1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΉ ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ

2 Πρόβλημα:  Δυναμική διατήρηση N διαστημάτων με διαφορετικά ανά δύο σημεία αρχής και τέλους (σύνορα) έτσι ώστε να απαντάμε αποδοτικά ερωτήσεις τομής Επιθυμητή απόδοση:  Ο(n) χώρο  Ο(log B N) ενημέρωση  Ο(log B N+T/B) ερώτηση Διαχείριση Διαστημάτων x Κάποιες εφαρμογές: • Γραφικά • GIS • Constraint DBs

3 Το Στατικό Πρόβλημα Σάρωσε από αριστερά προς δεξιά χρησιμοποιώντας ένα διαχρονικό B-δένδρο  Ένθεσε το διάστημα όταν συναντούμε το αριστερό σημείο  Διέγραψε το διάστημα όταν συναντούμε το δεξί σημείο Για ερώτηση x: αναφέρουμε όλα τα διαστήματα στο B-δένδρο στο χρόνο x  Ο(n) χώρος  Ο(log B N) ερώτηση  Ο(nlog B N) κατασκευή με την τεχνική ενδιάμεσης μνήμης Γίνεται ημι-δυναμικό με Ο(log 2 B N) για ένθεση με την λογαριθμική μέθοδο x

4 Λογαριθμική Μέθοδος: Ιδέα (κύρια Μνήμη) Δοθείσης δομής D σε σύνολο V  O(log N) ερώτηση, O(log N) διαγραφή, O(N log N) κατασκευή Λογαριθμική Μέθοδος:  Διαίρεση του V σε υποσύνολα V 0, …, V log N, |V i | = 2 i ή |V i |=0  Κατασκευή D i σε V i  Διαγραφή: O(log N)  Ερώτηση: Ρωτάμε κάθε D i  O(log 2 N)  Ένθεση: Βρίσκουμε το πρώτο άδειο D i και κατασκευάζουμε D i από στοιχεία στα V 0,V 1, … V i-1  O(2 i log 2 i ) κατασκευή  O(log N) για κάθε μετακινούμενο στοιχείο  Κάθε στοιχείο μετακινείται O(log N) φορές  Ο(log 2 N) επιμερισμένο κόστος 4

 Μειώνουμε το πλήθος των υποσυνόλων V i σε log B N  Πρόβλημα: Αφού δεν υπάρχουν αρκετά στοιχεία στα V 0,V 1, … V i-1 για την κατασκευή του V i  Λύση: Επιτρέπουμε το V i να περιέχει πλήθος  B i  Ένθεση: Βρες D i έτσι ώστε και κατασκεύασε ένα νέο D i από τα στοιχεία των V 0,V 1, … V i  Μετακινούμε στοιχεία  Αν το D i κατασκευάζεται σε O((|V i |/B)log B |V i |) = O(B i-1 log B N) I/Os τότε κάθε μετακινούμενο στοιχείο κοστίζει O(log B N) I/Os  Το κάθε στοιχείο μετακινείται O(log B N) φορές  5 Λογαριθμική Μέθοδος: Ιδέα

6 Αποτελέσματα  Δοθείσης δομής δεδομένων γραμμικού χώρου με:  Ο(log B N+T/B) I/Os για ερώτηση  Ο((N/B)log B N) I/Os για κατασκευή  (Ο(log B N) I/Os για διαγραφή)   Γραμμικού χώρου δυναμική δομή με  I/Os για ερώτηση  I/Os για ένθεση επιμερισμένο  ( I/Os για διαγραφή)  Δυναμική διαχείριση διαστημάτων  I/Os για ερώτηση  I/Os για ένθεση επιμερισμένο x