Απαντήσεις Προόδου I

Θέμα 1ο •Έστω Α = { , b}. Κατασκευάστε τα παρακάτω σύνολα: •(α) Α -  •(β) {  } – Α •(γ) Α  P(A) •(δ) Α  P(A)

Θέμα 1ο - Λύση Α = { , b}. 1.A-  = A 2.{  } – A =  3.A  P(A) = { , b }  { , {  }, {b}, { , b}} = { , b, {  }, {b}, { , b}} 4.A  P(A) = { , b }  { , {  }, {b}, { , b}} = {  }

Θέμα 2ο •Έστω Α={α, {α}}. Προσδιορίστε αν καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής. •(α)   P(A) •(β) {α, {α}}  P(A) •(γ) {{{α}}}  Ρ(Α)

Θέμα 2ο - Λύση Α = {α, {α}}, Ρ(Α)= { , {α}, {{α}}, {α,{α}}} •   P(A), Αληθής •{α, {α}}  P(A), Ψευδής •{ {{α}} }  Ρ(Α), Ψευδής

Θέμα 3ο •(α) Γράψτε όλα τα στοιχεία του συνόλου {a, {a}} x P({a, {a}}). •(β) Αποδείξτε ότι P(Α  B) = P(A)  P(B) ή δώστε ένα αντιπαράδειγμα. •(γ) Υπό ποιες συνθήκες ισχύει ότι (A – C)  (B - C) = C; Αποδείξτε την αναγκαιότητα των συνθηκών αυτών.

Θέμα 3ο - Λύση (α) Ρ(Α)= { , {α}, {{α}}, {α,{α}}}, επομένως •{ α, {α} } x P( { α, {α} } ) = { ( α,  ), ( α, {α} ), ( α, { {α} } ), (α, { α, {α} } ), ( {α},  ), ( {α}, {α} ), ( {α}, { {α} } ), ( {α}, { α, {α} } ) }

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) (β) Αντιπαράδειγμα: •Α = { α, β }, Β = { β, γ }. Τότε { α, β, γ }  Α  Β, οπότε { α, β, γ }  Ρ (Α  Β). •Όμως { α, β, γ }  Α, { α, β, γ }  Β, οπότε { α, β, γ }  Ρ(Α), { α, β, γ }  Ρ(Β) άρα •{ α, β, γ }  Ρ(Α)  Ρ(Β).

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) (γ ) Έστω ότι ισχύει ( Α – C )  ( B – C ) = C •Αν ( Α – C )  ( B – C )   τότε περιλαμβάνει κάποιο στοιχείο, έστω x  ( Α – C )  ( B – C ). Τότε x  ( Α – C ), x  ( B – C ), x  Α, x  Β, x  C. Αλλά για να ισχύει ( Α – C )  ( B – C ) = C, πρέπει να έχουμε x  C, άτοπο. Επομένως ( Α – C )  ( B – C ) = .

Θέμα 3ο – Λύση (συνέχεια) •Αν C  , τότε περιλαμβάνει κάποιο στοιχείο, έστω x  C. Αλλά για να ισχύει ( Α – C )  ( B – C ) = C, πρέπει να έχουμε x  ( Α – C )  ( B – C ), το οποίο σημαίνει x  Α, x  Β, x  C, άτοπο. •Επομένως C = . •Αφού C = , Α – C = Α και Β – C = B. Άρα αναγκαία συνθήκη είναι: C = , Α  Β =  •Αυτό προφανώς είναι και ικανή συνθήκη για να ισχύει ( Α – C )  ( B – C ) = C.

Θέμα 4ο •Δείξτε με επαγωγή ότι το n 4 – 4n 2 διαιρείται από το 3 για κάθε n  2.

Θέμα 4ο - Λύση •Βάση της επαγωγής για n= *2 2 διαιρείται με το 3. •Βήμα της επαγωγής Έστω ότι ισχύει για n=k. Άρα κ 4 -4κ 2 διαιρείται με το 3 •Θα δείξουμε ότι ισχύει για n = k+1 (κ+1) 4 -4(κ+1) 2 = (κ+1) 2 ((κ+1) 2 -4) = (κ 2 +2κ+1)(κ 2 +2κ+1-4) = κ 4 +2κ 3 +κ 2 -4κ 2 +2κ 3 +4κ 2 +2κ-8κ+κ 2 +2κ+1-4 = κ 4 +κ 2 -4κ 2 +4κ 2 +κ 2 +4κ 3 -4κ+1-4 = κ 4 +2κ 2 +4κ 3 -4κ-3=

Θέμα 4ο – Λύση (συνέχεια) •Σε αυτό το σημείο δεν υπάρχει κάποιος προφανής τρόπος για να χρησιμοποιήσουμε το βήμα της επαγωγής ώστε να ισχυριστούμε ότι ένα μέλος του αθροίσματος διαιρείται με το 3. •Επομένως θέτουμε 2κ 2 = 6κ 2 -4κ 2 και συνεχίζοντας από την προηγούμενη εξίσωση έχουμε: κ 4 +2κ 2 +4κ 3 -4κ-3 = κ 4 +6κ 2 -4κ 2 +4κ 3 -4κ-3 = =κ 4 - 4κ 2 + 6κ 2 +4κ 3 -4κ-3

Θέμα 4ο – Λύση (συνέχεια) •Όμως το πρώτο μέλος έχουμε δείξει από το βήμα της επαγωγής ότι διαιρείται με το 3 επομένως μένει να δείξουμε ότι διαιρείται με το 3 η εξίσωση 6κ 2 +4κ 3 -4κ-3 •Ξεκινάμε μια καινούργια επαγωγή για να δείξουμε ότι το: 4n 3 +6n 2 -4n-3 διαιρείται με το 3 για n >= 2. •Αν το δείξουμε αυτό τότε θα έχουμε δείξει ότι κ 4 - 4κ 2 + 6κ 2 +4κ 3 -4κ-3 διαιρείται με 3 και άρα θα έχουμε δείξει ότι η σχέση n 4 -4n 2 ισχύει και για n = k+1

Θέμα 4ο – Λύση (συνέχεια) •Βάση της επαγωγής Για n=2 : 4n 3 +6n 2 -4n-3 = 45 που διαιρείται με το 3. •Βήμα της επαγωγής Έστω ότι ισχύει για n=k τότε έχουμε ότι 4κ 3 +6κ 2 - 4κ-3 διαιρείται με το 3. •Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=k+1. Θα δείξουμε δηλαδή ότι 4(κ+1) 3 +6(κ+1) 2 -4(κ+1)-3 διαιρείται με το 3.

Θέμα 4ο – Λύση (συνέχεια) 4(κ+1) 3 +6(κ+1) 2 -4(κ+1)-3 = 4(κ 3 +3κ 2 +3κ+1)+6(κ 2 +2κ+1)-4κ-4-3 = 4κ 3 +12κ 2 +12κ+4+6κ 2 +12κ+6-4κ-4-3= ( εφαρμόζοντας απλή αντιμετάθεση των όρων του αθροίσματος ) = 4κ 3 +6κ 2 -4κ κ 2 +24κ + 6

Θέμα 4ο – Λύση (συνέχεια) •Όπως παρατηρείται, το πρώτο μέρος της παραπάνω εξίσωσης είναι ακριβώς το βήμα της επαγωγής μας άρα σύμφωνα με την υπόθεση μας διαιρείται με το 3. •Είναι φανερό όμως ότι και κάθε ένας από τους υπόλοιπους όρους της εξίσωσης διαιρείται με το 3 εφόσον είναι όλοι πολλαπλάσια του 3 άρα συνολικά διαιρείται με το 3.

Θέμα 5ο •Δείξτε ότι … + (2n - 1) 2 = [ n (2n - 1)(2n + 1) ] / 3

Θέμα 5ο - Λύση •Βάση της επαγωγής: Για n=1, το αριστερό μέρος είναι 1 και το δεξί μέρος είναι 1(2 ・ 1−1)(2 ・ 1+1)/3 = 3/3 = 1 •Επαγωγικό βήμα: •Πρέπει να δείξουμε ότι εφ’όσον ισχύει …+(2n−1) 2 = n(2n−1)(2n+1)/3, πρέπει επίσης να ισχύει: …+ (2(n + 1) − 1) 2 = (n + 1)(2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1)/3.

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) •Το αριστερό μέρος είναι • …+ (2n − 1) 2 +(2(n + 1) − 1) 2 = n(2n − 1)(2n + 1)/3 + (2n + 1) 2 = (από επαγωγική υπόθεση, …+ (2n − 1) 2 =n(2n-1)(2n+1)/3 ) = (4n 3 − n)/3 + (4n 2 + 4n + 1) = = (4n 3 − n)/3 + (12n n + 3)/3 = = (4n n n + 3)/3.

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) •Το δεξί μέρος είναι (n + 1)(2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1)/3 = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3 = (4n n n + 3)/3.

Θέμα 6ο •Έστω ότι το p συμβολίζει την πρόταση «Είναι φθινόπωρο», το q συμβολίζει την πρόταση «Ο καιρός είναι βροχερός», και το r συμβολίζει την πρόταση «Θα πάω picnic» I) Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις σε συμβολική μορφή. (α) Είναι φθινόπωρο και ο καιρός είναι βροχερός. (β) Δεν είναι φθινόπωρο, ο καιρός δεν είναι βροχερός και δε θα πάω picnic. (γ) Εάν δεν είναι φθινόπωρο, τότε θα πάω picnic.

Θέμα 6ο (συνέχεια) ( δ) Το ότι είναι φθινόπωρο σημαίνει ότι ο καιρός είναι βροχερός και αντιστρόφως. (ε) Είτε είναι φθινόπωρο είτε ο καιρός δεν είναι βροχερός, αλλά όχι και τα δύο. •II) Μεταφράστε τα παρακάτω στα Ελληνικά και απλοποιείστε τα αν είναι δυνατόν (α)  q   p (β)  (  p  q)  (p  q) •Παρατήρηση: Το σύμβολο “  ” αναπαριστά την άρνηση.

Θέμα 6ο - Λύση (α) Είναι φθινόπωρο και ο καιρός είναι βροχερός. p  q (β) Δεν είναι φθινόπωρο, ο καιρός δεν είναι βροχερός και δε θα πάω picnic.  p   q   r (γ) Εάν δεν είναι φθινόπωρο, τότε θα πάω picnic.  p  r

Θέμα 6ο – Λύση (συνέχεια) (δ) Το ότι είναι φθινόπωρο σημαίνει ότι ο καιρός είναι βροχερός και αντιστρόφως. p  q = (p  q) ∧ (q  p) = (  p ∨ q) ∧ (  q ∨ p) = (  p ∧  q) ∨ (  p ∧ p) ∨ (q ∧  q) ∨ (q ∧ p) = (p ∧ q) ∨ (  p ∧  q)

Θέμα 6ο – Λύση (συνέχεια) (ε) Είτε είναι φθινόπωρο είτε ο καιρός δεν είναι βροχερός, αλλά όχι και τα δύο. (p ∨ q) ∧  (p ∧ q) = (p ∨ q) ∧ (  p ∨  q) = (p ∧  p) ∨ (p ∧  q) ∨ (q ∧  p) ∨ (q ∧  q) = (p ∧  q) ∨ (q ∧  p). Αλλιώς (p ∨ q) ∧ (  p ∨  q) = (  p → q) ∧ (q →  p) =  p  q. Αυτό είναι ισοδύναμο με p   q

Θέμα 6ο – Λύση (συνέχεια) II (α)  q   p Αν ο καιρός δεν είναι βροχερός, τότε δεν είναι φθινόπωρο. Ισοδύναμα: Αν είναι φθινόπωρο, τότε ο καιρός είναι βροχερός. (β)  (  p  q)  (p   q)  (  p  q)  (p   q) = (  (  p)   q)  ( p   q ) = ( p   q )  ( p   q ) = p  q Είναι φθινόπωρο και ο καιρός δεν είναι βροχερός.

Θέμα 7ο •Κατασκευάστε τους πίνακες αλήθειας για τις παρακάτω προτάσεις: (α) p  (  p   q) (β) (  q   p)  (p  q)

Θέμα 7ο - Λύση (α) Ο πίνακας αλήθειας της πρότασης p  (  p   q) είναι

Θέμα 7ο – Λύση (συνέχεια) (β) Ο πίνακας αλήθειας της πρότασης (  q   p)  (p  q) είναι

Θέμα 8ο •Ανάμεσα σε 200 ερευνητές του Ινστιτούτου Πληροφορικής, 64 εξειδικεύονται στη ρομποτική, 40 στα ασύρματα δίκτυα, 90 στη θεωρία υπολογισμού, 30 στη ρομποτική και στη θεωρία υπολογισμού, 14 στη ρομποτική και στα ασύρματα δίκτυα, 20 στα ασύρματα δίκτυα και στη θεωρία υπολογισμού και 60 δεν εξειδικεύονται σε κανένα από τα τρία αντικείμενα. (α) Βρείτε τον αριθμό των ερευνητών που εξειδικεύονται και στα τρία αντικείμενα. (β) Βρείτε τον αριθμό των ερευνητών που εξειδικεύονται ακριβώς σε ένα από τα τρία αντικείμενα.

Θέμα 8ο - Λύση •Έστω Α = ‘ερευνητές ρομποτικής’, Β = ‘ερευνητές ασυρμάτων δικτύων’, C = ‘ερευνητές θεωρίας υπολογισμού’. Μας δίνεται: Σύνολο ερευνητών = 200, |A| = 64, |Β| = 40, C = |90|, |A  C| = 30, |A  Β| = 14, |Β  C| = 20 και  (|Α  Β  C|) = 60.

Θέμα 8ο – Λύση (συνέχεια) •(α) Έχουμε |Α  Β  C| =  (|Α  Β  C|) = 140 και η αρχή του εγκλεισμού μας δίνει: |Α  Β  C| = |Α| + |Β| + |C| - |A  Β| - |A  C| - |B  C| + |A  B  C| = – 30 – 14 – 20 + |A  B  C| = |A  B  C| •Άρα αυτοί που εξειδικεύονται και στα τρία αντικείμενα είναι: |A  B  C| = 140 – 130 = 10

Θέμα 8ο – Λύση (συνέχεια) •(β) Αυτοί που εξειδικεύονται ακριβώς σε δύο από τα τρία αντικείμενα είναι: |A  Β| + |A  C| + |B  C| - 3|A  B  C| = = – 3*10 = 34 •Άρα αυτοί που εξειδικεύονται ακριβώς σε ένα από τα τρία αντικείμενα –είναι όλοι –πλην αυτούς που δεν εξειδικεύονται σε κανένα αντικείμενο, –πλην αυτούς που εξειδικεύονται σε τρία αντικείμενα, –πλην αυτούς που εξειδικεύονται σε δύο ακριβώς αντικείμενα: 200 – 60 – 10 – 34 = 96

Θέμα 9ο •Θεωρήστε την ακόλουθη διαφήμιση για ένα παιχνίδι: (α) Υπάρχουν τρεις προτάσεις σε αυτή τη διαφήμιση. (β) Δύο από αυτές δεν είναι αληθείς. (γ) Η μέση αύξηση των επιδόσεων σε test νοημοσύνης των ανθρώπων που μαθαίνουν αυτό το παιχνίδι είναι μεγαλύτερη από 20 βαθμούς. •Είναι η πρόταση (γ) αληθής;

Θέμα 9ο - Λύση •Η απλοϊκή λύση –Η πρόταση p είναι αληθής. –Αν η πρόταση q είναι αληθής, τότε δύο προτάσεις είναι ψευδείς, άρα η q είναι ψευδής – άτοπο. Άρα η q είναι ψευδής. –Επειδή η πρόταση q είναι ψευδής, τότε υπάρχουν 0 ή 1 ή 3 ψευδείς προτάσεις. •Δεν υπάρχουν 0 ψευδείς, επειδή η q είναι ψευδής. •Δεν υπάρχουν 3 ψευδείς επειδή η p είναι αληθής. •Άρα υπάρχει ακριβώς 1 ψευδής πρόταση η q. –Άρα η r είναι αληθής.

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) •Πρόβλημα με την απλοϊκή λύση –Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την πρόταση r με οποιαδήποτε πρόταση r’ και να επαναλάβουμε τον παραπάνω συνειρμό με τις προτάσεις p, q, r’ και να συμπεράνουμε ότι η r’ είναι αληθής – άτοπο δηλαδή. –Άρα η q δεν μπορεί να είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής.