Ταλάντωση & Αρμονική Κίνηση

Ταλάντωση & Αρμονική Κίνηση Η μαθηματική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή απαντάται σε μια πληθώρα φυσικών φαινομένων στην φυσική αλλά και σε άλλες επιστήμες. οι ταλαντώσεις ενός ελατηρίου οι ταλαντώσεις των φορτίων στα ηλεκτρικά κυκλώματα οι ταλαντώσεις των ατόμων στον κρυστάλλου χαλαζία σε ένα ρολόι οι δονήσεις των ηλεκτρονίων στα άτομα οι οποίες παράγουν φωτεινά κύματα οι δονήσεις ηχητικών πηγών που παράγουν ηχητικά κύματα η παλινδρομική κίνηση των εμβόλων στη μηχανή των αυτοκινήτων κ.α.

Ταλάντωση & Αρμονική Κίνηση Όλα αυτά τα φαινόμενα περιγράφονται από μαθηματικές εξισώσεις που ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Αρμονικός ταλαντωτής ο αρμονικός ταλαντωτής παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον : κάθε περιοδική κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως συνδυασμός απλών αρμονικών κινήσεων (Θεώρημα Fourrier), με μεγάλο εύρος εφαρμογών σε πολλούς επιστημονικούς τομείς. η σπουδαιότητα του αρμονικού ταλαντωτή κάθε ταλάντωση μικρού πλάτους γύρω από τη θέση ισορροπίας αποτελεί σε καλή προσέγγιση απλή αρμονική κίνηση. στη φύση οι μικρές διαταραχές γύρω από το σημείο ισορροπίας στο οποίο βρίσκονται τα φυσικά συστήματα, έχουν την ιδιότητα να παραμένουν μικρές, έχει ως αποτέλεσμα το σύστημα του αρμονικού ταλαντωτή να περιγράφει πληθώρα διαφορετικών φυσικών φαινομένων

Περιοδική κίνηση : H επαναλαμβανόμενη κίνηση ενός σώματος κατά την οποία το σώμα επιστρέφει σε μια δεδομένη θέση ισορροπίας μετά από κάποιο καθορισμένο χρονικό διάστημα. Ταλάντωση : Η επαναλαμβανόμενη παλινδρομική κίνηση πάνω στην ίδια διαδρομή Μια ειδική περίπτωση ταλάντωσης είναι η απλή αρμονική ταλάντωση. Κάθε σύστημα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται απλός αρμονικός ταλαντωτής Απλή αρμονική ταλάντωση : η δύναμη (F) που ασκείται σε ένα σώμα είναι ανάλογη με το μέτρο της απομάκρυνσής του (x) από τη θέση ισορροπίας του και δρα με τέτοιον τρόπο ώστε τείνει πάντα να το επαναφέρει σε αυτήν (δύναμη επαναφοράς )

η απλή αρμονική ταλάντωση μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή σε άξονα, ενός φανταστικού υλικού σημείου το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. καθώς το σωματίδιο περιστρέφεται, διαγράφοντας επαναληπτικά την κυκλική τροχιά του, η προβολή του (Σy) πάνω στον κατακόρυφο άξονα y ταλαντώνεται αδιάκοπα ανάμεσα στις ακραίες θέσεις

T ωt+φ0 πλάτος της ταλάντωσης. Η σταθερά Α που αντιστοιχεί στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης και η οποία ισούται με την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς φάση της ταλάντωσης H ποσότητα που αντιστοιχεί στη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου με τον άξονα y σε κάθε χρονική στιγμή Η γωνιακή ταχύτητα ω της κυκλικής κίνησης του Σ ονομάζεται κυκλική συχνότητα ω του ταλαντούμενου σημείου Σy. περίοδος O χρόνος που απαιτείται ώστε το ταλαντούμενο σώμα να επανέλθει στην ίδια θέση. Είναι προφανές ότι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη περιστροφή του σωματιδίου Σ στην κυκλική τροχιά του (δηλαδή η περίοδος Τ της κυκλικής κίνησης) είναι ίσος με το χρόνο για μια πλήρη ταλάντωση της προβολής Σy μεταξύ των ακραίων θέσεων της κίνησής του

και η προβολή (Σx) του σωματιδίου Σ πάνω στον άξονα Οx εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η ομαλή κυκλική κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως συνδυασμός δύο απλών αρμονικών κινήσεων μία κατά τον άξονα x και μια κατά τον άξονα y οι οποίες διαφέρουν κατά μια φάση ίση με 90ο .

Ταχύτητα στην αρμονική ταλάντωση μέγιστη ταχύτητα του σημείου Σy

επιτάχυνση στην αρμονική ταλάντωση Μέγιστη επιτάχυνση του σωματιδίου

Ταχύτητα και επιτάχυνση στην αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση και η απομάκρυνση παρουσιάζουν διαφορά φάσης 180ο. Αυτό σημαίνει ότι η φορά της επιταχύνσεως είναι πάντα αντίθετη από τη φορά της απομακρύνσεως. Στο σημείο ισορροπίας: y=0 α=0 ένα κινητό κατά τη διάρκεια γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης έχει μέγιστη επιτάχυνση όταν βρίσκεται στα ακραία σημεία απομάκρυνσής του από το σημείο ισορροπίας.

Διαφορική εξίσωση της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης Η συνισταμένη δύναμη που πρέπει να ασκηθεί σε σωματίδιο μάζας m για να εκτελέσει αρμονική ταλάντωση η δύναμη μηδενίζεται στο σημείο ισορροπίας (όπως και η επιτάχυνση). Έτσι αν το σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο στο σημείο Ο θα παραμείνει ακίνητο στην ίδια θέση. η δύναμη παίρνει τη μέγιστη τιμή της στα ακραία σημεία της ταλάντωσης, έχει δε πρόσημο αντίθετο της απομάκρυνσης, δηλαδή όταν το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας η δύναμη τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας, και για αυτό καλείται δύναμη επαναφοράς σταθερά επαναφοράς

Διαφορική εξίσωση της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης η περίοδος Τ μιας αρμονικής ταλάντωσης γενική μορφή της διαφορικής εξίσωσης κίνησης στη γραμμική αρμονική ταλάντωση

Ενεργειακές σχέσεις στη γραμμική αρμονική ταλάντωση Η ολική μηχανική ενέργειά σωματιδίου που ταλαντώνεται (έστω κατά τη διεύθυνση y) οφείλεται στην κινητική του ενέργεια (λόγω της ταχύτητάς του) τη δυναμική του ενέργεια (λόγω της θέσης του και της δύναμης επαναφοράς που ασκείται επάνω του). κινητική ενέργεια: η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη στο σημείο y=0 και μηδενίζεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης δυναμική ενέργεια: Ολική μηχανική ενέργεια:

Για y=A Ενεργειακές σχέσεις στη γραμμική αρμονική ταλάντωση Ολική μηχανική ενέργεια: η ολική μηχανική ενέργεια του είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους της ταλάντωσης και διατηρείται σταθερή, σύμφωνα με το νόμο διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. στο κέντρο της ταλάντωσης (y=0) η μηχανική ενέργεια του σωματιδίου οφείλεται αποκλειστικά στην κινητική του ενέργεια διότι η δυναμική του ενέργεια μηδενίζεται αντίθετα στα ακραία σημεία της ταλάντωσης οφείλεται στη δυναμική του ενέργεια , δεδομένου ότι η κινητική του ενέργεια μηδενίζεται Για y=A

Ταλαντούμενα ελατήρια σταθερά επαναφοράς k ονομάζεται σταθερά Hooke του ελατηρίου, εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και το υλικό του ελατηρίου έχει σταθερή τιμή για απομακρύνσεις που δεν ξεπερνούν μια οριακή τιμή (εντός της ελαστικής περιοχής του ελατηρίου). Η εξίσωση κίνησης του συστήματος είναι

Ταλαντούμενα ελατήρια στη θέση ισορροπίας x=0 είναι:

Απλό ή μαθηματικό εκκρεμές η κίνηση είναι προσεγγιστικά απλή αρμονική ταλάντωση Bt ενεργεί πάντοτε προς τη θέση ισορροπίας θ=0o αντίθετη από τη φορά της απομάκρυνσης του σώματος, δηλαδή δρα ως δύναμη επαναφοράς. Αν αποδειχτεί ότι η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της απομάκρυνσης του σωματίου από τη θέση ισορροπίας, τότε η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση. για μικρές απομακρύνσεις το απλό εκκρεμές εκτελεί κατά προσέγγιση αρμονική ταλάντωση: ανεξάρτητη από τη μάζα του αναρτώμενου σώματος. περίοδος του απλού εκκρεμούς

Φυσικό εκκρεμές Κάθε στερεό (εκτεταμένο) σώμα που είναι αναρτημένο με τέτοιον τρόπο ώστε να μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, ονομάζεται φυσικό εκκρεμές εξίσωση της περιστροφικής κίνησης του σώματος Για μικρές γωνίες εκτροπής θ: ανηγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς: Δηλαδή αν θεωρήσουμε όλη τη μάζα του φυσικού εκκρεμούς συγκεντρωμένη σε ένα υλικό σημείο το οποίο απέχει από το σημείο περιστροφής Ο κατά το ανηγμένο μήκος προκύπτει ένα απλό εκκρεμές με την ίδια περίοδο

Στροφικό εκκρεμές περίοδος της ταλάντωσης Το στροφικό εκκρεμές ή στροφικός ταλαντωτής είναι ένα σύστημα ενός στερεού σώματος κρεμασμένου στο ένα άκρο σύρματος στερεωμένου σε σταθερό στήριγμα. Αν το σώμα στραφεί κατά γωνία θ, το συστραμμένο σύρμα εξασκεί στο σώμα ροπή επαναφοράς η οποία για μικρές γωνιακές απομακρύνσεις θ είναι ανάλογη της γωνιακής απομάκρυνσης Η σταθερά D εξαρτάται από τις ιδιότητες του σύρματος και ονομάζεται σταθερά στρέψης. Προσοχή η κυκλική συχνότητα δεν θα πρέπει να συγχέεται με την γωνιακή ταχύτητα η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο: περίοδος της ταλάντωσης

Σώμα εξαρτάται από ελατήριο προκαλώντας την επιμήκυνσή του Σώμα εξαρτάται από ελατήριο προκαλώντας την επιμήκυνσή του. Στη συνέχεια εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο οπότε εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=2s. Ποιά η αρχική επιμήκυνση του ελατητρίου

Ένα σώμα τοποθετείται πάνω σε έμβολο που κινείται κατακόρυφα εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο 1s. Σε ποιό πλάτος της κίνησης θα αποχωριστεί το σώμα από το έμβολο ; Ν Το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση Για να αποχωριστεί το σώμα από το έμβολο Ν=0 Β

+ A mg T φ

Η συνολική δύναμη επαναφοράς είναι: Αν το σώμα μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας του κατά χ τότε η δύναμη επαναφοράς από κάθε ελατήριο είναι: Η συνολική δύναμη επαναφοράς είναι: Το σύστημα των δύο ελατηρίων μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο με ελατήριο σταθεράς: Άρα το σώμα εκτελεί αρμονική κίνηση με περίοδο:

Κεντρομόλος: Δύναμη επαναφοράς: Περίοδος της κίνησης: Για μικρές μετατοπίσεις η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη της μετατόπισης s , άρα το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση Περίοδος της κίνησης:

Αν στο σώμα ασκηθεί δύναμη F τότε καθε ελατήριο μετατοπίζεται από τη θέση ισορροπίας του κατά: Η συνολική μετατόπιση του σώματος είναι;

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Στα προηγούμενα παραβλέψαμε την τριβή που υπάρχει στα περισσότερα ταλαντούμενα συστήματα συντελώντας στη βαθμιαία ελάττωση του πλάτους τους και στο τελικό μηδενισμό του. Μια περίπτωση ταλάντωσης με απόσβεση που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι εκείνη κατά την οποία η δύναμη που αντιδρά στην κίνηση έχει μέτρο ανάλογο προς την ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος και φορά αντίθετη της φοράς της ταχύτητας: b είναι μια σταθερά : συντελεστής απόσβεσης Ο συντελεστής απόσβεσης b είναι ένας θετικός σταθερός αριθμός που εξαρτάται από την πυκνότητα και το ιξώδες του υγρού, από το μέγεθος και το σχήμα της βυθισμένης μάζας καθώς και από την απόσταση από τα τοιχώματα του δοχείου σταδιακή μείωση του πλάτους ταλάντωσης  η αρμονική ταλάντωση είναι «φθίνουσα».

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις κυκλική συχνότητα ταλάντωσης απουσία δύναμης απόσβεσης (φυσική συxνότητα ή ιδιο-συχνότητα του ταλαντωτή. σταδιακή μείωση του πλάτους ταλάντωσης, οπότε η αρμονική ταλάντωση είναι «φθίνουσα», άρα υποθέτουμε λύση της μορφής: Ανάλογα με την τιμή που έχει η σταθερά αποσβέσεως b διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: a ) περίπτωση πολύ μεγάλης απόσβεσης Φθίνουσα εκθετική (α)

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις το σύστημα προσεγγίζει εκθετικά τη θέση ισορροπίας χωρίς να την ξεπερνά και χωρίς να ταλαντώνεται. Η επιστροφή του σώματος στη θέση ισορροπίας του είναι η γρηγορότερη δυνατή

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις περίπτωση μικρής απόσβεσης Αν η αρχική ταχύτητα του συστήματος ειναι μηδενική τότε :

περίπτωση μικρής απόσβεσης το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται σύμφωνα με τον εκθετικό παράγοντα Το σώμα ξεπερνά την αρχική θέση ισορροπίας και πάλλεται με συχνότητα: όσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση b τόσο ταχύτερα ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντωσης . η συχνότητα της ταλάντωσης είναι μικρότερη της ιδιοσυχνότητας (άρα η περίοδος είναι μεγαλύτερη, δηλαδή όπως είναι αναμενόμενο η τριβή επιβραδύνει την κίνηση.) Η συχνότητα της ταλάντωσης εξαρτάται από το μέγεθος της απόσβεσης: όσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση τόσο μικρότερη είναι η συχνότητα της ταλάντωσης και μηδενίζεται όταν η τριβή πάρει τέτοια τιμή ώστε η υπόρριζη ποσότητα να μηδενιστεί

Απλό εκκρεμές μήκους l=1m εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Περίοδος της ταλάντωσης ? Ενέργεια ? Γενικά Αλλά το πλάτος μειώνεται:

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις στη περίπτωση που θέλουμε να διατηρήσουμε μια ταλάντωση με σταθερό πλάτος, όταν υπάρχει απόσβεση, κάποιος μηχανισμός πρέπει να προβλέπεται, για να παρέχει σε κάθε κύκλο, ποσό ενέργειας, ίσο προς αυτό που χάθηκε εξ αιτίας της απόσβεσης. Η απόκριση ενός ταλαντωτή σε μια εξωτερική διέγερση εξαρτάται εκτός των άλλων παραγόντων από τη σχέση ανάμεσα στη συχνότητα της διέγερσης και τη φυσική συχνότητα του ταλαντωτή. η εξωτερική δύναμη που αναγκάζει το σύστημα να ταλαντώνεται είναι περιοδική της μορφής: είναι η κυκλική συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Η μετατόπιση y ταλαντώνεται με συχνότητα ίση με τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης και παρουσιάζει διαφορά φάσης θ με την εξωτερική δύναμη το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό με το χρόνο και ισούται με το πλάτος της εξωτερικής δύναμης F πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα α

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις για μικρές τιμές του συντελεστή . (δηλαδή όταν τα φαινόμενα τριβής είναι ασθενή) ο πιο σημαντικός όρος που συνεισφέρει στο πλάτος της ταλάντωσης είναι ο όταν η συχνότητα της εξωτερικής δύναμης τείνει στην ιδιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται πολύ μεγάλο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ Δηλαδή το ταλαντούμενο σύστημα έχει πολύ μεγάλη απόκριση αρκεί να επιλέξουμε ως συχνότητα διέγερσης την ιδιοσυχνότητα του συστήματος

Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις καθώς ο συντελεστής απόσβεσης μειώνεται η κορυφή της καμπύλης αυξάνεται και η καμπύλη συντονισμού γίνεται οξύτερη Στην ιδανική περίπτωση στην οποία δεν θα υπήρχαν φαινόμενα τριβής το πλάτος θα έτεινε στο άπειρο