Από το Νεύτωνα στον Weierstrass Η καθιέρωση του απειροστικού λογισμού Παρουσίαση Τεύκρος Μιχαηλίδης Newton – Leibniz – Gauss – Weierstrass Bolzano – Euler - Halley Descartes - Berkley – Jacob Bernoulli – Cauchy Fermat – Pascal – D’ Alembert Johann Bernoulli

Newton, Isaac (1642-1727) Nature and Nature’s laws lay hid in night; Πίνακας του Blake Nature and Nature’s laws lay hid in night; God said, Let Newton be! And all was Light. Alexander Pope: Epitaphs (1930)

To μαθηματικό έργο του Νεύτωνα Μέθοδος των ροών (fluxions) Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης (ο υπολογισμός του εμβαδού του χωρίου που περικλείεται από μια καμπύλη) είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης (του υπολογισμού της κλίσης μιας καμπύλης σε κάθε σημείο της) Ενοποίηση διάσπαρτων τεχνικών για προσδιορισμό μεγίστων – ελαχίστων υπολογισμό μηκών καμπυλών προσδιορισμό εφαπτόμενων υπολογισμό εμβαδών προσέγγιση ριζών εξισώσεων άθροιση απείρων σειρών τύπος του δυωνύμου με μη ακέραιο εκθέτη

Μαθητής του Barrow τον οποίο διαδέχθηκε στο Καίμπριτζ Από τον Wallis τη μέθοδο της παρεμβολής Αριθμός: πηλίκο οποιονδήποτε ποσοτήτων (Wallis) και όχι συλλογή μονάδων (Barrow) Έμπνευση από τις άπειρες σειρές (Gregory – Wallis)

Δημοσιεύσεις De analysi per aequationes numero terminorum infinitas Χειρόγραφο 1669 Έντυπο 1711 Μethodus fluxionum et serierum infinitorum. Xειρ. 1671, έντυπο 1736 Ανάπτυγμα του ημιτόνου, συνημιτόνου και εκθετικής σε σειρά. Tractatus de Quadratura Curvarum 1693

Μέθοδος των ροών (fluxions) Κίνηση σωματιδίου στο επίπεδο: Ανεξάρτητη κίνηση κατά μήκος δυο κάθετων γραμμών. Η οριζόντια και η κατακόρυφη ροή και αντίστοιχα συνδέονται με τη ροή του χρόνου. Αντίστοιχα τα x και y είναι οι ρέουσες ποσότητες (fluents ή flowing quantities) Εύρεση του y αν είναι γνωστή η σχέση μεταξύ του x και του Πρώτη σαφής διατύπωση του θεμελιώδους θεωρήματος. Εφαρμογή της μεθόδου στον καθορισμό της καμπυλότητας μιας καμπύλης.

1693: Tractatus de Quadratura Curvarum Χρήση της έννοιας του ορίου: Όταν το x γίνει με τη ροή του χρόνου x+o το xn γίνεται (x+o)n και με τη μέθοδο των άπειρων σειρών xn + noxn-1 + (nn-n)/2 ooxn-2 + . . Στη συνέχεια το ο μηδενίζεται «οριακά»

Από την εισαγωγή στα Principia (1687) …Οι ποσότητες και οι λόγοι των ποσοτήτων, που σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα συγκλίνουν συνεχώς προς την ισότητα και που πριν το τέλος του καθορισμένου χρόνου πλησιάζουν μεταξύ τους περισσότερο από οποιαδήποτε δεδομένη απόσταση, γίνονται τελικά ίσες…

Godefried Wilhem Leibniz (1646 – 1716) Μαθητής του Huyghens Ταξιδεύει στην Αγγλία και ενημερώνεται για το έργο των Barrow – Wallis κλπ 1684: Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractals nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus στο Acta Eruditorum της Λειψίας.

Ο διαφορικός λογισμός κατά Leibniz Οι μεταβλητές x και y διατρέχουν ακολουθίες τιμών που είναι «απείρως κοντινές» dx, dy είναι οι διαφορές μεταξύ δυο διαδοχικών τιμών αυτών των ακολουθιών Συνέπεια: H κλίση της εφαπτομένης είναι dy/dx Εισαγωγή των συμβόλων d και  Calculus summatorius:

Διαφορικός Συντελεστής y=x2 dy=d(x2)=(x+dx)2-x2=2xdx+(dx)2 2x=διαφορικός συντελεστής Συνάρτηση Methodus tangentium inversa, seu de functionibus (η αντίστροφη μέθοδος των εφαπτόμενων ή περί συναρτήσεων): Υπολογισμός του y όταν είναι γνωστές οι ιδιότητες της εφαπτομένης στην καμπύλη y

Σύγκριση των δυο μεθόδων Newton Οι μεταβλητές μεταβάλλονται με το χρόνο. Οι ροές x’,y’ είναι πεπερασμένες ταχύτητες Η ολοκλήρωση είναι ο προσδιορισμός των ρεουσών Leibniz Οι μεταβλητές x και y. διατρέχουν ακολουθίες τιμών που είναι «απείρως κοντινές». Tα dx, dy είναι «απειροστά». Η ολοκλήρωση είναι άθροιση

H διαμάχη για την πατρότητα 1664-1666: Χρόνια απομόνωσης στο Woolsthorpe: Ο Newton αναπτύσσει τη μέθοδο των ροών. Χειρόγραφες σημειώσεις από το 1666. 1713: Ο Newton κατηγορείται για «κλοπή». Μέσω του Henry Oldenberg o Leibniz ενημερώνεται για τις ιδέες του Newton. 1682–1684: Δημοσίευση του Leibniz στο Acta Eruditorum 1710: Ο Leibniz κατηγορείται για «κλοπή» Η διαμάχη για την πατρότητα είναι μάλλον μια ακόμη εκδοχή της αντιπαλότητας μεταξύ Αγγλίας και ηπειρωτικής Ευρλωπης

Oι Bernoulli

Jakob (1654-1705) και Johann (1667–1748) Bernoulli Δημοσίευση και λύση μιας σειράς προβλημάτων που αναδεικνύουν την ισχύ του απειροστικού λογισμού.

Βραχυστόχρονη και Ταυτόχρονη Κυκλοειδής Θεωρούμε κύκλο και ένα σημείο του Α. Ο γεωμετρικός τόπος του Α όταν ο κύκλος κυλά πάνω σε μια ευθεία. Παραμετρικές Εξισώσεις: x = at - h sin(t), y = a - h cos(t) Ισόχρονη: Η σφαίρα κάνει αρμονική ταλάντωση με περίοδο ανεξάρτητη του σημείου εκκινήσεως. ;;; Ο χρόνος καθόδου είναι ανεξάρτητος του σημείου εκκινήσεως;;; Βραχυστόχρονη: Πραγματοποιεί την κάθοδο σε ελάχιστο χρόνο.

Άλυσος (Catenary) Ποια καμπύλη δημιουργεί μια αλυσίδα που αναρτάται από τα δυο της άκρα; Λανθασμένη λύση του Γαλιλαίου: Παραβολή Με χρήση του απειροστικού λογισμού λύση από Johann, Leibniz, Huyghens κλπ. y = a cosh(x/a) The catenary is the shape of a perfectly flexible chain suspended by its ends and acted on by gravity. Its equation was obtained by Leibniz, Huygens and Johann Bernoulli in 1691. They were responding to a challenge put out by Jacob Bernoulli to find the equation of the 'chain-curve'. Huygens was the first to use the term catenary in a letter to Leibniz in 1690 and David Gregory wrote a treatise on the catenary in 1690. Jungius (1669) disproved Galileo's claim that the curve of a chain hanging under gravity would be a parabola. The catenary is the locus of the focus of a parabola rolling along a straight line. The catenary is the evolute of the tractrix. It is the locus of the mid-point of the vertical line segment between the curves ex and e-x. Euler showed in 1744 that a catenary revolved about its asymptote generates the only minimal surface of revolution.

Mαρκήσιος Guillaume de L'Hospital (1661-1704) 1696: Ανάλυση των απειροστών ποσοτήτων για την κατανόηση των καμπυλών. Το πρώτο ολοκληρωμένο σύγγραμμα για τον απειροστικό λογισμό - σε μεγάλο βαθμό έργο του Johann Bernoulli και στη γραμμή του Leibniz με εξαίρεση τη μέθοδο υπολογισμού της ακτίνας καμπυλότητας.

George Berkeley (1685- 1753) The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. London, Tonson, 1734 Η πρώτη έκδοση των αντιρρήσεων του Berkeley σχετικά με το λογικό υπόβαθρο του απειροστικού λογισμού όπως τον θεμελίωσε ο Νεύτων .

Αντιρρρήσεις του Berkley για τη μέθοδο των ροών Απειροστά: Τα φαντάσματα νεκρών ποσοτήτων Ο απειροστικός λογισμός δίνει σωστά αποτελέσματα λόγω αλληλοκαλυπτόμενων λαθών Πως είναι δυνατόν να ορίζεται ο λόγος ποσοτήτων που μηδενίζονται; Οι «ροές» ανωτέρας τάξεως στερούνται νοήματος (ταχύτητα της ταχύτητας της ταχύτητας;). Η αντίδραση του Berkley ενάντια στον Halley οφείλεται και στις τάσεις αθεϊσμού του δεύτερου. Edmund Halley (1656-1742) Ο «άπιστος» μαθηματικός

Αγωνία για την ορθή θεμελίωση 1784: Η Ακαδημία των επιστημών του Βερολίνου θεσπίζει βραβείο για την εργασία που θα παρουσιάζει επιτυχώς τη θεωρία των απείρων και των απειροστών και που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη θεμελίωση του απειροστικού λογισμού σε στέρεες βάσεις Βραβεύεται ο Simon L’ Huilier για μια εργασία που δε λύνει κανένα από τα ουσιαστικά προβλήματα.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Mecanique analytique (1788): Πλήρης θεμελίωση της μηχανικής με βάσει το νέο απειροστικό λογισμό Κατά παράγοντες ολοκλήρωση Συμβολισμός f ΄ Θεώρημα Μέσης Τιμής Αποτυχημένη απόπειρα αποφυγής των ορίων

Leonhard Euler (1707-1783) 1748: Τα εργαλεία της ανάλυσης οφείλουν να εφαρμόζονται στις συναρτήσεις – όχι στις καμπύλες. Διερεύνιση μεγίστων – ελαχίστων χωρίς τη χρήση γραφικών παραστάσεων Διαφορικές εξισώσεις. Ανορθόδοξες αθροίσεις σειρών

1734: O Euler αποδεικνύει ότι Ακόμα υπολογίζει το για όλες τις άρτιες τιμές του p Ο υπολογισμός του για p περιττό αλλά και ο χαρακτήρας του (άρρητος; υπερβατικός;) είναι ακόμα και σήμερα ανοικτά προβλήματα. 1979, R. Apery: To είναι άρρητος

Jean le Rond D’ Alembert 1717 - 1783 Ένα μέγεθος ονομάζεται όριο ενός άλλου όταν το δεύτερο μπορεί να προσεγγίζει το πρώτο σε απόσταση οσοδήποτε μικρή, … έτσι ώστε η διαφορά μιας τέτοιας ποσότητας από το όριό της να είναι αμελητέα. Encyclopedie 1765

Jean le Rond D’ Alembert 1717 - 1783 Προχωρήστε! Η πίστη θα έρθει μόνη της!

Αυστηρή θεμελίωση του απειροστικού λογισμού …Θεώρησα απαραίτητο να αποδείξω την ύπαρξη ολοκληρωμάτων ή αρχικών συναρτήσεων (fοnctions primitives) πριν διατυπώσω τις ιδιότητές τους. Γι’ αυτό το σκοπό αποδείχθηκε απαραίτητο να θεμελιθεί εκ των προτέρων η έννοια του ολοκληρώματος μεταξύ ορίων ή ορισμένου ολοκληρώματος. Augustin Louis Cauchy

Ορισμός της παραγώγου Οικοδόμηση του απειροστικού λογισμού με βάση την έννοια του ορίου Όρος: παράγωγος συνάρτηση Ορισμός: Αυστηρή απόδειξη κανόνων παραγώγισης Το Θ.Μ.Τ. βρίσκεται στη βάση της απόδειξης των βασικών θεωρημάτων της Ανάλυσης Louis Cauchy (1789-1857)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Αυστηρός ορισμός και μελέτη της σύγκλισης ακολουθιών και σειρών χωρίς τη χρήση του ορίου

Bernhard Riemann, (1826-1866) Γενίκευση της έννοιας του ολοκληρώματος και προσδιορισμός των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων

Weierstrass, Karl (1815--1897) Πλήρης «αριθμητικοποίηση» της ανάλυσης Αυστηρός εψιλοντικός ορισμός του ορίου με απόλυτες τιμές και ανισότητες. Ο ορισμός που χρησιμοποιούμε σήμερα.

Συνέχεια Cauchy: Μια απείρως μικρή αύξηση στη μεταβλητή προκαλεί μια μια απείρως μικρή αύξηση στη συνάρτηση. Weierstrass: Απείρως μικρές μεταβολές στις μεταβλητές αντιστοιχούν σε ανάλογες μεταβολές στη συνάρτηση.

Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών 1791: Louis Francois Arbogast (1759 – 1803): Ο νόμος της συνέχειας συνίσταται στο ότι μια ποσότητα δεν μπορεί να περάσει από τη μία κάτάσταση στην άλλη χωρίς να διασχίσει όλες τις ενδιάμεσες καταστάσεις 1817: Bernhard Bolzano (1781–1848): Μαθηματικός ορισμός της συνέχειας. Αυστηρή διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος των ενδιαμέσων τιμών.

1822: Πρώτη αναφορά σε ασυνεχείς συναρτήσεις Joseph Fourier (1768 -1830) Theorie Analytique de la Chaleur

Μαθηματικά Τέρατα Μαθηματικά Τέρατα

Η συνάρτηση του Weierstrass Παντού συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη σε άπειρα σημεία

Χιονονιφάδα του von Koch Παντού συνεχής Πουθενά παραγωγίσιμη Πεπερασμένο εμβαδόν Άπειρο μήκος (γεωμετρική πρόοδος με λόγο 4/3) Helge von Koch 1870-1924

Καμπύλες που γεμίζουν το επίπεδο Καμπύλη του Hilbert Καμπύλη του Peano Giuseppe Peano 1858 - 1932

Τρίγωνο Sierpinski - Καμπύλη Sierpinski Waclaw Sierpinski 1882-1969 Τρίγωνο Sierpinski - Καμπύλη Sierpinski