Προβλέψεις με τη χρήση προτύπων γραμμικής παλινδρόμησης και συσχέτισης Forecasting Using the Simple Linear Regression Model and Correlation

Τι είναι πρόβλεψη (forecast); Χρησιμοποιώντας μια στατιστική μέθοδο σε δεδομένα που συλλέξαμε κατά το παρελθόν με σκοπό να κάνουμε προβλέψεις στο μέλλον. Χρησιμοποιώντας την εμπειρία μας, την κρίση μας και τις απογραφές με σκοπό να κάνουμε προβλέψεις στο μέλλον.

What is a forecast? Using a statistical method on past data to predict the future. Using experience, judgment and surveys to predict the future.

Γιατί να κάνουμε προβλέψεις; Για βελτίωση του σχεδιασμού (planning). Για την επιβολή-εξαναγκασμό σκέψης σχετικά με το μέλλον. Για την προσαρμογή της επιχειρησιακής στρατηγικής στις μελλοντικές συνθήκες. Για το συντονισμό των τμημάτων σε ένα κοινό μέλλον. Για τη μείωση του επιχειρησιακού κόστους.

Why forecast? to enhance planning. to force thinking about the future. to fit corporate strategy to future conditions. to coordinate departments to the same future. to reduce corporate costs.

Τύποι προβλέψεων Αιτιολογικές προβλέψεις, όταν αλλαγές στην μεταβλητή (Υ) της οποίας την πρόβλεψη επιδιώκουμε προκαλούνται από9 αλλαγές σε άλλες μεταβλητές (X's). Προβλέψεις χρονολογικών σειρών, όταν οι προς πρόβλεψη αλλαγές στην μεταβλητή (Υ) βασίζονται σε προηγούμενες (παρελθοντικές) τιμές της ίδιας μεταβλητής (Υ). Η παλινδρόμηση μπορεί να μας παρέχει και τους δυο τύπους προβλέψεων.

Kinds of Forecasts Causal forecasts are when changes in a variable (Y) you wish to predict are caused by changes in other variables (X's). Time series forecasts are when changes in a variable (Y) are predicted based on prior values of itself (Y). Regression can provide both kinds of forecasts.

Τύποι σχέσεων μεταβλητών Θετική γραμμική συσχέτιση Αρνητική γραμμική συσχέτιση

Types of Relationships Positive Linear Relationship Negative Linear Relationship

Τύποι σχέσεων μεταβλητών (συνέχεια) Μη γραμμική συσχέτιση Καμιά συσχέτιση

Types of Relationships (continued) Relationship NOT Linear No Relationship

Συσχετίσεις Αν η συσχέτιση δεν είναι γραμμική, τότε αυτός που καταρτίζει το πρότυπο πρόβλεψης συχνά πρέπει να χρησιμοποιήσει μαθηματικούς μετασχηματισμούς ώστε να καταστήσει τη συσχέτιση γραμμική.

Relationships If the relationship is not linear, the forecaster often has to use math transformations to make the relationship linear.

Ανάλυση συσχέτισης Η συσχέτιση μετρά τη δύναμη (σθένος) της γραμμικής σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των καλύτερων μεταβλητών πρόβλεψης. Δεν εξασφαλίζει ότι υπάρχει αιτιολογική (causal) σχέση μεταξύ των μεταβλητών.

Correlation Analysis Correlation measures the strength of the linear relationship between variables. It can be used to find the best predictor variables. It does not assure that there is a causal relationship between the variables.

Ο συντελεστής συσχέτισης Κυμαίνεται μεταξύ -1 και 1. Όσο περισσότερο τείνει στο -1, τόσο δυνατότερη γίνεται η αρνητική γραμμική σχέση. Όσο περισσότερο τείνει στο 1, τόσο δυνατότερη γίνεται η θετική γραμμική σχέση. Όσο περισσότερο τείνει στο 0, τόσο ασθενέστερη γίνεται η γραμμική σχέση.

The Correlation Coefficient Ranges between -1 and 1. The Closer to -1, The Stronger Is The Negative Linear Relationship. The Closer to 1, The Stronger Is The Positive Linear Relationship. The Closer to 0, The Weaker Is Any Linear Relationship.

Γραφικές παραστάσεις από διάφορες τιμές (r). Y Y Y X X X r = -1 r = -.6 r = 0 Y Y X X r = .6 r = 1

Graphs of Various Correlation (r) Values Y Y Y X X X r = -1 r = -.6 r = 0 Y Y X X r = .6 r = 1

Το διάγραμμα διασποράς Σχεδιασμός των ζευγών (Xi , Yi)

The Scatter Diagram Plot of all (Xi , Yi) pairs

Το διάγραμμα διασποράς Χρησιμοποιείται για την οπτικο-ποίηση της σχέσης και την εκτίμηση της γραμμικότητάς της. Το διάγραμμα διασποράς μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό ακραίων τιμών.

The Scatter Diagram Is used to visualize the relationship and to assess its linearity. The scatter diagram can also be used to identify outliers.

Ανάλυση παλινδρόμησης Η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποιείται για την προτυποποίηση της νομοτέλειας (αιτιώδης σχέση) των μεταβλητών και την παραγωγή προβλέψεων. Ορολογία: Η προς πρόβλεψη μεταβλητή λέγεται εξαρτημένη ή μεταβλητή απόκρισης (response variable). Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στο πρότυπο πρόβλεψης λέγονται ανεξάρτητες, ερμηνευτικές (explanatory) μεταβλητές.

Regression Analysis Regression Analysis can be used to model causality and make predictions. Terminology: The variable to be predicted is called the dependent or response variable. The variables used in the prediction model are called independent, explanatory or predictor variables.

Πρότυπο απλής γραμμικής παλινδρόμησης Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών περιγράφεται με μια γραμμική συνάρτηση. Η αλλαγή μιας μεταβλητής προκαλεί αλλαγή στην άλλη μεταβλητή.

Simple Linear Regression Model The relationship between variables is described by a linear function. A change of one variable causes the other variable to change.

Παραδοχές της γραμμικής συσχέτισης 1. Η X συνδέεται γραμμικά με την Y. 2. Τα σφάλματα των υπολοίπων κατανέμονται κανονικά (ακολουθούν την κανονική κατανομή). 3. Η διακύμανση είναι σταθερή για κάθε τιμή της Y Ομοσκεδαστικότητα (Homoscedasticity). 4. Αν πρόκειται για χρονικά δεδομένα (χρονικές σειρές), τότε τα σφάλματα πρέπει να είναι ανεξάρτητα.

Linear Regression assumptions 1. The X var relates linearly with the Y var. 2. Residual errors are normally distributed (follow the normal distribution). 3. The variance is constant for every value of Y Homoscedasticity. 4. If time series are concerned then errors should be independent.

Γραμμική παλινδρόμηση πληθυσμού Η γραμμή παλινδρόμησης πληθυσμού είναι μια ευθεία γραμμή η οποία περιγράφει την εξάρτηση της μιας μεταβλητής από την άλλη Συντελεστής κλίσης πληθυσμού Τυχαίο σφάλμα Σταθερός όρος πληθυσμούY Εξαρτημένη μεταβλητή Ανεξάρτητη μεταβλητή γραμμή παλινδρόμησης πληθυσμού

Population Linear Regression Population Regression Line Is A Straight Line that Describes The Dependence of One Variable on The Other Population Slope Coefficient Random Error Population Y intercept Dependent (Response) Variable Population Regression Line Independent (Explanatory) Variable

Πως βρίσκεται η πιο “καλή” γραμμή; Y Παρατηρούμενη τιμή = Τυχαίο σφάλμα X Παρατηρούμενη τιμή

How is the best line found? Y Observed Value = Random Error X Observed Value

Γραμμική παλινδρόμηση δείγματος Η γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος παρέχει μια εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης του πληθυσμού Συντελεστής κλίσης δείγματος Σταθερός όρος Y δείγματος Υπόλοιπα (σφάλμα) Γραμμή παλινδρόμησης δείγματος Παρέχει μια εκτίμηση του Y Παρέχει μια εκτίμηση του

Sample Linear Regression Sample Regression Line Provides an Estimate of The Population Regression Line Sample Slope Coefficient Sample Y Intercept Residual Sample Regression Line provides an estimate of provides an estimate of