ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 4ο -ΑΠ Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε δυνάμεις και λογαρίθμους, αντιλαμβάνεστε την έννοια του επιτοκίου και του τόκου, χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κανόνες: aman=am+n am/an=am-n (am)n=amn (ab)m=ambm

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Εξ’ ορισμού έχουμε ότι αν M=bn τότε logbM=n (α) log39 = x σημαίνει 3x = 9 δηλαδή 3x=32 άρα x=2 (β) log42 = x σημαίνει 4x = 2 δηλαδή 22x=(2)1 άρα 2x=1 x=1/2 (γ) log7(1/7) = x σημαίνει 7x = 1/7 δηλαδή 7x=7-1 άρα x= -1 ΚΑΝΟΝΕΣ logb(xy) = logbx + logby logb(x/y) = logbx - logby logbxm=mlogbx

ΜΑΘΗΜΑ 4ο - ΑΠ Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε δυνάμεις και λογαρίθμους, αντιλαμβάνεστε την έννοια του επιτοκίου και του τόκου, χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΕΠΙΤΟΚΙΟ - ΤΟΚΟΣ Γενικότερα λοιπόν, αν το επιτόκιο είναι r% και το αρχικό κεφάλαιο είναι P, τότε με σύνθετο τόκο (και ανατοκισμό στο τέλος κάθε έτους) το αρχικό κεφάλαιο μετά από ν έτη θα γίνει: S=P(1+r/100)ν Πόσο θα γίνει αρχικό κεφάλαιο 1000€ μετά από 10 έτη αν τοκιστεί με σύνθετο τόκο και ετήσιο επιτόκιο 8%; Με την εφαρμογή του τύπου θα έχουμε S=P(1+r/100)ν = 1000(1+0.08)10 = 1000 (1.08)10 =1000 Χ 2.159 =2159 €

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 - επανάληψη Αρχικό κεφάλαιο 25.000€ επενδύεται με ετήσιο επιτόκιο 12% και ανατοκισμό. Μετά από πόσα έτη η επένδυση θα υπερβεί για πρώτη φορά το ποσό των 250.000€; Επίλυση S=P(1+r/100)ν δηλαδή 250.000 = 25.000(1+0.12)ν 10 = (1.12)ν log 10 = log (1.12)ν log 10 = ν log (1.12) ν = 1/ log (1.12) ν = 1/ 0.049 ν = 20.48

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 – επανάληψη Έστω αρχικό κεφάλαιο 10 € το οποίο επενδύεται για ένα έτος με επιτόκιο 12%. Ποια θα είναι η μελλοντική αξία αν ο ανατοκισμός είναι: (α) ετήσιος (β) εξαμηνιαίος (γ) τριμηνιαίος (δ) μηνιαίος και (ε) εβδομαδιαίος Επίλυση Σύμφωνα με τον τύπο που δίνει το κεφάλαιο στο τέλος της περιόδου επένδυσης έχουμε S=P(1+r/100)ν με P=10€ r=12 και ν=1 για τον ετήσιο ανατοκισμό, δηλαδή S=10(1+12/100)1 = 10 Χ (1.12) = 11.20 € (β) Στον ίδιο τύπο με εξαμηνιαίο ανατοκισμό έχουμε δύο περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/2=6 και ν=2 S=10(1+6/100)2 = 10 Χ (1.06)2 = 10 Χ 1.1236 = 11.24 €

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (συνέχεια) - επανάληψη (γ) Στον ίδιο τύπο με τριμηνιαίο ανατοκισμό έχουμε τέσσερις περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/4=3 και ν=4 S=10(1+3/100)4 = 10 Χ (1.03)4 = 10 Χ 1.125 = 11.26 € (δ) Στον ίδιο τύπο με μηνιαίο ανατοκισμό έχουμε δώδεκα περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/12=1 και ν=12 S=10(1+1/100)12 = 10 Χ (1.01)12 = 10 Χ 1.1268 = 11.27 € (ε) Στον ίδιο τύπο με εβδομαδιαίο ανατοκισμό έχουμε πενήντα δύο περιόδους που ο τόκος γίνεται κεφάλαιο, δηλαδή P=10€ r=12/52=0.23 και ν=52 S=10(1+0.23/100)52 = 10 Χ (1.0023)52 = 10 Χ 1.1269 = 11.27 €

ΜΑΘΗΜΑ 4ο - ΑΠ Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε δυνάμεις και λογαρίθμους, αντιλαμβάνεστε την έννοια του επιτοκίου και του τόκου, χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές.

ΠΡΟΟΔΟΙ - ΣΕΙΡΕΣ Σε μια ακολουθία αριθμών υπάρχει η περίπτωση ο κάθε όρος της ακολουθίας να προκύπτει από το γινόμενο του προηγούμενου όρου με κάποιο σταθερό μη μηδενικό αριθμό ρ (όπου ρ≠1). Τότε λέμε ότι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο τον α και λόγο ρ. Έστω η σειρά (ακολουθία) των αριθμών 2,6,18,54,…. Κάθε όρος προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον προηγούμενο με το 3 Το 3 ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου και ο πρώτος όρος είναι α=2

ΠΡΟΟΔΟΙ - ΣΕΙΡΕΣ Να ελέγξετε αν οι παρακάτω ακολουθίες είναι γεωμετρικές πρόοδοι και για όσες είναι να βρείτε το λόγο τους (α) 3,6,12,24,…. (β) 5,10,15,20,…. (γ) 1,-3,9, -27,…. (δ) 8,4,2,1,1/2,… (ε) 500, 500(1.07), 500(1.07)2, 500(1.07)3,…. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το α και λόγο ρ είναι: 𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 Να βρεθεί ο επόμενος όρος της ακολουθίας 1,2,4,8,… και στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα των 5 πρώτων όρων. Επίλυση Η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α=1 και λόγο ρ=2, επομένως ο επόμενος όρος της είναι 8Χ2=16=1Χ24 Το άθροισμα είναι 1+2+4+8+16=31 ή 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =1 2 5 −1 2−1 = 32−1 1 =31

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να υπολογιστεί το άθροισμα 100 + 100(1.07) + 100(1.07)2 + … +100 (1.07)20 Επίλυση Οι 21 όροι του αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α=100 και λόγο ρ=1.07, επομένως 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =100 (1.07) 21 −1 1.07−1 =100 4.14−1 0.07 =4486.5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Ένα άτομο καταθέτει 100€ σε λογαριασμό τράπεζας στην αρχή κάθε μήνα. Η τράπεζα προσφέρει επιτόκιο 12% με μηνιαίο ανατοκισμό. (α) Ποιο ποσό θα συγκεντρωθεί στο τέλος ενός έτους; (β) Μετά από πόσους μήνες το ποσό θα υπερβεί τις 2.000€ για πρώτη φορά;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Επίλυση (α) Αν στον πρώτο μήνα καταθέσει 100€ αυτό θα ανατοκιστεί 12 φορές. Επομένως στο τέλος του έτους το ποσό θα γίνει 100(1+0.01)12 Το ποσό του δεύτερου μήνα θα ανατοκιστεί 11 φορές δηλαδή θα γίνει 100(1+0.01)11 Το ποσό του τρίτου μήνα θα ανατοκιστεί 10 φορές δηλαδή θα γίνει 100(1+0.01)10 κοκ Το ποσό του τελευταίου μήνα θα ανατοκιστεί 1 φορά δηλαδή θα γίνει 100(1+0.01)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Επομένως θα έχουμε γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α=100(1.01)=101 και ρ=1.01, επομένως θέλουμε το άθροισμα των 12 πρώτων όρων, άρα: 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =101 (1.01) 12 −1 1.01−1 =101 1.127−1 0.01 =1280.9

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (β) Ζητάμε το ν εκείνο για το οποίο 2000=101 1.01 𝜈 −1 1.01−1 19.80= 1.01 𝜈 −1 0.01 0.198= 1.01 𝜈 −1 1.01 𝜈 =1.198 ln(1.01 𝜈 )=ln(1.198) ν ln(1.01) = ln (1.198) 0.01 ν = 0.181 ν = 18.1