Το μπιλιάρδο, το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δύο ακεραίων αριθμών   Σωτήρης Γκιουλέας Επιβλέπων Καθηγητής: Ζήνων Λυγάτσικας Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Περιεχόμενο Τι είναι το πρόβλημα του μπιλιάρδου Παρατηρώντας την περίπτωση του μπιλιάρδου 4×6 Εύρεση του ΕΚΠ και απόδειξη Εύρεση του ΜΚΔ Περίπτωση όπου (α,β)=1 Περίπτωση όπου (α,β)≠1

Τι είναι το μαθηματικό μπιλιάρδο Το μαθηματικό ή αριθμητικό μπιλιάρδο είναι ένα ιδανικό μπιλιάρδο, στο οποίο ή μπάλα είναι αβαρής, και δεν υπάρχουν τριβές ή απώλεια κινητικής ενέργειας.

Ποιό είναι το Πρόβλημα της Μπάλλας του μπιλιάρδου; Έστω ένα ορθογώνιο αριθμητικό μπιλιάρδο με ακέραιες διαστάσεις. Η μπάλα εκτοξεύεται από την κορυφή Α με γωνία 45ο . Μεταξύ των ερωτήσεων του προβλήματος αναφέρουμε τις: Αν m/n o λόγος των πλευρών του μπιλιάρδου, πόσες φορές χτυπάει η μπάλα στις πλευρές του ορθογωνίου μέχρι να καταλήξει στη γωνία του παραλληλογράμμου; Μπορούμε να προβλέξουμε πότε η μπάλα θα βγεί από μία εκ των τεσσάρων κορυφών του ορθογωνίου?

Κατασκευή του ΕΚΠ, [α,β], α ≠ β Κατασκευή του ΕΚΠ, [α,β], α ≠ β ΕΚΠ των 4 και 6 Παίρνουμε ορθογώνιο τραπέζι με ακέραιες διαστάσεις α και β. Από κάποια γωνία εκτοξεύουμε μια μπάλα από γωνία 45°. Το μήκος της διαδρομής της μπάλας μέχρι αυτή να φτάσει σε κάποια γωνία είναι το ΕΚΠ των α και β επί το √2.

Απόδειξη για ορθογώνιο διαστάσεων 4×6 Εδώ θα έχεις γραμμένο σε ένα φύλλο την απόδειξη και θα την διαβάσεις

Μέγιστος κοινός διαιρέτης Μετράμε την απόσταση από την αρχή της τροχιάς της μπάλας ως το κοντινότερο σημείο διασταύρωσής της. Η απόδειξη γίνεται ανά περίπτωση: Αν ο ΜΚΔ των διαστάσεων του τραπεζιού είναι το 1 Αν ο ΜΚΔ των διαστάσεων του τραπεζιού είναι μεγαλύτερος του 1

ΜΚΔ των 3 και 5 Επειδή (3,5)=1, [3,5]=3×5 Η μπάλα θα περάσει από 3×5 μοναδιαία τετράγωνα, δηλαδή, από όλα τα μοναδιαία τετράγωνα. Άρα η τροχιά της μπάλας θα διασταυρωθεί 1 μοναδιαίο τετράγωνο από το σημείο εκκίνησής της.

ΜΚΔ των 3 και 4 ΜΚΔ των 6 και 8 Ανάγουμε την περίπτωση όπου ο ΜΚΔ των μηκών των πλευρών του τραπεζιού είναι διάφορος του 1, στην περίπτωση που είναι το 1

Βιβλιογραφία [1] Gardner, Martin (1984). Sixth Book of Mathematical Diversions from "Scientific American, University of Chicago Press. pp. 211 - 215. [2] Steinhaus, Hugo. (1999) Mathematical Snapshots, Dover Recreational Math Series ed., Courier Corporation. [3] Wikipedia: Λήμμα Arithmetic Billiards ή στο https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_billiards, τελευταία προσπέλαση 01/12/2018.

Ευχαριστώ για την προσοχή σας