδήποτε τελική κορυφή vfj είναι της δοθείσας μορφής. Επιπλέον σε κάθε ακολουθία της μορφής αυτής αντιστοιχεί κάποιο μονοπάτι από την vi σε κάποια vfj

Θέμα (συνέχεια) [Η ερμηνεία της λειτουργίας του κυκλώματος μέσω του γραφήματος, είναι ότι το κύκλωμα αρχίζει στην κορυφή vi, ακολουθεί το μονοπάτι επιλέγοντας ακμές σύμφωνα με τη σειρά των 0 και 1 στη δοσμένη ακολουθία και αποδέχεται την ακολουθία αν στο τέλος φτάσει σε μία τελική κορυφή vfi]

Λύση (α) Στο εξής γράφημα, μετά το αρχικό 0, το επόμενο 1 μπορεί να ανήκει σε οποιοδήποτε τμήμα από την υπόλοιπη έκφραση: (Η τελική κατάσταση φαίνεται μαυρισμένη)

Λύση (συνέχεια) (β) Εδώ δεν επιτρέπεται σ’ έναν κόμβο να έχει πολλαπλές εξερχόμενες ακμές με την ίδια ετικέτα, αλλά μπορούμε να έχουμε πολλές τελικές καταστάσεις: (Οι τελικές καταστάσεις φαίνονται μαυρισμένες )

Θέμα Μία διατεταγμένη n-άδα (d1, d2,…,dn) μη αρνητικών ακεραίων ονομάζεται γραφηματώδης αν υπάρχει ένα γραμμικό γράφημα χωρίς βρόχους, των οποίων οι βαθμοί είναι d1, d2,…,dn. (α) Δείξτε ότι η (4,3,2,2,1) είναι γραφηματώδης (β) Δείξτε ότι η (3,3,3,1) δεν είναι γραφηματώδης

Θέμα (συνέχεια) (γ) Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέστε ότι d1 ³ d2 ³ ... ³ dn. Αποδείξτε ότι η (d1, d2,…,dn) είναι γραφηματώδης αν και μόνο αν η (d2 - 1, d3 – 1, …, dd1 - 1, dd1+1 – 1, dd1+2 – 1,…,dn) είναι γραφηματώδης. (δ) Χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα (γ) για να ελέγξετε κατά πόσον η (5,5,3,3,2,2,2) είναι γραφηματώδης.

Λύση (α) Για να δείξουμε ότι μια πεντάδα είναι γραφηματώδης, αρκεί να φανερώσουμε κάποιο γράφημα 5 κορυφών, του οποίου οι κορυφές έχουν τους συγκεκριμένους βαθμούς. Το εξής γράφημα έχει τους ζητούμενους βαθμούς

Λύση (συνέχεια) (β) Αν η (3,3,3,1) είναι γραφηματώδης τότε υπάρχει γράφημα του οποίου οι βαθμοί είναι 3,3,3,1. Αφού το γράφημα έχει τέσσερις κορυφές, κάθε κορυφή βαθμού 3 πρέπει να συνδέεται με ΟΛΕΣ τις υπόλοιπες. Άρα η τελευταία δεν μπορεί να έχει βαθμό 1 – άτοπο.

Λύση (συνέχεια) Αλλιώς: Η τελευταία κορυφή συνδέεται με ακριβώς άλλη μία κορυφή. Αν αφαιρέσουμε την κορυφή εκείνη και την ακμή που την συνδέει, μένει γράφημα με βαθμούς 3,3,2. Είναι αδύνατον σε γράφημα 3 κορυφών κάποια κορυφή να έχει βαθμό 3 – άτοπο.

Λύση (συνέχεια) (γ) (Ü) (εύκολη κατεύθυνση) Αν η (d2 - 1, d3 – 1, …, dd1 - 1, dd1+1 – 1, dd1+2 – 1,…,dn) είναι γραφηματώδης, τότε υπάρχει κάποιο γράφημα του οποίου οι κορυφές έχουν βαθμούς d2 - 1, d3 – 1, …, dd1 - 1, dd1+1 – 1, dd1+2 – 1,…,dn. Αρκεί να προσθέσουμε μία κορυφή που να συνδέεται με τις πρώτες d1 κορυφές στη σειρά ώστε να έχει βαθμό d1.

Λύση (συνέχεια) Οι βαθμοί των πρώτων d1 κορυφών αυξάνονται κατά 1 και προστίθεται μια κορυφή βαθμού d1, άρα η είναι γραφηματώδης. Π.χ. αν η (5,4,4,3,3,2,2,1) είναι γραφηματώδης τότε υπάρχει γράφημα του οποίου οι κορυφές έχουν βαθμούς 5,4,4,3,3,2,2,1.

Λύση (συνέχεια) Αν προσθέσουμε σ’ αυτό μια κορυφή, η οποία να συνδέεται με τις πρώτες έξι κορυφές, τότε οι βαθμοί είναι 6, 5 + 1 = 6, 4 + 1 = 5, 4 + 1 = 5, 3 + 1 = 4, 3 + 1 = 4, 2 + 1 = 3, 2, 1, άρα η (6,6,5,5,4,4,3,2,1) είναι επίσης γραφηματώδης

Λύση (συνέχεια) (Þ) (πιο δύσκολη) Αν η πρώτη κορυφή συνδέεται με τις επόμενες d1, τότε απλά την αφαιρούμε. Οι κορυφές που μένουν έχουν βαθμούς d2 - 1, d3 – 1, …, dd1 - 1, dd1+1 – 1, dd1+2 – 1,…,dn, όπως θέλουμε. ΑΛΛΑ, η πρώτη κορυφή μπορεί να μην συνδέεται στις επόμενες d1 κορυφές. Αυτό θα το διορθώσουμε…

Λύση (συνέχεια) Σ’ αυτήν την περίπτωση η v1 δεν συνδέεται με την vi (που θέλουμε), αλλά συνδέεται με την vj (που δεν θέλουμε). Προσθέτουμε λοιπόν την ακμή (v1,vi) και αφαιρούμε την ακμή (v1,vj). Τώρα η v1 έχει τον σωστό βαθμό, αλλά η vi έχει 1 παραπάνω και η vj ένα λιγότερο.

Λύση (συνέχεια) Η vi πρέπει να συνδέεται με τουλάχιστον άλλη μία κορυφή (επειδή είναι αριστερά της vj), έστω vk. Οπότε αφαιρούμε την ακμή (vk, vi) και προσθέτουμε την ακμή (vk, vj). Τώρα όλες οι κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό που είχαν στην αρχή, αλλά η v1 συνδέεται με την vi και όχι με την vj.

Λύση (συνέχεια) Μπορούμε να επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές χρειάζεται ώσπου η v1 να συνδέεται ακριβώς με τις v2,v3,…, vd1+1 Τώρα μπορούμε να αφαιρέσουμε την v1 και όλες τις ακμές προς τις γειτονικές της κορυφές, που αποδεικνύει ότι (d2 - 1, d3 – 1, …, dd1 - 1, dd1+1 – 1, dd1+2 – 1,…,dn) είναι γραφηματώδης

Λύση (συνέχεια) Παραδείγματος χάριν, για (3,2,2,2,1) ίσως προκύπτει το εξής γράφημα και διόρθωση

Λύση (συνέχεια) (δ) (5,5,3,3,2,2,2) είναι γραφηματώδης Û (5,5,3,3,2,2,2) είναι γραφηματώδης Û (4,2,2,2,1,1) είναι γραφηματώδης Û (1,1,1,0,1) είναι γραφηματώδης Û (1,1,1,1,0) είναι γραφηματώδης Û (0,1,1,0) είναι γραφηματώδης Το οποίο εύκολα ικανοποιείται από ένα γράφημα με τέσσερις κορυφές και μία ακμή

Θέμα Ένα σύνολο κορυφών ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος λέγεται «ανεξάρτητο» αν δεν υπάρχουν σ’ αυτό δύο γειτονικές κορυφές. Ένα μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο που παύει να είναι ανεξάρτητο αν σε αυτό συμπεριληφθεί οποιαδήποτε επιπλέον κορυφή.

Θέμα (συνέχεια) (α) Στο γράφημα του σχήματος βρείτε δύο μέγιστα ανεξάρτητα σύνολα με διαφορετικό αριθμό κορυφών (β) Διατυπώστε με όρους της θεωρίας γραφημάτων την διαπίστωση ότι είναι δυνατόν να τοποθετηθούν στη σκακιέρα οκτώ βασίλισσες έτσι που καμία να μην απειλεί καμία άλλη.

Λύση (α) Στα κάτω γραφήματα το μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο αποτελείται από τις χρωματισμένες κορυφές – το αριστερό έχει τρεις κορυφές, το δεξί έχει δύο. Προσέξτε ότι όλες οι κορυφές είναι γειτονικές με κάποια χρωματισμένη:

Λύση (συνέχεια) (β) Κατασκευάζουμε ένα γράφημα του οποίου οι κορυφές είναι τα 64 τετράγωνα της σκακιέρας. Ανάμεσα σε δύο κορυφές υπάρχει ακμή αν και μόνο αν μία βασίλισσα στο ένα τετράγωνο απειλεί το άλλο τετράγωνο. Η διαπίστωση μπορεί να εκφραστεί ως εξής: Στο παραπάνω γράφημα που κατασκευάσαμε υπάρχει ανεξάρτητο σύνολο με 8 κορυφές.

Θέμα Έστω d η διάμετρος ενός γραφήματος με n κορυφές. Έστω δ ο μέγιστος βαθμός στο γράφημα. Αποδείξτε ότι: 1 + (δ) + δ(δ-1) + δ(δ-1)2 +…+ δ(δ-1)(d-1) ³ n Η απόσταση μεταξύ δύο κορυφών σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα ορίζεται ως ο ελάχιστος αριθμός ακμών ενός μονοπατιού που τις συνδέει. Η διάμετρος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος ορίζεται ως η μέγιστη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κορυφών του.

Λύση Αν ξεκινήσουμε με οποιονδήποτε κόμβο και σχεδιάζουμε πως μπορούμε να φτάσουμε από εκείνο προς τους υπόλοιπους, καταλήγουμε σε ένα δενδρικό σχήμα:

Λύση (συνέχεια) Ο βαθμός της πρώτης κορυφής είναι το πολύ δ, επομένως το δεύτερο επίπεδο έχει το πολύ δ κορυφές. Αυτές έχουν επίσης βαθμό το πολύ δ, άρα συνδέεται η καθεμία με το πολύ δ -1 επιπλέον κορυφές. Άρα το τρίτο επίπεδο έχει το πολύ δ(δ -1) κορυφές. Συνεχίζοντας έτσι, προκύπτει ο τύπος: 1 + (δ) + δ(δ -1) + δ(δ -1)2 +…+ δ(δ -1)(d - 1) ³ n

Θέμα Κάποιος πύργος έχει πολλά δωμάτια. Όσα από αυτά έχουν άρτιο αριθμό από πόρτες κατοικούνται από φαντάσματα. Υποθέστε ότι κάθε πόρτα του πύργου πλην της εισόδου ενώνει δύο δωμάτια και ότι ο πύργος έχει ακριβώς μία είσοδο. Αποδείξτε ότι κάποιος που εισέρχεται στον πύργο μπορεί να πάει σε ένα τουλάχιστον δωμάτιο που δεν κατοικείται από φαντάσματα.

Λύση Στην ουσία αποδεικνύουμε το θεώρημα του Euler: Όλα τα δωμάτια με φαντάσματα έχουν άρτιο αριθμό από πόρτες. Επομένως εάν, κατά την διαδρομή μας μέσα στον πύργο, φτάσουμε σε δωμάτιο με φαντάσματα μπορούμε να ξεφύγουμε από διαφορετική πόρτα, από την οποία δεν έχουμε ξαναπεράσει. Όσες φορές φτάνουμε στο ίδιο δωμάτιο, πάντα μπορούμε να φύγουμε από διαφορετική πόρτα.

Λύση (συνέχεια) Συνεχίζουμε έτσι την βόλτα μας από δωμάτιο σε δωμάτιο, πάντα επιλέγοντας μία πόρτα από την οποία δεν έχουμε ξαναπεράσει. Δεν μπορεί να συνεχιστεί η βόλτα μας για πάντα διότι υπάρχει μόνο πεπερασμένος αριθμός από πόρτες. Άρα κάποια στιγμή θα φτάσουμε σε δωμάτιο χωρίς φαντάσματα

Θέμα (α) Βρείτε ένα γράφημα που έχει ένα κύκλωμα Euler και ένα κύκλωμα Hamilton (β) Βρείτε ένα γράφημα που δεν έχει κύκλωμα Euler αλλά έχει κύκλωμα Hamilton

Λύση (α) (Ο έλεγχος για την ύπαρξη κυκλώματος Euler είναι εύκολος: όλες οι κορυφές πρέπει να είναι άρτιου βαθμού. Επιπλέον, αν δεν μπορούμε να το βρούμε με το μάτι, το θεώρημα μας το κατασκευάζει. Η ύπαρξη κυκλώματος Hamilton πιο δύσκολα ελέγχεται εν γένει.)

Λύση (συνέχεια) (β) (Δεν υπάρχει κύκλωμα Euler, αφού υπάρχουν τέσσερις κορυφές βαθμού 3 – για να υπάρχει μονοπάτι Euler, 0 ή 2 κορυφές θα έχουν περιττό βαθμό. Για να υπάρχει κύκλωμα Euler καμία δεν θα έχει περιττό!)

Θέμα Έστω G ένα πλήρες κατευθυνόμενο γράφημα.

Λύση Πρέπει να δείξουμε ότι εάν το G είναι πλήρες κατευθυνόμενο γράφημα χωρίς κατώτερη ομάδα, τότε έχει κύκλωμα Hamilton. Η προσέγγιση: Θα δείξουμε πρώτα ότι το G πρέπει να έχει κάποιο κύκλωμα. Μετά θα δείξουμε ότι κάθε κύκλωμα με < n κορυφές μπορεί να επεκταθεί σε μεγαλύτερο κύκλωμα

Λύση (συνέχεια) Γνωρίζουμε από το θεώρημα 5.5 ότι το G (ως κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα) περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έχουμε λοιπόν: v1 ® v2 ® ... ® vn -1 ® vn Το σύνολο κορυφών {vn} δεν είναι κατώτερη ομάδα, οπότε η vn συνδέεται με κάποια vk, k < n – 1. Αυτό μας δίδει ένα αρχικό κύκλωμα

Λύση (συνέχεια) (2)Έστω Κ οι κορυφές του κυκλώματος και V-K οι υπόλοιπες κορυφές. Αν υπάρχει κορυφή u Î V-K με ακμές και προς και από Κ, τότε μπορούμε να βρούμε δύο διαδοχικές κορυφές v1, v2 στο κύκλωμα Κ έτσι ώστε v1 ® u, u ® v2 Αντικαθιστούμε την ακμή (v1, v2) με τις δύο αυτές ακμές και προκύπτει μεγαλύτερο κύκλωμα.

Λύση (συνέχεια) (3) Έστω λοιπόν ότι δεν υπάρχει τέτοια κορυφή u Î V-K, δηλαδή όλες οι κορυφές στο V-K έχουν ακμές αποκλειστικά προς ή από το Κ. Όμως Κ και V-K δεν είναι κατώτερες ομάδες, Þ υπάρχουν ακμές από Κ προς V-K και ακμές από V-K προς Κ.

Λύση (συνέχεια) Αν V-K περιέχει κύκλωμα, τότε μπορούμε να βρούμε ένα μονοπάτι v1, v2, …, vκ στο V-K ώστε οι ακμές μεταξύ του Κ και v1 είναι αποκλειστικά από Κ και οι ακμές μεταξύ του Κ και vκ είναι αποκλειστικά προς Κ. Παίρνουμε οποιεσδήποτε δύο διαδοχικές κορυφές v1, v2 του Κ και αντικαθιστούμε την ακμή (v1, v2) με τις ακμές (v1, u1), (u1, u2),…, (uk-1, uk), (uk, v2). Προκύπτει μεγαλύτερο κύκλωμα

Λύση (συνέχεια) (4) Τέλος, αν V-K δεν περιέχει κύκλωμα: V-K είναι πλήρες κατευθυνόμενο γράφημα, άρα περιέχει μονοπάτι Hamilton u1, u2,…, uk. Αν δεν έχει κύκλωμα, αυτό σημαίνει ότι έχουμε όλες τις ακμές (ui, uj), 1 £ i < j £ k. Αφού η u1 έχει μόνο εξερχόμενες ακμές στο V-K, πρέπει να έχει μόνο εισερχόμενες ακμές από το Κ (αφού {u1} δεν είναι κατώτερη ομάδα).

Λύση (συνέχεια) Παρομοίως, αφού uk έχει μόνο εισερχόμενες ακμές στο V-K, πρέπει να έχει μόνο εξερχόμενες ακμές προς το Κ. Παίρνουμε λοιπόν οποιεσδήποτε διαδοχικές κορυφές v1, v2 στο Κ και αντικαθιστούμε την ακμή (v1, v2) με τις ακμές (v1, u1), (u1, u2),…, (uk-1, uk), (uk, v2). Προκύπτει μεγαλύτερο κύκλωμα