ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ Κλεάνθης Συρακούλης

Επίλυση Προβλημάτων Δρομολόγησης Έργων Με Περιορισμούς Πόρων Solving Resource Constrained Project Scheduling Problems – RCPSPs Επίλυση Προβλημάτων Δρομολόγησης Έργων Με Περιορισμούς Πόρων

ΣΚΟΠΟΣ Κατανόηση των απαιτήσεων του έργου σε πόρους, Κατανόηση της επίδρασης των διαθέσιμων πόρων στην εφικτότητα του χρονοδιαγράμματος, Κατανόηση της σύνδεσης του κόστους με τους πόρους και το χρονοδιάγραμμα.

ΜΑΘΗΜΑ 8 - ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Το πρόβλημα των πόρων ΜΑΘΗΜΑ 8 - ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Το πρόβλημα των πόρων Περιγραφή (Τα στοιχεία του) προβλήματος Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος Ένα παράδειγμα Η υπολογιστική πολυπλοκότητα Έλεγχος εφικτής λύσης

Το πρόβλημα των πόρων Ένα resource-constrained project scheduling problem (RCPSP) υποθέτει: Πόρους σε περιορισμένη διαθεσιμότητα και Δραστηριότητες με γνωστή διάρκεια και απαιτήσεις σε πόρους, οι οποίες συνδέονται με συγκεκριμένες σχέσεις αλληλουχίας. Το πρόβλημα έγκειται στην εύρεση χρονοδιαγράμματος με ελάχιστη διάρκεια στο οποίο σε κάθε δραστηριότητα βάζουμε ως χρόνο έναρξης τέτοιο ώστε να τηρούνται αφενός οι αλληλουχίες και, αφετέρου η διαθεσιμότητα των πόρων.

Το πρόβλημα των πόρων Ένα RCPSP ορίζεται ως ένα πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης (combinatorial optimization problem). Ένα τέτοιο πρόβλημα ορίζεται από το χώρο λύσεων X, ο οποίος είτε είναι διακριτός ή μπορεί να αναχθεί σε ένα διακριτό σύνολο, και από ένα υποσύνολο των εφικτών λύσεων Y ⊆ X συνδεδεμένο με την αντικειμενική συνάρτηση f :Y →R.

Το πρόβλημα των πόρων Ένα πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης σκοπεύει στην εύρεση μιας εφικτής λύσης y ∈ Y τέτοιας ώστε το f(y) να μεγιστοποιείται ή να ελαχιστοποιείται. Γενικότερα, ένα RCPSP είναι πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης καθοριζόμενο από μια διατεταγμένη εξάδα (V, p, E,R,B, b).

Τα στοιχεία του προβλήματος Οι δραστηριότητες που αποτελούν το έργο προσδιορίζονται από το σύνολο V = {A0, . . . , An+1}. Η δραστηριότητα A0 αναπαριστά την έναρξη και η An+1 το τέλος του χρονοδιαγράμματος. Το σύνολο των δραστηριοτήτων με μη μηδενική διάρκεια συμβολίζεται ως A = {A1, . . . , An}. Οι διάρκειες αναπαρίστανται με ένα διάνυσμα p του χώρου Nn+2 , όπου pi η διάρκεια της δραστηριότητας Ai, με p0 = pn+1 = 0.

Τα στοιχεία του προβλήματος Οι σχέσεις αλληλουχίας δίνονται από το σύνολο E, το οποίο αποτελείται από ζεύγη τέτοια ώστε όταν το (Ai,Aj) ∈ E σημαίνει ότι η δραστηριότητα Ai προηγείται της Aj . Ένα γράφημα activity-on-node G(V,E) ορίζεται όπου οι κόμβοι αντιστοιχούν σε δραστηριότητες και τα βέλη δηλώνουν τις σχέσεις αλληλουχίας. Υποθέτουμε ότι το G δεν περιέχει κυκλική σχέση. Οι ανανεώσιμοι πόροι τυπικά συμβολίζονται από το σύνολο R = {R1, . . . , Rq}.

Τα στοιχεία του προβλήματος Οι διαθεσιμότητες των πόρων αναπαρίστανται με το διάνυσμα B στο χώρο Nq έτσι ώστε το Bk να δηλώνει τη διαθεσιμότητα του πόρου Rk. Συγκεκριμένα, ένας πόρος Rk για τον οποίον ισχύει Rk = 1 καλείται διαζευκτικός (disjunctive) πόρος. Αλλιώς, ο πόρος μπορεί να εκτελέσει περισσότερες δραστηριότητες σε δεδομένη χρονική στιγμή και καλείται σωρευτικός πόρος.

Τα στοιχεία του προβλήματος Η ζήτηση των δραστηριοτήτων για πόρους συνοπτικά συμβολίζεται με b, έναν (n+2)×q ακέραιο πίνακα, έτσι ώστε το bik να δηλώνει το σύνολο των μονάδων του πόρου Rk που απαιτεί σε κάθε χρονική περίοδο η δραστηριότητα Ai για την υλοποίησή της.

Η μαθηματική διατύπωση Ένα χρονοδιάγραμμα είναι ένα σημείο S στο χώρο Rn+2 έτσι ώστε το Si να αναπαριστά το χρόνο έναρξης της δραστηριότητας Ai. Με Ci δηλώνεται ο χρόνος λήξης της δραστηριότητας Ai, όπου Ci = Si+pi. Το S0 αναφέρεται ως σημείο έναρξης του έργου και ισχύει S0 = 0.

Η μαθηματική διατύπωση Μια λύση Si είναι εφικτή αν είναι συμβατή με τους περιορισμούς που προκύπτουν από τις αλληλουχίες (1.1) και τους περιορισμούς που προκύπτουν από τους πόρους (1.2) όπως εκφράζονται παρακάτω, όπου At = {Ai ∈ A | Si ≤ t < Si + pi} δηλώνει το σύνολο των δραστηριοτήτων μη μηδενικής διάρκειας οι οποίες είναι σε εξέλιξη τη χρονική στιγμή t.

Η μαθηματική διατύπωση Η βέλτιστη λύση για το χρονοδιάγραμμα S ισούται με την τιμή Sn+1. Το παραπάνω ορισμένο σύνολο At και οι περιορισμοί που υπάρχουν δεν μπορούν να διακοπούν από τη στιγμή που ξεκίνησαν. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι γνωστό ως μη ύπαρξη δυνατότητας προτίμησης (not preemption). Επομένως, το RCPSP ορίζεται: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Το RCPSP είναι πρόβλημα εύρεσης ενός μη προτιμησιακού χρονοδιαγράμματος S διάρκειας Sn+1 το οποίο να είναι συμβατό με τις αλληλουχίες (1.1) και τους περιορισμούς των πόρων (1.2).

Ένα παράδειγμα Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 pi 6 1 2 3 5 4 bi1 bi2 Δίνεται ένα RCPSP με n = 10 πραγματικές δραστηριότητες και |R| = 2 πόρους με αντίστοιχη διαθεσιμότητα B1 = 7 και B2 = 4

Η υπολογιστική πολυπλοκότητα Σύμφωνα με τη θεωρία της πολυπλοκότητας, το RCPSP είναι ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Ανήκει στην κατηγορία των NP-hard προβλημάτων. Σύμφωνα με τη θεωρία της πολυπλοκότητας για να είναι εφικτή η βελτιστοποίηση ενός προβλήματος NP-hard πρέπει η εκδοχή των αποφάσεων για το πρόβλημα να είναι NP-complete

Η υπολογιστική πολυπλοκότητα Ας ορίσουμε την εκδοχή των αποφάσεων για το RCPSP. Έστω H ένας αυθαίρετα μεγάλος ακέραιος. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2. Η εκδοχή των αποφάσεων για το RCPSP είναι το πρόβλημα του προσδιορισμού πότε υπάρχει ή όχι, ένα χρονοδιάγραμμα S με διάρκεια Sn+1 όχι μεγαλύτερη από τον H το οποίο να τηρεί τους περιορισμούς (1.1) και (1.2). Γενικά, ένα πρόβλημα αποφάσεων είναι NP αν μπορούμε να επαληθεύσουμε μέσα σε πολυωνυμικό χρόνο κατά πόσο μια ενδεικτική λύση είναι εφικτή.

Έλεγχος εφικτής λύσης

Έλεγχος εφικτής λύσης C1 6 C2 1 C3 C4 2 C5 4 C6 C7 7 C8 5 C9 C10 10 Ai Έλεγχος εφικτής λύσης   C1 6 C2 1 C3 C4 2 C5 4 C6 C7 7 C8 5 C9 C10 10 Ai pi Si Ci A1 - 6 A2 1 A3 A4 2 A5 Α2 3 4 A6 5 A7 Α3 7 A8 Α4 A9 Α5 A10 Α6-Α9 10

Έλεγχος εφικτής λύσης 2: ταξινόμησε το L σε αύξουσα σειρά Έλεγχος εφικτής λύσης 2: ταξινόμησε το L σε αύξουσα σειρά ΒΗΜΑ 2 Ταξινομώ το σύνολο σε αύξουσα σειρά: L= {1,2,4,5,6,7,10}

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης Ai pi Si Ci A1 - 6 A2 1 A3 A4 2 A5 Α2 3 4 A6 5 Έλεγχος εφικτής λύσης Ai pi Si Ci A1 - 6 A2 1 A3 A4 2 A5 Α2 3 4 A6 5 A7 Α3 7 A8 Α4 A9 Α5 A10 Α6-Α9 10

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης  

Έλεγχος εφικτής λύσης ΒΗΜΑ 8 Θέτω ο=6+b41=6+2=8 και F={Α1,A2,Α3,Α4} Έλεγχος εφικτής λύσης ΒΗΜΑ 8 Θέτω ο=6+b41=6+2=8 και F={Α1,A2,Α3,Α4} BHMA 9 endif 10: if o >Bk then ΒΗΜΑ 10 Ελέγχω αν ο > Β1 (8>7) ΙΣΧΥΕΙ και πάω στο 11: το S δεν είναι εφικτό ΒΗΜΑ 11 Το οποίο εμφανίζει το μήνυμα «το S δεν είναι εφικτό»

Έλεγχος εφικτής λύσης 12: return false Έλεγχος εφικτής λύσης 12: return false ΒΗΜΑ 12 Βγαίνει το μήνυμα ότι ο αλγόριθμος σταματάει γιατί απέτυχε Στην περίπτωση που χρειαζόταν 1 μονάδα πόρου για την Α4 τότε ο αλγόριθμος θα συνέχιζε τον έλεγχο για την επάρκεια του πόρου R2 στην ίδια χρονική περίοδο και στις ίδιες δραστηριότητες.

ΜΑΘΗΜΑ 8 ΙII - ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιγραφή του προβλήματος Μέθοδοι αντιμετώπισης Παράδειγμα Ταξινόμηση μεθόδων αντιμετώπισης Συμπεράσματα

Περιγραφή Προβλήματος (1) Ένα έργο αποτελείται από n δραστηριότητες Οι δραστηριότητες 1 και n προσδιορίζουν αντίστοιχα την έναρξη και τη λήξη του έργου Δύο είδη περιορισμών: εξαρτήσεις προήγησης που περιορίζουν τη δραστηριότητα j να μη μπορεί να ξεκινήσει πριν τελειώσουν όλες οι προαπαιτούμενές της πλήθος πόρων που απαιτείται για την εκτέλεση της κάθε δραστηριότητας, το οποίο δύναται να είναι περιορισμένο

Περιγραφή Προβλήματος (2) Διαθέτουμε το σύνολο K των πόρων. Η δραστηριότητα j για να εκτελεστεί απαιτεί rjk μονάδες ενός πόρου κ  Κ, καθ’ όλη τη χρονική της διάρκεια pj. Ο πόρος τύπου κ παρουσιάζει περιορισμένη διαθεσιμότητα - μονάδες (Rκ), για κάθε χρονική στιγμή εκτέλεσης του έργου. Η αρχική και η τελική δραστηριότητα έχουν pj = 0 και rjk = 0, για κάθε κ  Κ.

Κατηγορίες RCPSPs (1) Single-Mode RCPSP (SMRCPSP) Η διάρκεια και οι απαιτήσεις σε πόρους για κάθε δραστηριότητα είναι σταθερές. Multi-Mode RCPSP (MMRCPSP) Κάθε δραστηριότητα μπορεί να εκτελεστεί με ένα διαφορετικό τρόπο (mode) από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών. Κάθε τρόπος καθορίζει τη διάρκεια και τις απαιτήσεις σε πόρους της κάθε δραστηριότητας. Μη κανονικές αντικειμενικές συναρτήσεις Η τιμή της κανονικής αντικειμενικής συνάρτησης δεν καθίσταται ποτέ χειρότερη με τη μείωση του χρόνου περάτωσης μιας δραστηριότητας, χωρίς ταυτόχρονα να επηρεάζεται ο χρόνος λήξης οποιασδήποτε άλλης δραστηριότητας. Στοχαστικά RCPSPs O χρόνος εκτέλεσης των δραστηριοτήτων είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μια κατανομή πιθανοτήτων.

Κατηγορίες RCPSPs (2) RCPSPs αναγόμενα σε προβλήματα γεμίσματος κουτιών με αντικείμενα (Bin packing related RCPSPs). Έχουμε ένα συγκεκριμένο μέγεθος κουτιών και αντικείμενα με διαφορετικά μεγέθη. Στόχος είναι να τοποθετήσουμε όλα τα αντικείμενα σε όσο το δυνατό λιγότερα κουτιά. Η ποσότητα των διαθέσιμων μονάδων κάθε πόρου αντιστοιχεί σε ένα κουτί. Οι απαιτήσεις κάθε δραστηριότητας αντιστοιχούν στο μέγεθος ενός αντικειμένου. RCPSPs με πολλούς τύπους πόρων (MRCPSPs) Στα MRCPSPs μια δραστηριότητα μπορεί να απαιτεί πόρους διαφορετικού τύπου. Οι δραστηριότητες μπορούν να εκτελεστούν είτε παράλληλα είτε σε σειρά. Τέτοια προβλήματα αντιμετωπίζονται συχνά στη διαχείριση παραγωγικών διαδικασιών.

Κατηγορίες Πόρων Ανανεώσιμοι Μη ανανεώσιμοι Μερικώς ανανεώσιμοι Διπλά περιορισμένοι

Βέλτιστες Προσεγγίσεις Οδηγούν στη βέλτιστη λύση αλλά χρειάζονται μεγάλους υπολογιστικούς χρόνους. Δεν είναι κατάλληλες για σύνθετα προβλήματα. Τέτοιες είναι: ο δυναμικός προγραμματισμός, ο ακέραιος 0 – 1 προγραμματισμός, οι τεχνικές διακλάδωσης και φράγματος.

Ευρετικές Προσεγγίσεις Δρομολόγηση με βάση κανόνες-τιμές προτεραιότητας (priority rule-based heuristics) Δειγματοληπτικές τεχνικές (sampling methods) Ευρετικές μέθοδοι που βασίζονται σε τεχνικές διακλάδωσης και φράγματος Μέθοδος διαζευκτικών τόξων (disjunctive arc concepts Ευρετικές μέθοδοι βασισμένες στον ακέραιο προγραμματισμό (integer programming based heuristics) Μετά-ευρετικές τεχνικές, όπως προσομοιωμένη ανώπτυση (simulated annealing) και γενετικοί αλγόριθμοι

Σχήματα Δρομολόγησης Τα σχήματα δρομολόγησης (Schedule Generation Schemes – SGS) αποτελούν τον πυρήνα των περισσοτέρων ευρετικών μεθόδων Δημιουργούν, αρχικά, ένα μερικό χρονοπρόγραμμα και με σταδιακή επέκτασή του καταλήγουν σε ένα εφικτό χρονοπρόγραμμα Διακρίνονται σε ακολουθιακά και παράλληλα SGS

Δρομολόγηση Με Βάση Κανόνες Προτεραιότητας Δρομολόγηση Με Βάση Κανόνες Προτεραιότητας Χρησιμοποιούν ένα ακολουθιακό ή παράλληλο SGS και έναν η περισσότερους κανόνες προτεραιότητας Ανάλογα με τον αριθμό των εφικτών χρονοπρογραμμάτων που δημιουργούν διακρίνονται σε: Single Pass Multi Pass Methods

Ενδεικτικοί Κανόνες Προτεραιότητας GRPW (greatest rank positional weight) LFT (latest finish time) LST (latest start time) MSLK (minimum slack) MTS (most total successors) RSM (resource scheduling method) SPT (shortest processing time) WCS (worst case slack)

Παράδειγμα-Βήμα 1

Παράδειγμα-Βήμα 2

Παράδειγμα-Βήμα 3

Παράδειγμα-Βήμα 4

Παράδειγμα 2

Κατάταξη Τεχνικών Πρόβλημα Στόχος Βέλτιστες προσεγγίσεις Ευρετικές προσεγγίσεις SMRCPSP Ελαχιστοποίηση διάρκειας Dynamic programming Zero - one programming Implicit enumeration with branch and bound Priority-rule-based scheduling Truncated branch and bound Disjunctive arc concepts Meta-heuristic techniques Integer programming based heuristics Μεγιστοποίηση καθαρής παρούσας αξίας Binary integer programming Zero - one programming, backtracking algorithms Branch and bound algorithms Optimization-guided Parameter based Meta-heuristics approaches MMRCPSP Simulated annealing Genetic algorithms

Συμπεράσματα Βέλτιστες προσεγγίσεις: απαιτούν μεγάλο υπολογιστικό χρόνο Από τις ευρετικές που βασίζονται σε κανόνες προτεραιότητας η τροποποιημένη Regret Biased Random Sampling δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα Συνολικά η ποιότητα των λύσεων που δίνουν οι βασισμένες σε κανόνες προτεραιότητας ευρετικές δεν είναι ικανοποιητική Στις ευρετικές μεθόδους που βασίζονται σε τεχνικές διακλάδωσης και φράγματος με τη χρησιμοποίηση του παράλληλου SGS είναι πιθανό να αποκλειστεί η βέλτιστη λύση, αλλά οι λύσεις που δίνουν είναι κοντά στις βέλτιστες και δίνονται σε πολύ μικρό χρόνο.