Κεφάλαιο 9: Περιστροφή Στερεού Σώματος Στερεό είναι το σώμα το οποίο μπορεί να περιστραφεί ως ένα με όλα τα συστατικά που το αποτελούν χωρίς μεταβολή του σχήματoς και μεγέθους του. Έστω στερεό που μπορεί να περιστραφεί γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, ο οποίος περνά από σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος (z). Ορίζουμε έναν άξονα αναφοράς πάνω στο σώμα (σταθερό ως προς το σώμα και κάθετο προς τον άξονα περιστροφής του) Η περιστροφή του σώματος μπορεί τότε να περιγραφεί από την γωνία θ(t) που σχηματίζει ο άξονας αναφοράς με τον άξονα x. Η θ(t) ορίζει επίσης την θέση όλων των σημείων του σώματος εφόσον είναι στερεό. Η γωνία θ μετριέται σε ακτίνια και ορίζεται ως ο λόγος του μήκους του τόξου s προς την ακτίνα του κύκλου r:
t1 t2 Ο άξονας αναφοράς στερεού την t1 σχηματίζει θ1 με τον x. Σε μεταγενέστερη t2 σχηματίζει θ2 με τον x. Η γωνιακή μετατόπιση του στερεού για το Δt = t2-t1 είναι: Δθ = θ2–θ1 Ορίζουμε την μέση γωνιακή ταχύτητα για το διάστημα Δt = t2-t1 ως: με μονάδες στο SI ακτίνια (radians)/s H στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως το όριο της μέσης όταν Δt → 0 ορισμός της πρώτης παράγωγου ως προς t -Η διεύθυνση του ω βρίσκεται στον άξονα περιστροφής -Η φορά του ω ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού Συνήθως ως θετική περιστροφή κατά φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού
ω1 ω2 t1 t2 Γωνιακή Επιτάχυνση Εάν η γωνιακή ταχύτητα στερεού μεταβάλλεται με τον χρόνο ορίζουμε τον ρυθμό μεταβολής της ω ως την γωνιακή επιτάχυνση α Στην εικόνα έχει σχεδιαστεί ο άξονας αναφοράς στερεού σε δύο χρονικές στιγμές, t1 με ω = ω1 και t2 με ω = ω2. Η μέση γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται τότε ως: με μονάδες στο SI radians/s2 H στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως το όριο της μέσης όταν Δt → 0 ορισμός της πρώτης παράγωγου ως προς t -Η διεύθυνση της α βρίσκεται στον άξονα περιστροφής -Η φορά της α ορίζεται κατά την φορά/αντίθετη φοράς της ω ανάλογα με το αν έχουμε επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη περιστροφή, αντίστοιχα
Περιστροφή με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Έστω σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής z και την χρονική στιγμή t = 0 η γωνιακή του ταχύτητα είναι ω0 ενώ σε μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή t η γωνιακή του ταχύτητα είναι ω. Αν η γωνιακή επιτάχυνση α του σώματος είναι σταθερή για το Δt = t – 0 = t, τότε θα ισχύει:
Παράδειγμα 1 (a) (c) (d)
Παράδειγμα 2 (b) (a)
Παράδειγμα 3 (α) (β) Άσκηση για σας:
Σχέσεις μεταξύ Γραμμικών και Περιστροφικών Ποσοτήτων
Μπορεί να δειχθεί από την κυκλική κίνηση ότι η διεύθυνση του ω ορίζεται από την διανυσματική σχέση
Παράδειγμα 4
Παράδειγμα 5
Παράδειγμα 6
O ri mi Κινητική Ενέργεια Περιστροφής Θεωρήστε το στερεό σώμα της εικόνας το οποίο διαχωρίζεται σε στοιχειώδεις μάζες m1, m2, m3….mι ….. Η κινητική ενέργεια περιστροφής ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των στοιχειωδών μαζών Ο όρος ονομάζεται περιστροφική αδράνεια ή ροπή αδράνειας γύρω από έναν άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας είναι το περιστροφικό ανάλογο της μάζας και εκφράζει την δυσκολία περιστροφής του στερεού H τιμή του Ι εξαρτάται από την μάζα του στερεού, το σχήμα του και την θέση του άξονα περιστροφής σε αυτό
Η σχέση δίνει την κινητική ενέργεια στερεού σώματος, εκφρασμένη σε περιεκτική μορφή συναρτήσει του μεγέθους που ονομάσαμε ροπή αδράνειας Όπως φαίνεται από τον σχέση όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας τόσο μεγαλύτερη η κινητική ενέργεια του στερεού σώματος. Αλλά η Εκιν είναι ίση με έργο που απαιτείται για να επιταχυνθεί το σώμα από την ηρεμία: ΔΚ = Κf – Ki = K – 0 = Wολ Επομένως όσο μεγαλύτερη η Ι τόσο δυσκολότερο είναι να ξεκινήσει το σώμα τη περιστροφική του κίνηση και τόσο δυσκολότερο θα ήταν να σταματήσει την περιστροφική του κίνηση. Γι αυτό το Ι ονομάζεται και περιστροφική αδράνεια.
Παράδειγμα 7 (α) (β) (γ)
Οι ροπές αδράνειας κάποιων στερεών
Παράδειγμα 8
Ένα σώμα δεν έχει μία ροπή αδράνειας αλλά άπειρο αριθμό ροπών αδρανείας καθώς υπάρχει άπειρος αριθμός αξόνων γύρω από τους οποίους μπορεί να περιστραφεί . Ωστόσο υπάρχει μια απλή σχέση μεταξύ της ροπής αδράνειας σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και της ροπής αδράνειας ως προς οποιονδήποτε άξονα παράλληλο προς αυτόν:
Παράδειγμα 9