Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Η έννοια του λογαρίθμου επινοήθηκε στις αρχές του 17ου αιώνα ως ένα μέσο απλοποίησης των αριθμητικών υπολογισμών και η εμφάνισή των πρώτων λογαριθμικών πινάκων είχε, εκείνη την εποχή, επίπτωση στην επιστήμη ανάλογη με αυτή που έχουν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές στις μέρες μας. Η αρχική μαθηματική ιδέα στην οποία στηρίζεται η έννοια του λογαρίθμου είναι πολύ απλή. Αν θέσουμε σε αντιστοιχία ένα προς ένα τους όρους μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου, όπως για παράδειγμα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...   1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ... τότε μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το γινόμενο 2 όρων της γεωμετρικής προόδου (π.χ 32 x 128=4096) βρίσκεται ακριβώς κάτω από το άθροισμα των αντίστοιχων όρων της αριθμητικής (5+7=12). Δηλαδή ο πολλαπλασιασμός ανάγεται ουσιαστικά σε πρόσθεση. Εύκολα μπορούμε επίσης να διαπιστώσουμε ότι η διαίρεση ανάγεται σε αφαίρεση, η ύψωση σε δύναμη σε πολλαπλασιασμό με τον εκθέτη και η εξαγωγή ρίζας σε διαίρεση με το δείκτη, όπως για παράδειγμα: 4096:128=32 (12-7=5) 163=4096 (4x3=12) =8 (12=4:3)

Όπως είναι φανερό, οι προηγούμενες αναγωγές στηρίζονται στις ιδιότητες των δυνάμεων (οι παραπάνω πρόοδοι είναι οι ακολουθίες των εκθετών και των αντίστοιχων δυνάμεων του 2 ή, με άλλα λόγια, οι όροι της αριθμητικής είναι οι λογάριθμοι των αντίστοιχων όρων της γεωμετρικής με βάση το 2). Το 16ο αιώνα όμως δεν υπήρχε κάποιος κοινά αποδεκτός συμβολισμός για τις δυνάμεις, ούτε είχαν διατυπωθεί με γενικότητα οι ιδιότητές τους. Το πρόβλημα που τέθηκε στους μαθηματικούς της εποχής ήταν η κατασκευή γεωμετρικών προόδων αρκετά «πυκνών», ώστε ανάμεσα στους όρους τους να μπορούν να παρεμβληθούν, χωρίς σημαντικό σφάλμα, οι αριθμοί που εμφανίζονταν συχνά στους υπολογισμούς (π.χ. οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων). Ταυτόχρονα οι όροι μιας τέτοιας προόδου θα έπρεπε να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τους όρους μιας αριθμητικής προόδου.

Για να είναι χρήσιμη η αντιστοιχία μεταξύ αριθμητικής και γεωμετρικής σειράς ήταν αναγκαίο ο κοινός λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών όρων της γεωμετρικής σειράς να είναι πολύ κοντά στη μονάδα, ώστε τα χάσματα μεταξύ δύο διαδοχικών όρων να είναι μικρά. Ο Napierθεώρησε αυτό το λόγο 0,9999999 (=1-10 -7 ) κι έφτιαξε πίνακα με 101 όρους της γεωμετρικής σειράς, με πρώτο όρο το 10.000.000 (=10 7 ), δηλαδή έφτιαξε τους αριθμούς: n=0,1,2,...100 Ονόμασε τους 0,1,2,…100 λογάριθμους των αριθμών που δημιούργησε. Π.χ το 100 είναι ο λογάριθμος του 9999900,0004950

Η λέξη «λογάριθμος» είναι ελληνικής προέλευσης και σημαίνει αριθμός λόγου. Οι αριθμοί του Napier γράφονται ν (1-1/ν)n , δηλαδή ν σε πλήθος n διαδοχικών εφαρμογών της αναλογίας 1-1/ν. Έτσι το n που είναι ο λογάριθμος, δείχνει τον αριθμό των λόγων. Το σύστημα του Napier όμως δεν εμπεριέχει την ιδέα της «βάσης» που θα δούμε παρακάτω.

Στα 1615 ο Henry Briggs (1561-1631), καθηγητής μαθηματικών και αστρονομίας στο Λονδίνο, επισκέφτηκε τον Napier και συμφώνησαν ότι οι πίνακες έπρεπε να αλλάξουν ώστε ο λογάριθμος του 1 να είναι μηδέν και ο λογάριθμος του 10 να είναι μια κατάλληλη δύναμη του 10. Έτσι γεννήθηκαν οι λογάριθμοι του Briggs ή κοινοί λογάριθμοι που διδάσκονται στα σχολεία. Ας δούμε τώρα πως οι εφευρέτες των λογαρίθμων υπολόγιζαν το log5. Ξεκινά υπολογίζοντας το Επειδή βρίσκουμε: log3,1622777=0,50000. Όμως: Συνεχίζοντας δημιούργησε την παρακάτω αντιστοίχηση :

Ας γυρίσουμε στον υπολογισμό του log5. Είναι: Οι υπολογισμοί οδηγούν στο Αριθμός ανάμεσα στους δύο τελευταίους του προηγούμενου πίνακα. Άρα πρέπει μέσω γραμμικής παρεμβολής να υπολογίσουμε το χ όταν: Από την αναλογία προκύπτει : Δηλαδή: log5=4096 *0,000170646=0,698966 0,00024414 Χ 0,00012207

Δυστυχώς όλη αυτή η προσπάθεια έγινε μόνο για τον υπολογισμό του log5, άρα για τον υπολογισμό του log6 ή του log5,34 θα πρέπει να επαναληφθεί όλη η διαδικασία από την αρχή. Αυτό μας υποχρεώνει να δούμε την δουλειά του Briggs με θαυμασμό αλλά και οίκτο μιας και η επόμενη γενιά μαθηματικών ανακάλυψε πολύ ευκολότερες μεθόδους υπολογισμού λογαρίθμων. Ο Ελβετός ωρολογοποιός Joost Burgi εφεύρε λογαρίθμους ανεξάρτητα από τον Napier για τους οποίους χρησιμοποιεί προόδους, δεν υπάρχει η ιδέα της βάσης και δεν ισχύει log1=0 όπως και για τον Napier. Για τον Napier ισχύει log107=0 ενώ για τον Burgi log 108=0.

Το θεωρητικό πλαίσιο των λογαρίθμων μεγάλωσε κατά κάποιο τρόπο κατά τη διάρκεια του 17ου αιώνα μέσω των γραφικών αναπαραστάσεων, σε ορθογώνιες και πολικές συντεταγμένες, ενός μεταβλητού αριθμού και του λογαρίθμου του. Έτσι εφευρέθηκαν η λογαριθμική καμπύλη και η λογαριθμική έλικα (σπείρα) . Μια άλλη καμπύλη που έπαιξε σημαντικό ρόλο στην μελέτη των λογαρίθμων είναι η υπερβολή, όταν τέθηκε το θέμα του τετραγωνισμού του χωρίου που είναι ανάμεσα στην υπερβολή και τις ασυμπτώτους της. Έτσι μελετήθηκε για πρώτη φορά η λογαριθμική ιδιότητα της υπερβολής.

Για λ>0 Ελα,λβ =Εα,β

Αν τα τμήματα ΟΚ, ΟΛ , ΟΜ, ΟΝ στο παρακάτω σχήμα, αποτελούν γεωμετρική πρόοδο, τότε τα εμβαδά (ΑΒΛΚ), (ΑΓΜΚ), (ΑΔΝΚ) αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Οι ιδιότητες αυτών των εμβαδών είναι καθρέφτης των ιδιοτήτων των λογαρίθμων. Αποδεικνύεται ότι η βάση αυτού του λογαριθμικού συστήματος είναι ο αριθμός 2,7184669≈e. (φυσικοί λογάριθμοι)

Η σύνδεση των εκθετικών και λογαριθμικών εννοιών δεν συνέβη πριν τον 18ο αιώνα. Στα τέλη του 17ου αιώνα άρχισε η χρήση αρνητικών και κλασματικών εκθετών όπως τους χρησιμοποιούμε και σήμερα. Κατά την διάρκεια του 18ου αιώνα υπήρχε έντονη αμφισβήτηση για την χρήση των αρνητικών και φανταστικών αριθμών (α+βi) κάτι που καθυστέρησε την επέκταση της λογαριθμικής θεωρίας προς αυτούς. Η διαμάχη για τους λογαρίθμους, η οποία προκάλεσε ένταση στους μαθηματικούς περισσότερο από έναν αιώνα, δεν ξεκίνησε πρωταρχικά από τις συζητήσεις για τον φανταστικό αριθμό, αλλά για τον αρνητικό. Άραγε, οι αρνητικοί αριθμοί είναι λιγότερο απ’ το τίποτα? Αν ναι, τότε σε μια αναλογία : Ο μεγαλύτερος προς τον μικρότερο είναι ότι ο μικρότερος προς τον μεγαλύτερο?

Ο Leibniz θεώρησε τον λόγο -1/1 φανταστικό, γιατί δεν έχει λογάριθμο, αφού προκύπτει log(-1/1)=log(-1) (θετικό λογάριθμο έχουν οι αριθμοί πάνω απ’ το 1 και αρνητικό λογάριθμο οι θετικοί που είναι μικρότεροι του 1). Άρα ο log(-1) είναι φανταστικός, εξάλλου ο μισός του θα ήταν ο λογάριθμος του φανταστικού : Η διαμάχη για τους λογαρίθμους αρνητικών αριθμών συνεχίστηκε με πρωταγωνιστές τους Leibniz και Bernoulli , ώσπου ο Euler ήρθε να αναπτύξει μια νέα θεωρία που τους συνέδεε άμεσα με την εκθετική συνάρτηση. Όρισε λοιπόν τις εκθετικές συναρτήσεις μέσω του τύπου y=αz όπου α>1 κι έτσι υπολόγισε τον logα y μέσω της αντίστροφης της εκθετικής, αφού υπάρχει η δυνατότητα χρήσης άπειρων βάσεων. Σε σύγχρονη σημειογραφία z=log ay αν και μόνο αν αz =y. Έτσι θεωρώντας κατάλληλη βάση b έχουμε:

Στόχος του Euler ήταν να εκφράσει τις εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις με άπειρες σειρές, ώστε να επιτρέπεται η διαφόρηση κι ολοκλήρωσή τους. Έτσι εκφράζοντας το αχ σε σειρά το α γράφεται: Αυτόν τον αριθμό ο Euler συμβόλισε e και ανέπτυξε μια λογαριθμική συνάρτηση με βάση αυτό τον αριθμό, την οποία με μοντέρνο συμβολισμό θα συμβολίζουμε «ln». Εκφράζοντας την λογαριθμική συνάρτηση με άπειρη σειρά : απλοποίησε τους υπολογισμούς των λογαρίθμων σε σχέση με τον Briggs (παράδειγμα ο υπολογισμός του log5 γίνεται χωρίς τη χρήση πλήθους τετραγωνικών ριζών).

Η μέθοδος με τις απειροστές σειρές είναι ξεκάθαρα ανώτερη, είναι αδιαμφισβήτητη μαθηματική πρόοδος και ο Euler ένας απ’ τους κορυφαίους της μαθηματικής σκέψης. Ο James Gregory σημείωσε ότι η δύναμη όλων των προηγούμενων μεθόδων σε σχέση με τη μέθοδο των απειροστών σειρών είναι ίδια με τη σχέση που έχει το ασθενές φως του ξημερώματος με τη λαμπρότητα του μεσημεριανού ήλιου. Για τον Euler οι λογάριθμοι ήταν τα πρωταρχικά εργαλεία της ανάλυσης. Η λογαριθμική συνάρτηση την οποία ονόμασε «την πιο φυσική και γόνιμη έννοια» ήταν πάντα το στήριγμά του και χάρις σ’ αυτήν μεγαλούργησε! Μπόρεσε με διάφορες συμβάσεις που του επέτρεπε η όχι και τόσο αυστηρή μαθηματική έκφραση της εποχής, να υπολογίσει την παράγωγο της lnx και να την συνδέσει με την αρμονική σειρά (δίνοντας στην μαθηματική επιστήμη άλλη μία αξιοθαύμαστη σταθερά την « γ»).

Κατά την διάρκεια της μελέτης των λογαρίθμων, τρεις μαθηματικοί έχουν προσπαθήσει μέσω επιστολών κυρίως, να λύσουν το μυστήριο της λογαρίθμησης αρνητικών και μιγαδικών αριθμών : ο Leibniz, ο Bernoulli και ο Euler. Μέχρι το 1800 δεν είχε ξεκαθαριστεί το παράδοξο: ενώ log(-2)2 =log(2)2 δεν μπορούμε να γράψουμε 2log(-2) =2log2. Ο Euler είχε θέσει τις υποθέσεις ώστε το 2log(-2) είναι ή δεν είναι ίσο με το 2 log2, αλλά δεν κατάφερε να πείσει την μαθηματική κοινότητα γιατί: δεν κατέστησε σαφές αν το ότι η λογαριθμική καμπύλη έχει έναν ή δύο κλάδους , σχετίζεται με την θεωρία των λογαρίθμων αρνητικών και μιγαδικών αριθμών η απόδειξή του ότι το logx έχει άπειρο αριθμό τιμών δεν εξηγήθηκε πλήρως οι μαθηματικοί δεν ήταν εξοικειωμένοι με τη χρήση αντίστροφων πράξεων και λογαρίθμων με διαφορετικές βάσεις.

Χάριν λοιπόν στον Euler και της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών , ορίστηκε ο λογάριθμος κάθε μη μηδενικής μιγαδικής ποσότητας ζ (άρα και των αρνητικών πραγματικών) ως η πλειότιμη συνάρτηση λογζ = lnIζI+ i(θ+2κπ), όπου θ το όρισμα του ζ. Ειδικά ορίζουμε τον «κύριο κλάδο» της συνάρτησης αυτής , συμβολικά Λογζ, την μονότιμη συνάρτηση που από τα διάφορα μιγαδικά μέρη της λογζ λαμβάνει μόνο αυτό για κ=0. Άρα λογ(-2)=ln(2) +2kπi , Λογ(-2)=ln(2) Λογ(-e)=lne+i(Arge +2κπ) και Λογ(-e) =1+πi Λογ(1+i) = lnI1+iI +iπ/4 = ln√2/2+iπ/4

Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ Έστω 0<α≠ 1 και η συνάρτηση f R→(0,∞) με f(x) =αχ .Τότε η f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής. Για α,β θετικούς πραγματικούς και κ,λ πραγματικούς ισχύει:

Αποδεικνύεται ότι αν α>0 με α≠1 και β>0 , τότε η εξίσωση αχ =β έχει μοναδική λύση στο R. H λύση αυτή λέγεται λογάριθμος του β με βάση α, δηλαδή: Αν α>1 τότε η συνάρτηση που ορίστηκε μέσω της f(x)=αχ με χ πραγματικό, είναι γνησίως αύξουσα, συνεχής και παίρνει όλες τις θετικές τιμές. Η αντίστροφή της ορίζεται στους θετικούς και είναι επίσης γνησίως αύξουσα και συνεχής. Συμβολίζουμε αυτή τη συνάρτηση L (0,∞)→R με L(x)=f-1 =logα χ, χ>0. Ισχύουν οι ιδιότητες ( για α>0 , α≠ 1και χ,y >0): Εκθετική-Λογαριθμική Συνάρτηση .ggb

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αν χ θετικός πραγματικός ορίζουμε ως φυσικό λογάριθμο του χ και τον συμβολίζουμε L(x) το ολοκλήρωμα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εφαρμογή 1: ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΑΥΞΗΣΗ Η πρώτη μας εφαρμογή αναφέρεται σε αύξηση πληθυσμού, όπως ανθρώπων, ζώων, βακτηριδίων κλπ. Οι πληθυσμοί έχουν την τάση να αυξάνουν εκθετικά και με διάφορους ρυθμούς μεταβολής. Ένα αξιόπιστο και εύκολα κατανοητό μέτρο του ρυθμού αύξησης είναι ο χρόνος διπλασιασμού, ο οποίος ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για το διπλασιασμό ενός πληθυσμού. Έτσι, αν P : είναι ο πληθυσμός τη χρονική στιγμή , P0 : ο πληθυσμός τη χρονική στιγμή και d: ο χρόνος διπλασιασμού, τότε έχουμε τη σχέση: P=P0 2t/d Τα περισσότερα προβλήματα πληθυσμιακής αύξησης χρησιμοποιούν εκθετικές συναρτήσεις με βάση το “e”.

Εφαρμογή 2: ΧΡΟΝΟΣ ΗΜΙΣΕΙΑΣ ΖΩΗΣ  Η δεύτερη εφαρμογή αναφέρεται σε ελάττωση ραδιενεργού ποσότητας, όπου ραδιενεργά υλικά χρησιμοποιούνται ευρέως σε ιατρικές εφαρμογές, ως πηγές ενέργειας χωρών ή και δορυφόρων. Αν ξεκινήσουμε από ένα ποσό συγκεκριμένου ραδιενεργού ισοτόπου, αυτό μειώνεται εκθετικά με το πέρασμα του χρόνου, με το βαθμό μείωσης να ποικίλλει από ισότοπο σε ισότοπο. Ένα αξιόπιστο και εύκολα κατανοητό μέτρο του ρυθμού μείωσης είναι ο χρόνος ημίσειας ζωής, ο οποίος ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για τη διάσπαση ή τον εξαφανισμό της μισής ποσότητας του ισοτόπου. Έτσι, αν A : είναι η ποσότητα τη χρονική στιγμή t , A0: η ποσότητα τη χρονική στιγμή t =0 και h: ο χρόνος ημίσειας ζωής, τότε έχουμε τη σχέση: A= A0 2-t/h Τα περισσότερα προβλήματα χρόνου ημίσειας ζωής χρησιμοποιούν εκθετικές συναρτήσεις με βάση το “e”.

ΕΠΙΠΛΕΟΝ, ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: Χρονολόγηση μέσω άνθρακα-14: Ο «βομβαρδισμός» της ατμόσφαιρας με κοσμική ακτινοβολία δημιουργεί ουδετερόνια, τα οποία αντιδρούν με το άζωτο και παράγουν ραδιενεργό άνθρακα-14. Ο άνθρακας-14 εισέρχεται σε όλους τους ζωικούς ιστούς μέσω του διοξειδίου του άνθρακα, το οποίο αρχικά απορροφάται από τα φυτά. Το επίπεδο του άνθρακα-14 παραμένει σταθερό για όσο το ζώο ή το φυτό είναι ζωντανό. Μόλις ο οργανισμός πεθάνει, ο άνθρακας-14 ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο: A=A0 e-0,000124 t , όπου A : είναι η ποσότητα μετά από t χρόνια και A0 : η ποσότητα τη χρονική στιγμή t=0.

Θαλάσσια Βιολογία: Η θαλάσσια ζωή εξαρτάται από την ύπαρξη μικροσκοπικών φυτικών οργανισμών στη λεγόμενη ευφωτική ζώνη, μια περιοχή που εκτείνεται σε βάθος όπου το 1% του φωτός επιφανείας παραμένει. Αν με Ι συμβολίσουμε την ένταση του φωτός σε βάθος d (σε πόδια), για μια από τις πιο καθαρές υδάτινες περιοχές του κόσμου, τη θάλασσα των Σαργασσών στις δυτικές Ινδίες, τότε αν I0 : η ένταση του φωτός στην επιφάνεια της θάλασσας, ισχύει: I= I0 e-0,00942 d .   Διαστημική: Τα ραδιενεργά ισότοπα χρησιμοποιούνται ως πηγές ενέργειας διαστημικών οχημάτων. Για ένα συγκεκριμένο πυρηνοκίνητο όχημα η ισχύς P (σε Watt) μετά από χρόνο t (σε μέρες) δίνεται από τον τύπο: P=75 e-0,0035t .

Φωτογραφία: Για μια φωτογραφική μηχανή, το κύκλωμα επαναλειτουργίας του φλας αποτελείται από: το διακόπτη, την πηγή, μια αντίσταση και έναν πυκνωτή που διαδοχικά φορτίζεται και εκφορτίζεται. Για ένα συγκεκριμένο φλας που χρησιμοποιεί μπαταρία 12-volt, το φορτίο Q (σε coulombs) του πυκνωτή, t δευτερόλεπτα μετά την επαναφόρτισή του, δίνεται από τον τύπο: Q=0,0009(1-e-0,2t ) . Ο Νόμος Ψύξης του Νεύτωνα: Ο συγκεκριμένος νόμος περιγράφει την ψύξη ενός θερμού αντικειμένου που βρίσκεται σε ένα ψυχρότερο περιβάλλον. Αν T(t) είναι η θερμοκρασία του αντικειμένου σε χρόνο t , Tm η σταθερή θερμοκρασία του περιβάλλοντος,T0 η αρχική θερμοκρασία του αντικειμένου και k μια σταθερά που εξαρτάται από το υλικό του αντικειμένου, τότε έχουμε: T(t)= Tm +(T0 - Tm ) e-kt.

Συγκέντρωση Φαρμακευτικής Ουσίας Μέσω της εκθετικής συνάρτησης, έχουμε μοντελοποίηση της συγκέντρωσης φαρμακευτικής ουσίας στο σώμα ενός ασθενούς (στη ροή αίματος αυτού). Έτσι αν μεC(t) συμβολίσουμε τη συγκέντρωση σε χρόνο t (σε ώρες), ενώ με C0 τη συγκέντρωση της ουσίας στο αίμα αμέσως μετά την ένεση και r>0 είναι μια σταθερά που σχετίζεται με την απομάκρυνση της ουσίας από το σώμα μέσω μεταβολισμού ή/και απέκκρισης, έχουμε: C(t)= C0 e- rt  

Εφαρμογή 3: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η τρίτη εφαρμογή αναφέρεται σε αύξηση χρημάτων μέσω ανατοκισμού. Το αντίτιμο που πληρώνουμε για την εκμετάλλευση χρημάτων κάποιου άλλου, καλείται τόκος. Όταν υπολογίζεται σε περίοδο δεδομένη, με μορφή ποσοστού, καλείται επιτόκιο. Στο τέλος κάθε τέτοιας περιόδου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο (δηλαδή κεφαλαιοποιούνται) και τοκίζονται ξανά. Η διαδικασία αυτή καλείται ανατοκισμός. Έτσι, αν P : είναι το αρχικό κεφάλαιο,   A: το χρηματικό ποσό στο τέλος της χρονικής περιόδου t ετών n : το πλήθος των ανατοκισμών σε ένα έτος και r : το ετήσιο επιτόκιο, τότε έχουμε τη σχέση: A=P (1+ r/n)nt  

Εφαρμογή 4: ΜΟΥΣΙΚΗ Ένταση Ήχου   Το ανθρώπινο αυτί αντιλαμβάνεται ήχους μέσα από ένα απίστευτο εύρος εντάσεων. Ο δυνατότερος ήχος που ένας υγιής άνθρωπος ακούει, χωρίς να δημιουργηθεί πρόβλημα στο τύμπανο του αυτιού του, έχει ένταση 1.000.000.000.000 (ένα τρισεκατομμύριο) φορές μεγαλύτερη από τον πιο ασθενή ήχο που ο ίδιος άνθρωπος μπορεί να ακούσει. Επομένως το να χρησιμοποιούμε αριθμούς μέσα από τέτοιο εύρος, είναι εξαιρετικά δυσλειτουργικό. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική κλίμακα η οποία είναι σαφώς πιο αξιόπιστη και λειτουργική (καθώς ο λογάριθμος ενός αριθμού, με βάση μεγαλύτερη του 1, αυξάνει πολύ πιο αργά σε σχέση με τον ίδιο τον αριθμό!). Η κλίμακα των decibel είναι ένα τέτοιο παράδειγμα μέτρησης της έντασης του ήχου. Έτσι, αν D : είναι το επίπεδο των decibel του ήχου, I: η ένταση του ήχου σε W/m2 ( Watt ανά τετραγωνικό μέτρο) και I0 = 10-12 W/m2 : η ένταση του ελάχιστου ήχου που μπορεί να γίνει αντιληπτός από έναν υγιή νέο άνθρωπο, τότε έχουμε: D=10 log( I/I0 )

Εφαρμογή 5: ΕΝΤΑΣΗ ΣΕΙΣΜΟΥ Η ενέργεια (σε joules) που απελευθερώθηκε από το δυνατότερο σεισμό που έχει καταγραφεί ποτέ, είναι 100.000.000.000 (εκατό δισεκατομμύρια) φορές μεγαλύτερη από την ενέργεια ενός σεισμού που γίνεται ελάχιστα αντιληπτός. Τα τελευταία 150 χρόνια πολλοί επιστήμονες σε όλο τον κόσμο είχαν εφεύρει διάφορους τρόπους μέτρησης του μεγέθους του σεισμού, ώστε να μπορεί να γίνει σύγκριση της σφοδρότητάς τους. Το 1935, στην California, ο σεισμολόγος Charles Richter δημιούργησε την ομώνυμη λογαριθμική κλίμακα η οποία χρησιμοποιείται έκτοτε σε όλο τον κόσμο.  Σύμφωνα με την κλίμακα Richter αν, Μ : είναι το μέγεθος του σεισμού, Ε: η ενέργεια (σε joules) του σεισμού και Ε0 =104,40 joules: η ενέργεια που απελευθερώνεται από ένα πολύ μικρό σεισμό αναφοράς, τότε έχουμε τη σχέση: Μ= 2/3 log (E/ Ε0 )

Εφαρμογή 6: pH Η συγκέντρωση ιόντων υδρογόνου ενός διαλύματος, σχετίζεται με την «οξύτητα» (ή και την «αλκαλικότητα») αυτού. Ακριβώς επειδή η συγκέντρωση αυτή έχει μεγάλο εύρος μεταβολής, οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για μια λειτουργική κλίμακα· την κλίμακα του pH, (S.Sorensen, 1909, από τα αρχικά των λέξεων “pondus Hydrogenii”), όπου αν είναι η συγκέντρωση ιόντων υδρογόνου (σε moles ανά λίτρα), τότε έχουμε: pH=- log[H+]   ( Παρατήρηση: Η κλίμακα pH έχει διαβάθμιση από 0 έως 14, σε θερμοκρασία 25 oC. Για το νερό έχουμε και χαρακτηρίζεται ως ουδέτερο διάλυμα. Διαλύματα με pH<7 χαρακτηρίζονται ως όξινα, ενώ με pH>7 ως βασικά. )

Εφαρμογή 7: ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Αν παρατηρήσουμε μια νύχτα χωρίς Σελήνη και σύννεφα τους αστέρες, εύκολα συμπεραίνουμε ότι δεν έχουν όλοι την ίδια λαμπρότητα. Οι Αρχαίοι αστρονόμοι προσπάθησαν να ταξινομήσουν τους αστέρες ανάλογα με το πόσο λαμπροί φαίνονταν ή -με σύγχρονη ορολογία- ανάλογα με το φαινόμενο μέγεθός τους, το οποίο δεν εξαρτάται μόνο από την πραγματική τους λαμπρότητα ή φωτεινότητα (δηλαδή την ολική φωτεινή ενέργεια που εκπέμπει ο αστέρας στη μονάδα του χρόνου και σε όλα τα μήκη κύματος), αλλά και από την απόστασή του αστέρα από τον παρατηρητή. Για το λόγο αυτό οι αστρονόμοι προσδιορίζουν το φαινόμενο μέγεθος ενός αστέρα σε συγκεκριμένη απόσταση και το ονομάζουν απόλυτο μέγεθος τους αστέρα. Η απόσταση αυτή έχει επιλεγεί αυθαίρετα και είναι ίση με 32,6 έτη φωτός. Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω, αν: M : είναι το απόλυτο μέγεθος του αστέρα, m: είναι το φαινόμενο μέγεθος του αστέρα και r: η απόσταση του αστέρα από τον παρατηρητή σε parsec (1 parsec = 3,26 έτη φωτός), τότε έχουμε την σχέση: m- M=5 logr - 5

Εφαρμογή 8: ΑΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΟΤΗΤΑ  Ο όρος «απορρόφηση», αναφέρεται στη φυσική διαδικασία της απορρόφησης φωτός, ενώ ο όρος «απορροφητικότητα» στη μαθηματική ποσότητα. Η απορροφητικότητα μελετάει το λόγο του διαδιδόμενου φωτός προς το προσπίπτον φως και όχι το μηχανισμό μέσω του οποίου ελαττώνεται η ένταση του φωτός. Σύμφωνα με τη φασματοσκοπία αν, Aλ : είναι η απορροφητικότητα σε συγκεκριμένο μήκος κύματος, Ι: η ένταση του διαδιδόμενου φωτός (που διαπερνά ένα δείγμα) Και Ι0 : η ένταση του προσπίπτοντος φωτός (πριν διαπεράσει το δείγμα), τότε έχουμε την σχέση: Aλ =log (Ι0 / I )

 Εφαρμογή 9: ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Ο νόμος των Weber – Fechner, προσπαθεί να περιγράψει τη σχέση μεταξύ του ερεθίσματος και της προσλαμβάνουσας έντασης του ερεθίσματος. Ο Ernst Weber (1795-1878), ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να προσεγγίσει την ανθρώπινη αντίδραση σε ένα ερέθισμα με «ποσοτικό» τρόπο, ενώ ο Gustav Fechner (1801-1887) προσέφερε τη θεωρητική βάση των ευρημάτων του Weber. Σε ένα από τα κλασσικά του πειράματα, ο Weber έδινε σε έναν άνθρωπο με κλειστά μάτια να κρατά κάποιο βάρος το οποίο αύξανε σταδιακά. Η ερώτηση που έκανε ήταν το πότε ο άνθρωπος αισθανόταν την αλλαγή-αύξηση του βάρους. Διαπίστωσε ότι η αντίδραση ήταν ανάλογη με μια σχετική αύξηση του βάρους. Όταν η μάζα αυξάνεται μέσω σταθερού παράγοντα, γίνεται αντίστοιχα αντιληπτή η αύξηση στο βάρος. Για παράδειγμα, αν το βάρος αρχικά ήταν 1 κιλό, η αύξηση μερικών γραμμαρίων δε γινόταν αντιληπτή. Αν όμως είχαμε διπλασιασμό του βάρους τότε το όριο αντίληψης διπλασιαζόταν. Επίσης, αν κάποιος μπορούσε να αισθανθεί τη διαφορά στο βάρος μεταξύ 110gr και 100gr, θα μπορούσε αντίστοιχα να αισθανθεί τη διαφορά μεταξύ 1100gr και 1000gr.

Αν επομένως, R: είναι η μεταβολή της αντίληψης, k: είναι μια σταθερά που υπολογίζεται πειραματικά, S: το στιγμιαίο ερέθισμα και S0: το όριο κάτω από το οποίο το ερέθισμα δε γίνεται αντιληπτό, τότε μια διαδικασία της παραπάνω μορφής περιγράφεται από την σχέση R=k ln (S/ S0 ). Η συγκεκριμένη λογαριθμική σχέση σημαίνει ότι αν το ερέθισμα μεταβάλλεται ως γεωμετρική πρόοδος (πολλαπλασιάζεται με σταθερό παράγοντα), η αντίστοιχη αντίληψη του μεταβάλλεται με αριθμητική πρόοδο (προστίθεται σταθερή ποσότητα). Αν για παράδειγμα τριπλασιάσουμε τη δύναμη του ερεθίσματος (δηλαδή 3x 1), τότε η αντίστοιχη αντίληψη διπλασιάζεται σε σχέση με την αρχική της τιμή (δηλαδή 1+1). Συμπερασματικά, όσο πολλαπλασιάζουμε την ένταση του ερεθίσματος, τόσο προσθέτουμε σε ένταση αντίληψης.

Jacob Bernoulli. O υπολογισμός του e ως ορίου ακολουθίας που πραγματοποίησε- χωρίς ο ίδιος να αντιληφθεί περί τίνος επρόκειτο- είναι ακόμα και σήμερα ιδιαίτερα σημαντικός.

Leonhard Euler: Ο από πολλούς θεωρούμενος πατέρας της διάσημης σταθεράς.

JamesGregory: Μαζί με τον Jacob Bernoulli διεκδικεί την πατρότητα της διατύπωσης ότι η λογαριθμική και η εκθετική συνάρτηση είναι αντίστροφες.

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΕΛΙΚΑ: Τη μορφή αυτή λαμβάνει η εκθετική συνάρτηση σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων (πολικές συντεταγμένες). Το σχήμα αυτό απαντά σε μια πλειάδα φυσικών φαινομένων, χάρη στην ιδιομορφία του να αυξάνει σε μέγεθος μένοντας πανομοιότυπο με τον εαυτό του.

Η λογαριθμική έλικα είναι η φυσιολογική εξέλιξη ενός σχήματος που αυξάνεται παραμένοντας όμοιο με τον εαυτό του, δηλαδή μεγεθύνοντας μόνο τις αναλογίες του. Ξεκινώντας από ένα τυχαίο πολυγωνικό σχήμα, προσθέτουμε κομμάτια πανομοιότυπα με το αρχικό, με βαθμιαία αύξηση σε διαστάσεις. Το αποτέλεσμα παραπέμπει στην εν λόγω καμπύλη.

Η ραγδαία αύξηση είναι παροιμιώδης ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης- ακόμα και η «πληθωριστική φάση» του σύμπαντος περιγράφεται από αυτήν!!! Αν και ξένη προς τον κοινό νου, φαίνεται να συνδέεται σχεδόν με κάθε τι στον κόσμο που μας περιβάλει!!! Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία Μαθηματικός