loizos@enallax.com Κωνικές τομές www.enallax.com/exams/ckat/konikes/conics.ppt Κωνικές τομές loizos@enallax.com

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΘΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ 2

Το επίπεδο είναι // με δυο γενέτειρες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΘΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ Α) Κύκλος Το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα Γ) Έλλειψη Το επίπεδο δεν είναι Παράλληλο με καμία γενέτειρα . Β) Παραβολή Το επίπεδο είναι // με μια γενέτειρα. Δ) Υπερβολή Το επίπεδο είναι // με δυο γενέτειρες 3

Παραβολή Ο Γ.Τ. του σημείου του επιπέδου το οποίο κινείται έτσι ώστε οι αποστάσεις του από σταθερό σημείο Ε και από σταθερή ευθεία (δ) να είναι ίσες. Το σημείο Ε λέγεται εστία της παραβολής Η σταθερή ευθεία (δ) λέγεται διευθετούσα.

ΠΑΡΑΒΟΛΗ y2=4αx Εστία το σημείο Ε(α,0) Διευθετούσα η ευθεία χ+α=0 Διευθετούσα η ευθεία χ+α=0  Κορυφή το σημείο (0,0)  Άξονας της παραβολής είναι ο άξονας χ΄χ  Χορδή είναι το τμήμα που συνδέει 2 σημεία της παραβολής Latus rectum Η χορδή ΓΔ που είναι κάθετη στον άξονα και περνά από την εστία

Παραβολή στη ζωή μας

Εξίσωση παραβολής με κορυφή (0,0) Εστία Διευθετούσα Μορφή x2=4αy (0,α) Y+α=0 y2=4αx (α,0) Χ+α=0

Για να βρούμε την εστία της παραβολής : 4α είναι ο συντελεστής του χ ή y. Παράδειγμα: x2=24y 4α=24 α=6 Ε(0,6) (Η εστία είναι στον κάθετο άξονα)

Παραδείγματα Παραβολής Παράδειγμα 1 y = 4x2 x2= (1/4)y 4α = 1/4 α = 1/16 Εστία Ε(0, 1/16) Διευθετούσα Y = - 1/16

Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα Παράδειγμα 2 Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα x = -3y2 y2= (-1/3)x 4α = -1/3 α = -1/12 εστία (-1/12, 0) Διευθετούσα x = 1/12

Εξίσωση παραβολής Εξίσωση: y2 =4αx α = -4 y2 = 4(-4)x y2 = -16x Παραδ.1 Εστία Ε (-4,0) Εξίσωση: y2 =4αx α = -4 y2 = 4(-4)x y2 = -16x

Εξίσωση παραβολής Παρ. 2 Να βρείτε την εξ. παραβολής με διευθετούσα y = 6 Εξίσωση : x2 =4αy α = -6 x2 = 4(-6)y x2 = -24y

Εξίσωση παραβολής y2 = 4x Παραδ.3

Εξίσωση παραβολής Παραδ 4 Να βρείτε την εξίσωση παραβολής με εστία Ε (0,3) x2 = 12y Αρχή

Παραμετρικές εξισώσεις παραβολής

Θέση ευθείας ως προς παραβολή H ευθεία δεν έχει κανένα κοινό σημείο Δ<0 H ευθεία εφάπτεται της παραβολής Δ=0 H ευθεία τέμνει την παραβολή Δ>0 Η ευθεία τέμνει την παραβολή σε ένα σημείο. H ευθεία είναι // με άξονα συμμετρίας

Η θέση του σημείου Α(x1,y1) ως προς την παραβολή y2=4αx

Κύκλος Ο Γ.Τ του σημείου Τ(χ,y) του επιπέδου το οποίο κινείται έτσι ώστε να απέχει σταθερή απόσταση R από ένα σταθερό σημείο Κ.

Εξίσωση κύκλου με κέντρο (0,0) και ακτίνα R

Εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα R

Εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(-g, -f)

Κύκλος Παράδειγμα 1 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο (0,0) και περνά από το σημείο (4,5) .

Υπολογίζουμε την ακτίνα με το τύπο :

Παράδειγμα.2 Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας y=2x+2 και του κύκλου με εξ. X2+y2=25

Και μετά ?

Παραδ. 2 Για να βρω τις τετμημένες: Παραδ. 2 Για να βρω τις τετμημένες: Αντικαθιστώ το x.

Παράδειγμα 2

Θέση ευθείας κύκλου H ευθεία τέμνει τον Κύκλο Δ>0 d<R

Μήκος εφαπτόμενου τμήματος

Θέση σημείου Τ(x1 ,y1)ως προς κύκλο

Ριζικός άξονας Εξίσωση ριζικού αξονα Ριζικός άξονας δυο κύκλων είναι ο γ.τ (γεωμετρικός τόπος) των σημείων των όποιων οι δυνάμεις (ως προς τους κύκλους ) είναι ίσες . Εξίσωση ριζικού αξονα

Παραμετρικές Εξισώσεις κύκλου Παραμετρικές Εξισώσεις κύκλου

Εξίσωση εφαπτομένης

Εφαπτόμενες κύκλου από σημείο εκτός αυτού Αρχή

Παραδείγματα Έλλειψης

Ορισμός Έλλειψη είναι ο Γ.Τ τόπος του σημείου του επιπέδου που κινείται έτσι ώστε οι αποστάσεις του από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε’ του επιπέδου να έχουν σταθερό άθροισμα Τα σημεία Ε, Ε’ είναι οι εστίες της έλλειψης

Οι εστίες είναι στο οριζόντιο άξονα α>β Έλλειψη Οι εστίες είναι στο οριζόντιο άξονα α>β

ελλειψης Εξίσωση Εστίες Ε’(-γ,0) & Ε(γ,0) Κορυφές (0,β)& (0,-β) Κέντρο (0,0) Κορυφές (-a,0) & (a,0)

Οι εστίες είναι στον κάθετο άξονα β>α Έλλειψη Οι εστίες είναι στον κάθετο άξονα β>α

ελλειψης Εξίσωση Εστίες (0,-γ) & (0,γ) κορυφές (α, 0)& (-α,0) κορυφές (0,-β) & (0, β) Κέντρο (0,0)

Έλλειψη Η εστιακή απόσταση είναι : (ΕΕ’)= 2γ Για να βρούμε τις εστίες : γ2 = a2 - β2 με α > β ή γ2 = β2 - α2 με β>a Εκκεντρότητα Διευθετούσες

Παραμετρικές εξ.της έλλειψης

Παραδείγματα

Na βρείτε την εξίσωση και τις εστίες της έλλειψης με κορυφές (5,0) ,(5,0) ,(0,-3) ,(0,3).

Να βρείτε τις κορυφές και τις εστίες της έλλειψης: Να βρείτε τις κορυφές και τις εστίες της έλλειψης:

Να βρείτε την εξίσωση των εφαπτόμενων της έλλειψης που άγονται από το σημείο Α(3,3) . Προσοχή!!! Από το σημείο Α(3,3) άγεται και η x = 3 ( η τιμή του λ δεν ορίζεται)

Δίδεται η έλλειψη και τυχαίο σημείο της Ρ Δίδεται η έλλειψη και τυχαίο σημείο της Ρ. Η ΚΡ είναι κάθετη στο άξονα οy και ΡΤ = ΚΡ. Αν Λ είναι το σημείο τομής της ΟΡ και ΑΤ να βρείτε τον Γ Τ του σημείου Λ.

Υπερβολή

Υπερβολή

Yπερβολή Ορισμός : Υπερβολή είναι ο Γ.Τ. των σημείων του επιπέδου που κινείται έτσι ώστε η απόλυτη τιμή της διαφοράς από δυο σταθερά σημεία Ε, και Ε’ να είναι σταθερή . Τα σημεία Ε,Ε’ είναι οι εστίες της υπερβολής

Ισοσκελής υπερβολή xy=c2

Παράδειγμα Η ισοσκελής υπερβολή xy= 4 έχει: Γραφική παράσταση

Ισοσκελής υπερβολή xy=c2 Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο

Ασκηση Τα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κλάδο της υπερβολής . Αν η ευθεία ΤΡ τέμνει τους άξονες στα σημεία Μ,Ν, να αποδείξετε ότι ΜΡ = ΤΝ

Γεωμετρικοί τόποι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΟΠΩΝ ΑΠΌ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ www.enallax.com