Тригонометриялық теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Ауызша есептеу Теңдеуді шешіңдер: А) 3 х – 5 = 7 Б) х2 – 8 х + 15 = 0 Б) х2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х2 – 4 х + 1= 0 Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0 Д) 3 х2 – 12 = 0 Жауабы: 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

Ауызша есептеу Өрнектерді ықшамдаңдар: Жауаптары: А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin2 a – 1 + cos2 a В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a Г) Жауаптары: - cos2 a 2 |1- tg х|

Қайталау cos (-π/4 ) sin (-π/3) sin π/3 cos 2π/3 ctg π/6 tg π/6 tg π/4 2 нұсқа cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 arccos √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg √3/3 1 нұсқа sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 arcsin √2/2 arccos 1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg √3

Қайталау - √3/2 - 1/2 √3/3 1 √3/2 √2/2 π/4 - π/6 5π/6 π/3 √3/2 √3 1 1 нұсқа жауаптары - √3/2 - 1/2 √3/3 1 √3/2 √2/2 π/4 - π/6 5π/6 π/3 2 нұсқа жауаптары √2/2 √3/2 √3 1 - 1/2 - √3/2 π/4 π/2 2π/3 - π/3 π/6

Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 1. cost = а , мұндағы |а| ≤ 1 немесе 1) cost=0 t = +πk‚ kЄZ Дербес жағдайлар 2) cost=1 t = 2πk‚ kЄZ 3) cost = -1 t = π+2πk‚ kЄZ

Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 2. sint = а, мұндағы | а |≤ 1 немесе Дербес жағдайлар 1) sint=0 t = πk‚ kЄZ 2) sint=1 t = +2πk‚ kЄZ 3) sint = - 1 t = - +2πk‚ kЄZ

Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ k ЄZ 4. ctgt = а, а ЄR t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Мысалдар: cost= - ; 2) sint = 0; 4) ctgt = - 3) tgt = 1; Дербес жағдайлар: t = πk, kЄZ t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ± + 2πk, kЄZ 4) ctgt = - 3) tgt = 1; t = arcctg( ) + πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arctg1+πk, kЄZ t = + πk, kЄZ.

Қарапайым теңдеулерді шешу tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Жауабы: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Жауабы: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 келтіру формуласы бойынша ықшамдаймыз sin(x/3) = 0 дербес жағдай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Жауабы: 3πk, kЄZ.

Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 1. Алгебралық теңдеулерге келтірілетін жаңа айнымалыны енгізу тәсілімен шешіледі a∙sin²x + b∙sinx + c=0 sinx = p деп белгілейік, мұндағы |p| ≤1, онда a∙p² + b∙p + c = 0 Түбірлерін тауып, алмастыруға қайтып келіп, қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешу. Мысал: 2sin²x - 3sin x +1=0; Шешуі: sin x = t; 2t²-3t+1 = 0; D= (-3)² - 4·2·2 = 9 + 16 = 25 =5² ; t1,2= (3±5)/4; t1 = 2 ; t2 =0,5 ; sin x =2 шешімі жоқ, себебі 2 саны [-1;1] кесіндісіне жатпайды. sin x = 0,5 ; x = (-1) arcsin 0,5 + πn , n ЄZ; x = (-1) π/6 + πn , n ЄZ. Жауабы: x = (-1) π/6 + πn , n ЄZ.

Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 2. Біртекті теңдеулер Бірінші дәрежелі: cos х (немесе sinx) бөлу арқылы және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешіледі. a∙sinx + b∙cosx = 0 Қарапайым теңдеуді аламыз: a∙tgx + b = 0 немесе tgx = m Мысал: sinx + 2cosx = 0. Шешуі: теңдеудің екі жағын cosx бөлеміз. Жауабы:

Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 2) Екінші дәрежелі біртекті теңдеулер: cos х (немесе sinx) бөлу арқылы және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешіледі. a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Екі жағын cos²x –ке бөлеміз. Квадрат теңдеу аламыз: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0. Мысал: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.   Шешуі:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,           sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,           tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  бұдан  y 2 + 4y +3 = 0 ,         бұл теңдеудің түбірлері:  y1 = -1,  y2 = -3,  бұдан                            1)   tg x = –1,  2)   tg x = –3, Жауабы:

Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 3. Тригонометриялық формулаларды түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер: немесе Шешімі жоқ   sin x + cos x = 1 .     Ш е ш у і.   Барлық мүшелерін сол жаққа ауыстырамыз:                        sin x + cos x – 1 = 0 , tg arctg

Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 4. Қосымша бұрыш енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер а sinx + b cosx = c

Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 5. Әмбебап алмастыруды қолдану арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылады А sinx + B cosx = C Тексеру Егер , - дұрыс емес, онда , берілген теңдеудің түбірі болмайды Жауабы:

6. Дәрежені төмендету арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер

х   + 2n; Тексеру міндетті! Формулалар. Әмбебап алмастыру. х   + 2n; Тексеру міндетті! Дәрежені төмендету. Қосымша бұрыш енгізу әдісі. a cosx +b sinx алмастырамыз C sin(x+), мұндағы sin = cos =  - қосымша бұрыш (аргумент).

Ереже. Квадратты көрсең, дәрежесін төмендет. Көбейтіндіні көрсең, қосындыға келтір. Қосындыны көрсең, көбейтіндіге келтір.

1-нұсқа. «3»-ке 3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0 «4»-ке 3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1 «5»-ке 2 sin x - 5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0 2-нұсқа. «3»-ке cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0 «4»-ке 2 sin2 x – sin x cosx =0 4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1 «5»-ке 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0