Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα Θεματική Ενότητα Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα

Βασικές Έννοιες & Ορισμοί

Εισαγωγή Προβλήματα της πραγματικής ζωής μπορούν να αναπαρασταθούν ως προβλήματα συνόλων διακριτών αντικειμένων και διμελών σχέσεων πάνω σε αυτά

Παράδειγμα Θεωρήστε μία σειρά από δημοσκοπήσεις που γίνονται για να καθοριστεί η δημοτικότητα των υποψηφίων προέδρων Σε κάθε δημοσκόπηση συγκεντρώνονται οι γνώμες των ψηφοφόρων για δύο από τους υποψηφίους και καθορίζεται ο πιο δημοφιλής

Παράδειγμα (συνέχεια) Ο υποψήφιος α προηγείται του υποψηφίου c σε μία δημοσκόπηση και ο υποψήφιος c προηγείται του υποψηφίου d και ο υποψήφιος d προηγείται του υποψηφίου b σε τρεις διαφορετικές δημοσκοπήσεις κ.ο.κ. Δεδομένων δύο υποψηφίων θέλουμε να γνωρίζουμε αν ο ένας από αυτούς προηγείται του άλλου

Παράδειγμα (συνέχεια) Ο υποψήφιος α θεωρείται ότι προηγείται του υποψηφίου b αν μία από τις ακόλουθες συνθήκες είναι αληθής Ο υποψήφιος α προηγείται του υποψηφίου b σε μία δημοσκόπηση που έγινε μεταξύ τους Ο υποψήφιος α προηγείται του υποψηφίου c σε μία δημοσκόπηση και ο υποψήφιος c προηγείται του υποψηφίου b σε μία άλλη δημοσκόπηση

Παράδειγμα (συνέχεια) Έστω S = {a, b, c,…} το σύνολο των υποψηφίων Έστω R μία διμελής σχέση επί του S τέτοια ώστε το (α,b) είναι στην R αν Έγινε μία δημοσκόπηση μεταξύ των a και b και ο α επιλέχθηκε ως πιο δημοφιλής

Παράδειγμα (συνέχεια) Αναπαράσταση της διμελής σχέσης των αποτελεσμάτων των δημοσκοπήσεων που έγιναν Μορφή πίνακα Γραφική μορφή

Παράδειγμα (συνέχεια) Παρατηρούμε από τα διατεταγμένα ζεύγη (a,b), (b,d), (d,e) στην R, ότι ο υποψήφιος α είναι πιο δημοφιλής από τον υποψήφιο e Για την γραφική αναπαράσταση της R θα πρέπει να υπάρχει «μία ακολουθία από βέλη» που να οδηγεί από το σημείο που αντιστοιχεί στον περισσότερο δημοφιλή υποψήφιο σε αυτό που αντιστοιχεί στον λιγότερο δημοφιλή

Ορισμός Ένα κατευθυνόμενο γράφημα ορίζεται αφηρημένα ως ένα διατεταγμένο ζεύγος (V, E), όπου το V είναι ένα σύνολο και το Ε μία διμελής σχέση επί του V

Κατευθυνόμενο Γράφημα Γεωμετρική αναπαράσταση Ένα σύνολο V από σημεία Ένα σύνολο Ε από βέλη μεταξύ ζευγών Τα στοιχεία στο V ονομάζονται κορυφές Τα διατεταγμένα ζεύγη του Ε ονομάζονται ακμές του κατευθυνόμενου γραφήματος

Κατευθυνόμενο Γράφημα (συνέχεια) Μία ακμή λέγεται προσπίπτουσα των κορυφών που ενώνει Η ακμή (α,b) είναι προσπίπτουσα των κορυφών a και b Η κορυφή α ονομάζεται αρχική κορυφή της ακμής (α,b) Η κορυφή b ονομάζεται τερματική κορυφή της ακμής (α,b) Βρόχος ονομάζεται μία ακμή η οποία ξεκινά και τερματίζει στην ίδια κορυφή (π.χ. (c,c) )

Κατευθυνόμενο Γράφημα (συνέχεια) Όταν δύο κορυφές, α και b, συνδέονται με μία ακμή (α, b) Η κορυφή α ονομάζεται γειτονική της b Η κορυφή b ονομάζεται γειτονική της α Μία κορυφή ονομάζεται απομονωμένη αν δεν υπάρχει ακμή προσπίπτουσα σε αυτήν

Ορισμός Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα G ορίζεται αφηρημένα ως ένα διατεταγμένο ζεύγος (V, E), όπου το V είναι ένα σύνολο και το Ε ένα σύνολο από πολυσύνολα δύο στοιχείων του V

Μη Κατευθυνόμενο Γράφημα G = ({a,b,c,d}, {{a,b},{a,d},{b,c},{b,d},{c,c}}) Γεωμετρική αναπαράσταση Ένα σύνολο από σημεία V Ένα σύνολο από γραμμές Ε μεταξύ των σημείων

Παράδειγμα Έστω V = {a,b,c,d} οι τέσσερις παίκτες σε ένα τουρνουά τένις Έστω Ε={(a,b),(a,d),(b,d),(c,a),(c,b),(d,c)} μία διμελής σχέση επί του V τέτοια ώστε το ότι το (x,y) είναι στην Ε σημαίνει ότι το x κερδίζει τον y σε έναν μεταξύ τους αγώνα

Ορισμός Δύο γραφήματα ονομάζονται ισόμορφα αν υπάρχει μία ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των κορυφών τους και μεταξύ των ακμών τους έτσι ώστε να διατηρούνται οι προσπίπτουσες

Παράδειγμα Μη κατευθυνόμενα ισόμορφα γραφήματα

Παράδειγμα Κατευθυνόμενα ισόμορφα γραφήματα

Ορισμός Έστω ένα γράφημα G = (V,E). Ένα γράφημα G’ = (V’,E’) ονομάζεται υπογράφημα του G αν το E’ είναι υποσύνολο του Ε και το V’ είναι υποσύνολο του V έτσι ώστε οι ακμές στο Ε’ να είναι προσπίπτουσες μόνο με κορυφές στο V’

Παράδειγμα Το γράφημα β είναι υπογράφημα του α

Ορισμός Ένα υπογράφημα του G ονομάζεται επικαλύπτον υπογράφημα αν περιέχει όλες τις κορυφές του G

Ορισμός To συμπλήρωμα ενός υπογραφήματος G’ = (V’,E’) ως προς το γράφημα G είναι ένα άλλο υπογράφημα G’’ = (V’’,E’’) τέτοιο ώστε το Ε’’ να είναι ίσο με Ε-Ε’ και το V’’ να περιέχει μόνο τις κορυφές στις οποίες είναι προσπίπτουσες οι ακμές στο Ε’’

Παράδειγμα Το γράφημα γ είναι συμπλήρωμα του υπογραφήματος β

Ορισμός Μη κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα n κορυφών, το οποίο συμβολίζεται Kn, είναι ένα γράφημα με n κορυφές στο οποίο υπάρχει μία ακμή μεταξύ κάθε ζεύγους διαφορετικών κορυφών

Ορισμός To συμπλήρωμα ενός γραφήματος G, n κορυφών, ορίζεται ως το συμπλήρωμά του ως προς το Κn και συμβολίζεται με

Ορισμός Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα n κορυφών είναι ένα γράφημα με n κορυφές στο οποίο υπάρχει ακριβώς ένα βέλος μεταξύ κάθε ζεύγους διαφορετικών κορυφών

Ορισμός Έστω G(V,E) όπου το V είναι ένα σύνολο και το E είναι ένα πολυσύνολο διατεταγμένων ζευγών από το V x V. Το G ονομάζεται κατευθυνόμενο πολυγράφημα

Κατευθυνόμενο Πολυγράφημα Γεωμετρική αναπαράσταση Ένα σύνολο από σημεία V Ένα σύνολο από βέλη μεταξύ των σημείων οπού δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό βελών από ένα σημείο προς ένα άλλο

Παράδειγμα Μία γραφική αναπαράσταση ενός χάρτη αυτοκινητοδρόμων στον οποίο μία ακμή μεταξύ δύο πόλεων αντιστοιχεί σε μία διαδρομή μεταξύ πόλεων. Αφού υπάρχουν συχνά πολλές διαδρομές μεταξύ δύο πόλεων, η αναπαράσταση αυτή δημιουργεί ένα πολυγράφημα

Ορισμός Με ένα τυπικό και γενικό τρόπο ορίζουμε ένα βεβαρυμένο γράφημα είτε ως μία διατεταγμένη τετράδα (V,E,f,g) είτε ως μία διατεταγμένη τριάδα (V,E,f) είτε ως μία διατεταγμένη τριάδα (V,E,g)

Ορισμός (συνέχεια) όπου το V είναι το σύνολο των κορυφών, το Ε το σύνολο των ακμών, η f είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το V και η g είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Ε Η συνάρτηση f είναι μία αντιστοίχιση βαρών στις κορυφές Η συνάρτηση g είναι μία αντιστοίχιση βαρών στις ακμές

Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα της μαθηματικής αναπαράστασης της συμπεριφοράς ενός αυτόματου πωλητή που πουλά καραμέλες για 0,15€ το κομμάτι. Για απλότητα υποθέτουμε ότι η μηχανή δέχεται μόνο πεντάλεπτα και δεκάλεπτα και δεν επιστρέφει ρέστα όταν εισαχθούν σε αυτή περισσότερα από 0,15€.

Παράδειγμα (συνέχεια) Το παρακάτω βεβαρυμένο γράφημα είναι μία περιγραφή της συμπεριφοράς της μηχανής, όπου οι κορυφές αντιστοιχούν σε ποσά που έχουν ήδη εισαχθεί για την τρέχουσα πώληση, τα οποία είναι 0, 5, 10 και 15 λεπτά ή περισσότερα α: έχουν εισαχθεί 0 λεπτά β: έχουν εισαχθεί 5 λεπτά γ : έχουν εισαχθεί 10 λεπτά δ : έχουν εισαχθεί 15 λεπτά ή περισσότερα

Παράδειγμα (συνέχεια) Οποιαδήποτε στιγμή ένας πελάτης μπορεί να κάνει οποιοδήποτε από τα εξής τρία πράγματα: Να «ρίξει» ένα πεντάλεπτο Να «ρίξει» ένα δεκάλεπτο Να πιέσει το κουμπί για την καραμέλα της επιλογής του

Παράδειγμα (συνέχεια) Αντίστοιχα στο γράφημα του παραδείγματος υπάρχουν τρεις ακμές που ξεκινούν από κάθε κορυφή σημειωμένες με 5,10 και P. Μια ακμή με βάρος 5 οδηγεί σε κορυφή που αντιστοιχεί στο συνολικό ποσό που έχει εισαχθεί στην μηχανή όταν ο πελάτης «ρίχνει» ένα πεντάλεπτο Μια ακμή με βάρος 10 οδηγεί σε κορυφή που αντιστοιχεί στο συνολικό ποσό που έχει εισαχθεί στην μηχανή όταν ο πελάτης «ρίχνει» ένα δεκάλεπτο

Παράδειγμα (συνέχεια) Προφανώς, όταν είμαστε στις κορυφές a,b και c δεν θα συμβεί τίποτα όταν πιέσουμε το κουμπί για να επιλέξουμε καραμέλα Η μηχανή θα ελευθερώσει καραμέλα μόνο όταν έχει φτάσει στην κορυφή d

Παράδειγμα Θεωρούμε το πρόβλημα της αναγνώρισης προτάσεων που αποτελούνται από ένα άρθρο, το οποίο ακολουθείται από το πολύ τρία επίθετα, τα οποία ακολουθούνται από ένα ουσιαστικό και μετά ακολουθεί ένα ρήμα όπως φαίνεται παρακάτω Το τραίνο σταματά Το μικρό κορίτσι γελά Το μεγάλο φουσκωτό άσπρο σύννεφο εμφανίζεται

Παράδειγμα (συνέχεια) Όταν εξετάζουμε μία πρόταση λέξη προς λέξη, μπορούμε να καθορίσουμε αν είναι σε αυτή την ειδική μορφή ακολουθώντας το παρακάτω βεβαρυμένο γράφημα, αρχίζοντας από την κορυφή α

Παράδειγμα (συνέχεια) Αν φθάσουμε στην κορυφή g η πρόταση είναι στην ειδική μορφή Για να απλοποιήσουμε τον σχεδιασμό του γραφήματος, χρησιμοποιούμε διακεκομμένα βέλη για να δείξουμε την ανακάλυψη λέξεων που είναι εκτός της κανονικής σειράς Στην περίπτωση αυτή φτάνουμε στην κορυφή h, η οποία σημαίνει την εύρεση μιας «παράνομης» πρότασης