el fortoplano al finitaj elementoj Stato ekvacioj Stato-ekvacioj Elasteco de elemento Rigideco de elemento Statika kaj kinematika kondichoj Metodo de fleksibleco Metodo de rigideco Dinamika ekvacio Versio 03

strukturo de konstruteorio Stato-ekvacioj La bazaj stato-ekvacioj estas vaste analizataj helpe de matricaj formuloj en verko de J.Szabo, B. Roller (1978). Chi tie oni montras ilin en unuigita, pli facile instruebla formo. Gheneralaj aspektoj Ox : priskribo de obiekto  Estas komenca tasko de analizado – elekti matematikan priskribmetodon de analizata obiekto. ghi povas esti la analitika geometrio de spaco au ebeno, la diferenciala geometrio, la teorio de struktur-nombroj. La supra indekso indikas la elektitan metodon, chi tie: x (au xyz) - kartezia rektangula koordinatsistemo. STA: statika aspekto  Difinas la tutecon de rilatoj inter la eksternaj fortoj agantaj al konstrukcio kaj evokitaj de ili internaj respondoj, t.e. internaj strechoj. GEO: geometria aspekto  Difinas la tutecon de rilatoj inter la translokigho de elektita materia punkto kaj la interna deformado de konstukcio. FIZ: fizika aspekto  Aplikado de fizika legho, kiu ligas la geometrian kaj statikan parton de tasko. Sur bildo-1 oni vidas la grafon kun operatoroj de priskribitaj aspektoj. La celo de chiu teorio estas trovi la rilaton inter kauzo kaj efiko. En konstru-teorio tiu celo estas trovi rilaton inter ekstera forto Q (kauzo) kaj translogigho de kunligita punkto q (efiko). Priskribo de rilatoj inter mekanikaj strechoj kaj deformoj (f ) estas tasko de materialscienco. Trovi operatorojn g , s ,  estas baza tasko de konstruteorioj. σ ε q Q Ωf Ωg Ωs Ox r GEO STA FIZ r, q, Q, σ, ε = vektoroj Ωi = operatoroj eksteraj aspektoj: Q - chiuj eksteraj fortoj agantaj al izolita konstusistemo en formo de kolumna matrico q - kolumna matrico (rilate al Q) kies elemento qi estas transloko de agadpunkto de forto Qi internaj aspektoj: σ - kolumna matrico de mekanikaj strechoj ekzistantaj en elektitaj korpopunktoj. ε - lunligita kun σ matrico de deformoj de

Identigo de konstrukcio en konstruajho strukturo de konstruteorio Identigo de konstrukcio en konstruajho Klare, ju pli simpla la konstrukcio des pli facila estas ghia teoria analizo. Inter konstrucioj ni diferncigas lau ilia amplekso ( linia, ebena, spaca) kaj ilia chefa eco dum eksploado. El konstruteoria vidpunkto tia chefa eco estas la fleksebleco je agantaj al ghi fortoj. Ekzemple, neniu volus uzadi ponton, kiu fleksighas tro alte dum traveturo. Do, ekzistas granda nombro da konstruajhoj, kies geometriaj ecoj ne povas videble shanghighi dum eksploado. Ni akceptas por ili nur malgrandajn deformojn . (La limoj de tiu grandeco estas teknike normigita.) Regulo de superpozicio Lau tiu regulo oni rajtas analizi influojn de variaj kauzoj (sharghoj) sendepende kaj simple sumigi la partajn efikojn al fina rezulto. Tiu regulo simplifigas la analizon sed estas nur valida por konstrukcioj de malgrandaj deformoj, kies geometriaj ecoj ne aliformighas kauze de sharghoj. Konstrukcio kaj elementoj chiu konstrukcio povas esti pritraktata kiel ara da konstrukciaj elementoj. Lau bezono oni rajtas plue dividi elementon ja subelementoj, ktp. En tabelo-1 estas klasifikitaj la bazaj konstru-elementoj. El ili oni povas konstrui iu ajn konstruajhon pere simpla kunligado de elementon kun alia en taugaj por tio nodoj. Do, ankau inverse. La konstruajhon oni povas teorie dividi je elementoj lauvole –sed estas konsilinde elekti iun teorian helpkriterion por ke la divido estu plej tauga por teoria anlizado. Eksteraj fortoj Qa Funkcio de konstruajho estas kontraustarigi al aktivaj fortoj Qa agantaj al multaj punktoj de ghia korpo. Eksteraj premoj qe La ligiloj de konstruajho kun grundo devas esti stabilaj. Sed okazas, ke translokoj qe de fundamentaj punktoj influas la tutan konstrukcian staton kaj estas necese prikalkuli ilian efikon. malgrandaj deformoj grandaj deformoj elemento kablo/shnuro apogilo/stango trabo cheno (salt)stango linia framo latiso disko plato krado ebena reto kesto kupolo shelo masivo spaca (limostatoj de konstrukcioj) Konstruelementoj

strukturo de konstruteorio Internaj premoj t (kinematika shargho) Influo de temperaturo, materia malshvelo, lantmovo, teknologia difekto ktp. elvokas premojn t en konstruajho, do ankau internaj strchoj. Por simplaj konstuajhoj oni ofte neglektas tiun influon pro kunligitaj kun tiu aspekto teoriaj malfacilajhoj. Identigado de konstrukcio Per nocio “konstruajho” ni komprenu la okule videblan obiekton. Por teoria analizo oni devas abstrahi de multaj fizikaj aspektoj, por ke la analizado ne estu infinite malfacila. Konstrukcio estas sistemo da elementoj, elektita per konstruanto, kiel teoria modelo de konstruajho. Difino de konstrukciaj elementoj okazas teorie pere elekto de nodoj en kiuj la elementoj kunligighas., au inverse – la nodoj dividigas la konstrukcion je elementoj. Elekto de nodoj okazas lauvole sed plej nature estas atenti la proprajhojn de konstruajho kaj praktikecon dum priskribado. Por analizado la konstrukcio devas esti identigita, t.e. izolita el la chirkauajho, Tio signifas, ke oni devas liberigi la konstrukcion el ligiteco kun grundo. Do, oni rajtas tranchi chiun ligilon kondiche, ke ni enkondukas en la tranchofaco respektivajn fortojn lau unua Newton-legho pri akcio kaj reakcio. Post liberigo de konstrukcio el ligiloj (anstatauigo per reakcioj) la izolita konstrukcio kun agantaj al ghi eksteraj fortoj devas resti en konstanta senmovo. Tio eblas nur, se chiuj fortoj agantaj al konstrukcio, la eksteraj fortoj kune kun reakcioj, estos en ekvilibro – ilia resultant-forto estos nulo!

Priskribo strukturo de konstruteorio Divido je elementoj Per elekto de nodoj (tranchoj) oni dividas la konstrukcion je elementoj. Ni numerigu chiun elementon per du indeksoj (i,j) – kie i estas numero de komenco kaj j numero de ghia fino (chiam j>i). Post denova kunmeto de elementoj en la nodoj ni ricevos ilian numeradon. Kartezia maldekstra koordinatsistemo (Kmk) Lau analizata tasko oni uzadas ebenan au spacan kmk. Ofte okazas, ke konstruajho posadas elementojn kies ecoj estas jam priskribitaj en alia Kmk‘. Do, elfuas tasko transponi la vektorojn el unua al alia KMK. Unue ni elektu ghenerala kmk (x,y,z) kaj priskribu en ghi koordinatojn de konstrukciaj nodoj. Por chiu elemento ni elektu lokan koordinatsistemon (ξ,η,ζ), kies komenco trovighas en komenca punkto (i) de elemento. La akso (ξ) direktita al fina punkto (j). Aksoj (η,ζ) direktitaj lau chefaj inercio-aksoj de trancho. La relativajn inklinojn de konstrukciaj elemntoj entenas la matrico Π, kies elementoj estas la direktaj cosinusoj inter respektivaj aksoj de ghenerala kaj loka kmk. Helpe de turnomatricoj Πo kaj Πo* oni povas lau bezono transponi vektorojn el unu al alia kwk. La longeco de vektoro estas komprenebla sendependa de kmk. ghi povas esti kalkulita en ghenerala kmk lau ekvacio: |vij | = √(xj-xi)2 + (yj-yi)2 + (zj-zi)2 Lau tiu rilato ni kalkulos la longecojn de chiuj (i,j) konstruelementoj. 12 4 5 2 3 i=8 j=9 7 3,4 8 5,6, 9 1,2 lij xyz ξηζ η ξ y x v( ξηζ )=П*v(xyz) v(xyz)=Пv(ξ,η,ζ) V Пo* Пo (П переобразование) cos(x,ξ) cos(y,ξ) cos(z,ξ) cos(x,η) cos(y,η) cos(z,η) cos(x,ζ) cos(y,ζ) cos(z,ζ) cos(ξ,x) cos(ξ,y) cos(ξ,z) cos(η,x) cos(η,y) cos(η,z) cos(ζ,x) cos(ζ,y) cos(ζ,z) Пo*= Пo= ПoПo* = [1]

strukturo de konstruteorio Nodo-sharghoj. Ni pritraktu momente nur eksternajn fortojn, agantaj en nodoj de konstrukcio. Ni priskribu ilin pere de ghiaj komponentoj lau aksoj de ghenerala kmk (x,y,z), ordigitaj kiel sekvas: Qn = (Qn,x Qn,y Qn,z Qn,yz Qn,xz Qn,xy) n - indekso de nodo Qn - matrico de eksterna shargho en nodo n Qn,x - forto-komponento lau akso x Qn,y - forto-komponento lau akso y Qn,z - forto-komponento lau akso z Qn,yz au Mn,x - momento en ebeno yz Qn,xz au Mn,y - momento en ebeno xz Qn,xy au Mn,z - momento en ebeno yz sharghojn de tuta konstrukcio entenas shargho-matrico Q = (Q0 Q1 ....Qn ...) Nodo-translokoj - Konforme al matrico de shargho Q ni priskribu matricon q, kiu entenas komponentoj de nodo-translokojn interkonformajn kun komponentoj de shargho-matrico Q, do analogie en por chiu nodo: qn = (qn,x qn,y qn,z qn,yz qn,xz qn,xy) qn - matrico de transloko de nodo n qn,x - transloko-komponento lau akso x qn,y - transloko-komponento lau akso y qn,z - transloko-komponento lau akso z qn,yz au mn,x - turnangulo en ebeno yz qn,xz au mn,y - turnangulo en ebeno xz qn,xy au mn,z - turnangulo en ebeno yz Transloko-komponentojn de tuta konstrukcio entenas transloko-matrico q = (q0 q1 ....qn ...) xyz q0 q1 .. qn Q0 Q1 .. Qn.. = q Q = ε σ

strukturo de konstruteorio Analizo de elemento (ij) Priskribo: en loka kmk ( ξηζ ) Ni elektu komencon de kmk en pezocentro de trancho (i) . Koordinat-akson ξ oni direktu lau akso de elemento. Koordinat-aksojn ηζ direktu lau chefaj inercmomentoj de trancho. Elemento-speco: stango izolita el konstrukcio per du tranchoj (i), (j) kaj sharghita nur al bordoj. Forto-komponantoj: 3 komponantoj de linia forto: Uξ, Uη, Uζ 2 komponantoj de flekso-momento: Uξη, Uξζ (au Mζ, Mη) 1 torno-momento Uηζ (au Mξ) Ekvilibro-ekvacioj Estas necese, ke la fortoj agantaj al chiu elemento estu en ekvilibro. Do, por chiu elemento (ij) oni devas plenumi 6 statikajn ekvaciojn. Rilate al punkto (i) oni formulas: Ụξ - Uξ = 0 Ụη - Uη = 0 Ụζ - Uζ = 0 Ụηζ - Uηζ = 0 Ụξζ + lijUζ - Uξζ = 0 Ụξη - lijUη - Uξη = 0 Rimarko:chi tie, pozitivaj forto-direktoj en (j) kongruas kun kirektoj de loka kmk. Krome, pozitivaj forto-direktoj en (i) kongruas – kiel reakcioj – kun negativaj direktoj de loka kmk.

strukturo de konstruteorio Rigida transloko de bordo Se ia bordo de elemento translokighas, tiam ankau la alia bordo movighas. Tiun rilaton ni povas priskribi kiel translacio pere komponantoj de transloko kaj turnigvektoro agantaj en (i): ụi = (ụξ ụη ụζ ụηζ ụξζ ụξη) Ni supozas, ke la elemento estas rigida , krome translokoj kaj angulaj deformoj estas tiom malgrandaj, ke validas: sinα =α , cosα = 1. Tial o ni povas formuli, en loka kmk, ses geometriajn rilatojn inter translok-komponantoj de ambau bordoj: uξ = ụξ uη = ụη + lij×ụξη uζ = ụζ - lij×ụξζ uηζ = ụηζ uξζ = ụξζ uξη = ụξη (2) au matricforme en loka kmk: uj( ξηζ )= Bij ụi( ξηζ ) kie Bij nomata estas transig-matrico de (ij) Uzante matricon Lij = oni ricevos transig-hipermatricon: 1 1 lij 1 -lij Bij = . . . . . lij . -lij . Bij = 1 Lij . 1

strukturo de konstruteorio Simile, oni povas skribi suprajn ekvilibrig-ekvaciojn (1) por chiu elemento (ij) matricforme: au surprizo: ụξ ụη ụζ ụηζ ụξζ ụξη 1 -lij 1 lij 1 = B*ij Uj Ụi = - B*ij Uj = 0 Ụi Bij B*ij = [1]

strukturo de konstruteorio Elasteco de elemento El bildo 1 oni legas, ke operatoro Ω entenas la fizikajn rilatojn Ωf kiuj estas detale analizitaj en materialscienco. chi tie oni listigis la rilatojn U→u por stangaj elementoj (ij) kun konstantaj ecoj. ( Д - деформйруемость ) kie Дij estas flekseblec-matrico de elemento (ij). Ni povas nomi ghin ankau elastec-matrico char ghi entenas la fizikajn ecojn de elemento. Oni preferu la nocion de elastec-matrico,char ghi esprimas chi tie la plej malaltan shtupon de analizo de elemento. uζ uξη uξ uηζ uη uξζ l/EA l2/2EJζ l3/3EJζ l3/3EJη -l2/2EJη l/GJξ l/EJη l/EJζ . Uζ Uξη Uξ Uηζ Uη Uξζ = j ij j uj = ДijUj

strukturo de konstruteorio Rigideco de elemento Inverso de rilato (5) : permesas prikalkuli la internajn fortojn (au strechoj) de elemento. En ghi la inverso de fleksiblec-matrico (elastecmatrico) estas ankau nomata rigidec-matrico Җ. Detale, por la pritraktata staba elemento estas: ( Җ - җёсткость ) Uj = Дij-1 uj = Җijuj Uj EA/l -6EJζ/l2 12EJζ/l3 12EJη/l3 6EJη/l2 GJξ/l 4EJη/l 4EJζ/l Җij =

Statika kaj kinematika kondichoj strukturo de konstruteorio Statika kaj kinematika kondichoj Statika kondicho Ni supozis, ke eksternaj fortoj Q agas nur en nodoj de konstrukcio (en ghenerala kmk) kaj disvastigighas per la tranchofortoj U de elementoj (priskribitaj en loka kmk). Do, estas necese, por ke chiu elemento-bordo plenumu kune kun sia nodo la statikan ekvilibro-kondichon. Tio signifas, ke por chiu bordo la sumo de internaj kaj eksternaj fortoj ekvilibrighu (estu nulo!). Rimarko statika: dum difinado de statika ekvilibro-ekvacio oni atentu, ke en chiu farita trancho trovighas, pro statika kauzo, paro da kontraue direktitaj fortoj U. Do, al ekvilibro-ekvacio eniras tiu forto U, kiu najbaraa kun eksterna forto Q. Tiu rimarko estas tre grava , por eviti falsajn fortosignojn en ekvacioj. Krome, estas klare, oni devas transppozicii la forton U al ghenerala kmk, en kiu difinita estas forto Q. Kinematika kondicho La elementoj estis nur fiktive eltranchitaj, do en realeco, antau deformo de konstrukcio en neniu trancho ne povas ekesti fendo. La konstrukcio devas konservi sian kontinuecon. Oni povas facile difini tiun kondichon, char ghi havas geometrian econ, kiu estas facile observebla kaj mezurebla. La kontinuec-ekvacioj validos nur por sufiche malgrandaj translokoj de bordoj, kiuj povas esti geometrie sumigitaj. La transloko de rando (uj) estas sumo de rando-transloko (ụi ) kaj agantaj al rando (j) fortoj Uj , krome kinematika shargho tij (ekz. shangho de longeco kauze de temperaturo, malprecizeco de fabrikado ktp.). La rilato inter translokoj de randaj punktoj en loka kmk estas: Same kiel en kazo de ekvilibro-kondichoj oni devas ekspliki la kinematikan kondichon en ghenerala kmk. [uj] = Bij[ụi]+ ДijUj + tij =

strukturo de konstruteorio Statika ekvacio La ekvilibro de fortoj agantaj en kunligitaj kun randoj nodoj esprimas sekvajn ekvaciojn: au matricforme: Kinematika ekvacio Post transformo de ekvacio (8) al ghenerala kmk oni ricevas finfine kinematikan ekvacion por chiu elemnto: au -П*ij Uj + Qj = 0 П*ijB*ij Uj + Qi = 0 -П*ij П*ijB*ij Qj Qi Uj + = 0 - Пij Bij Пij uj ụi + ДijUj + tij = 0 Пijuj = BijПijụi + ДijUj + tij

κ -K S strukturo de konstruteorio Uj [ụi] [uj] Uij uij Bij B*ij tij ụi ξηζ xyz П П* Bij B*ij tij ụi uj (ij) l, A, E, G, J Bij Пij Дij 1 -П*ij П*ijB*ij Elementa stato-ekvacio Post kunligo de ekvacioj (9, 10) oni ricevos hipermatrican ekvacion de chiuj elementoj kaj nodoj, mallonge - la stato-ekvacion de elemento: au ankorau pli kondense: Sumare, la hipermatrica stato-ekvacio: Sijκij + Kij = 0 kompreneble por chiu elemento (ij) difinita estas: S - statomatrico κ - efiko-matrico K - kauzo-matrico κ -K S -1 Г*ij Дij . . -П*ij . . П*ijB*ij - Пij Bij Пij Дij uj ụi Uj Qj Qi tij -1 + -П -1 Гij = 0 Qj Qi Г*ij Гij Дij uij Uj Qij tij + = 0 Ui

aS ªк -ªK aSªк = -ªK strukturo de konstruteorio Ligado de elementoj La izolitajn elementojn ni nun denove kunligu en nodoj kaj kreu komencan formon de konstruajho. Por tio ni faru kelkajn pashojn. Arigo de matricoj Sij je aS Ni intencas kunmeti la matricojn de elementojn al hipermatrico de tuta konstrukcio. Arigo de matricoj Sij oni plenumu je diagonala hipermatrico ªS (aro da elementoj) kaj matricoj к, K je hiperkolumnaj matricoj ªк, ªK lau elemento-numeroj ε : Post tia kunligo, la ekvilibro-ekvacio de tuta elementaro estas: (xyz) aS12 Sij aS21 aS22 aS ªк -ªK Indeksado lau numeroj de elemento-randoj indeksado lau elemento-numeroj ε (ε = 1, 2, ...m; m -nombro da elementoj) 1 m= 5 3 2 -ªK1 -ªK2 ªк2 ªк1 ij 0,1 2,3 4,5 6,7 8,9 10,1112,13 14,15 i,j ε 4 5 6 7 8 (j+1)/2 aS = ªS11 ªS12 ªS21 ªS22 0 ‡ 0 ‹ªS12›ε ++ □ ‹ªS21›ε ‹ªS22›ε ε 1 2 3 . m 1 2 3 4 . . . m 1 2 3 4 . . . . m ‡ ‡u凇 . □□ Uε □□ ‡ ‡ Qε ‡ . □ tε aSªк = -ªK

strukturo de konstruteorio xyz Konsidero de nodoj Supre ni uzadis en stato-ekvacio fortojn kaj parencajn transolojn apartenantaj al elemento-randoj, indeksitaj i,j. Praktike la sharghoj chiam estas priskribataj en nodoj. Lau tiu praktikado ni devas enkonduki aron da eksteraj fortoj Q kaj parencaj traslokoj q apartenantaj al nodoj kaj trovi la transmitanton inter obiektoj de elemento-randoj kaj nodoj. En tiu transmitanto oni povas ankau difini la fizikajn ecojn de nodoj, ekzemple la rigideco de kuplo inter elementoj au kinematikajn kondichojn. Ni atentu, ke post rigida kunmeto de elementoj tranloko de nodo egalas transloko ligitaj elemento-randoj. Ni trovu la menciitan transmitanton por konkreta strukturo: La kontinuo-kondichoj liveras: Simile: Q = P*Qij -1 S P P* Q q -1 κ -K *ij -П -1 ij uj Дij Qj Qi ụi 1 6 5 4 3 2 n = 6 9 8 7 Bij Пij П*ijB*ij -П*ij П П* ξηζ 1 Дij tij [uj] Uj Bij u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 1 q1 q2 q3 q4 q5 B*ij uij = = = Pq [ụi] Ui uij Uij (ij) l, A, E, G, J P kupladmatrico 1 unuecmatrico (6x6)

strukturo de konstruteorio Uj [ụi] [uj] Uij uij ξηζ xyz П П* Bij B*ij tij ụi uj (ij) l, A, E, G, J Bij Пij Дij 1 -П*ij П*ijB*ij Qj Qi κ -K S-1 G* F -П -1 G Ui P P* Q q Post introduko de kuplomatricoj la komponantoj de stato-ekvacioj shaghos iomete kaj oni introdukis latinan simbolojn G,F lau kutimoj de J.Szabo kaj B.Roller [2], por mallongigita geometria matrico kaj hiperdiagonalmatrico de fizikaj rilatoj: Kaj finfine, la hipermatrica stato-ekvacio estas: G = aS12 P = ΓijP G* = P* aS21 = P*Γ*ij F = aS22 = Дij G* G F q Uj Q tij + = 0 S к = -K

strukturo de konstruteorio Uj [ụi] [uj] Uij uij ξηζ xyz П П* Bij B*ij tij ụi uj (ij) l, A, E, G, J Bij Пij Дij 1 -П*ij П*ijB*ij Solvo de stato-ekvacio La stato-ekvacio (10) prezentighas en konstruita kuplografo kiel kvarpolusumo. Nun ekestas pure matematika tasko: inversigi la transmitancon S, t.e. trovi la inversan matricon S-1. Trovi la inverson S-1 oni povas lau konataj reguloj de matrickalkulado. Sed ankau reguloj de inversado de branchoj, lau teorio de traflua grafoj, ebligas inversigi unu post unu brancho - komencante en nodo (-K) - ghis kiam oni alvenos al serchataj nodoj uj , ụi , Uj. La kuplografo de solvita stato-ekvacio karakterizighos per tio, ke chiuj branchoj estas direktitaj el grafa fontoj (chi tie verdaj nodoj Q , tij ) al grafa putoj (chi tie rughaj nodoj uj , ụi , Uj ). Sur kuplografo trovighas chiuj necesaj transmitantoj de problemo-solvo por analizata konstruteorio. Aplikitaj abrevajhoj: La transmitanto S-1 estas nun la anonsita che la komenco serchota operatoro Ω. Tiamaniere oni recivis nekonatajn grandojn U kaj u. chi tie ni ankorau ne diskutis la grandecon de aplikitaj matricoj. Tio estas malfacila tasko kaj estos difinotaj kun chiu konkreta tasko denove. Ui -П Qj Qi κ -K s11 P P* -1 S-1 s22 s21 s12 q Q s11 s12 s21 s22 S-1 = s11 = -(G*F-1G)-1 s12 = (G*F-1G)-1G*F-1 s21 = F-1G(G*F-1G)-1 s22 = F-1 - F-1G(G*F-1G)-1G*F-1

strukturo de konstruteorio Metodo de fleksibleco (kun hiperstatikaj fortoj X) El ekstera vidpunkto, chiu konstrukcio konsistigas el elementoj kaj ligiloj, kiuj ilin kunigas je konstruktaro krome fiksigas konstrukcion en chirkauajho, kaj sharghoj, t.e. fortoj, kiuj agas al konkretaj punktoj de konstruaro. Permesitaj operacioj je ligiloj chiu analizo bazighas je priskribo de elementoj elektitaaj kiel bazaj konstrueroj, kies proprecoj estas konataj. ghusta elekto de elementoj povas esence faciligi la tutan analizon. Pro tio oni devas scii kiaj operacioj je konstruaro estas permesitaj, por ke ne ekestu eraro. Oni povas facile sperti, ke per aldon de plua ligilo en konstrukcio, la konstrukcio plejparte komplikighas, kaj inverse. Kiom da ligiloj estas necese bezonataj, por ke la elementoj estu en daura ekvilibro kaj kontinuo estas chefa tasko de kinematiko. Regulo: la stato de konstrukcio ne shanghas se oni anstauas ghian ligilon per koresponda fortoparo Surbaze de tiu regulo oni elektas la aron de hiperstatikaj fortoj X por donata konstruktaro. Etapo 1 Identifikigu konatajn sharghojn (R) kaj hiperstatikajn fortojn (X), krome la parencajn translokojn (r) kaj (x). Modela kondicho: En punktoj de forigitaj ligiloj kaj enkondukitaj fortoj (X) ne rajtas ekesti diskontinuo x, do en tiuj punktoj sumo de translokoj (xr+xx) ekestontaj kauze de fortoj (X) kaj sharghoj (R) estas nulo. Momenta malfacileco estas, ke oni ne konas la necesaj feleksiblecojn por plenumi la kinematikan ekvacion xr+ xx = 0 au FxX + xr = 0 R X r x F = ? Fx=? xyz translokoj en punktoj de sharghoj punktoj de hiperst. fort.

strukturo de konstruteorio X x xyz Etapo 2 Post divido, pere de elekto (X), de konstrukcio je konataj elementoj oni devas priskribi la fleksiblecon Дij por chiu elemento (ij). Por trabo ni havas Poste oni kunmetu la matricojn Дij je diagonala hipermatrico Дu de elementaro Kupladmatrico T enhavas nur unuojn kaj estas konstruita simple lau skemo: kolumno U T kolumno X elemento: 1 2 3 Post kunligo de transmitantoj: Fx = T*ДuT kinematika kondicho r Дij = l/6EJ 1 1 1 2 Fx = T*ДuT Ux Ui uxx ui Uj uj Дij Дu T T* Дu = Д11 . Д22 Д33 Дmm = U1 U2 U3 U4 U5 U6 ... 0 0 1 0 0 1 .. .. X1 X2 T* = 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 elementaro Nun oni kunligu la aron de elementaj forsoj U kun la elektitaj hiperstatikaj forsoj (X) per kupladmatrico T. Simile oni kupladas per T* matricojn u kaj x .

strukturo de konstruteorio Etapo 3 Simile oni povas trovi la fleksiblec-matricon kunligantan sharghon Q kun translokoj rx en punktoj de fortoj X. chi tie aperas malfacilagho. La fortoj R devas agi en nodaj punktoj U de elementoj. Do ni devas redukti ilin al respekivaj nodoj. Kiamaniere tion fari estas flanka tasko. Momente ni supozu, ke la reduktitaj fortoj estas R. Post difino de transmitanto Tr de eksteraj fortoj oni povas prikalkuli feksiblecon FR kaj relacion rx = FRR = (T*ДuTr)R Nun oni povas detale difini la menciitan kinematikan ekvacion kaj elkalkuli la hiperstatikajn fortojn X. Kie Tr transormas eksternajn fortojn. ghiaj komponantoj estas fortoj en elementoj elvokitaj per unueco de shargho. Дu uxr T* uxx Fx = T*ДuT Tr X xr xx xyz Ux T R FR = T*ДuTr Ur U u

strukturo de konstruteorio uxr uxx X xyz fortoj en elementoj F u elementaro Fx -1 r Tr U Ux T T* Ur 1 Fx -(T*ДuTr) T*r A R -FR Solvo de kinematika ekvacio Post inverso de fleksibilec-matrico Fx oni povas jam prikalkuli la hiperstatikajn fortojn X , krome la internaj fortoj en elementoj. X = -Fx-1rx = -Fx-1(T*ДuTq)R U = TrR + TX au U = TrR + TX1R = (Tr+ TX1)R = AR kie X1 entenas valorojn de hiperstatikaj fortoj konformaj al aplikata shargho kaj matrico A enhavas fortoj elvokitaj per unueco de aplikata forto kun konforma hiperstatika forto. Nun oni povas ankau prikalkuli la translokojn (r) konformaj al fortoj R. r = T ДuBR = FR kie F estas nun la fleksiblec-matrico de konstrukcio.

strukturo de konstruteorio Z R z r xy Metodo de rigideco (kun kromaj rigidiloj) Ni pritraktu la kinematikan flankon de konstrukcio. Oni povas aldoni al konstrukcio kromajn ligilojn ghis kiam nodoj de konstrukcio estu rigidaj je rotacioj kaj transokoj. En realo tiaj kromaj ligiloj ne ekistas, do statike dirite – ekestas kondicho, ke sumo do fortoj en en chiu kroma ligilo estu nulo. Kiom da ligiloj estas necesaj indikas kinematika liberogrado (n) de konstrukcio. Post enkonduko de ligiloj oni pritraktu nun la konstruktaron kiel aro da (m) individuaj elementoj. Por chiu elementu oni difinu rilatojn inter ghiaj randofortoj kaj parencaj translokoj. Helpe de Castigliano-metodo ni ricevas ekzemple: por fiksranda trabo en ebeno por stango au en ghenerala kazo, validas la rigidecrilato (7 ) Do, por chiu elemento validas relacio: Uij = Жij uij Kaj por tuta nekonektita elementaro: U = Жu elementaro ■ UZ uz Ж UR U ur u uij Uij Жij Жij = EJ Жij = EA/l 4/l 2/l -6/l2 2/l 4/l -6/l2 -6/l2 -6/l2 12/l3 M1 M2 T N n t m2 m1 ij i j j

strukturo de konstruteorio Statika kondicho Iu ajna ligilo (i) kontrauas translokon (zi), kio kauzas ekesto de forto (Zi) en tiu ligilo, krome ankau fortojn (Zj) en aliaj ligiloj (j). En realo la ligiloj ne ekzistas, do oni devas ordoni, ke chiu ligilo-forto estu nulo. Tio povas okazi, se la nodo-fortoj Ri (elvokataj de konstrukcio-shargho Q) ekvilibrigos la ligilo-forto, tio signifas, ke por chiu ligilo plenumighu simple statika ekvacio: Zi + Ri = 0 au Zi = - Ri Transformo de rigideco Nun oni kunligu la aron de translokoj ri kun aro da nodaj translokoj ui de elementaro per transformo uz = Tz kie T estas transmitanto de translokoj zi=1. Kolumno (i) de T apartenas al zi=1 kaj la linioj ordigataj estas lauvice de elementoj en rigidecmatrico Ж. Lau principo de kontraugredienco oni ricevas rilaton inter fortoj Z= T*Uu . Finfine ekestas la rigidecmatrico Kz = T*ЖT shargho R sharghoj kiuj agas al konstrukcio devas esti transformotaj al nodofortoj R por eniri ekvacion kun fortoj Z . Tio estas baza tasko kaj povas esti solvota por chiu elemento helpe de variaj mekanikaj metodoj (ekz. Metodo lau Castigliano). elementaro ■ UZ uz Ж UR U ur u Z R z r 1 Kz Kz-1 -1 T T* Ri Zi -1

strukturo de konstruteorio Nodofortoj en elementaro Post inverso de rigidecmatrico Kz oni povas jam lau grafo kalkuli nodofortojn U = UZ + UR de elementaro, kauzitaj de sharghoj R kaj translokoj uz. Kunmetante la grafobranchojn oni ricevas: UZ = -ЖTKz-1R Nodofortoj UR kauzitaj de shargho Q estis jam aparte prikalkulitaj kune kun R. Avantagho el simetrio de konstrukcio Se konstrukcio estas simetria tiam oni povas helpe de konforma transformo de sharghoj esence redukti numeran kalkuladon. Nesimetria shargho Q povas esti anstatauigota per sumo de simetria kaj antisimetria komponantoj konformaj komponantoj de translokoj (sq , aq) Kq = Q saq = [sq, aq] q = [B][ sa q] saQ = [R*][Q] saK = B*KB = sK, 0 0, aK sKsq = sQ aKaq = aQ nekuplitaj submatricoj Q Q/2 Q/2 -Q/2 + saK Q sQ aQ   saq saQ sK aq q aq sq q Q aQ sQ K B* B sq aK q sq

strukturo de konstruteorio Metodo de momento-distribuado (CROSS-metodo) Hardy CROSS (1930) proponas simplan metodon por analizi statike nedeterminitajn konstrukciojn. Li eliras el sekvaj akceptoj: a) pritrakti nur fleksmomentojn b) baza elemento por analizo estu la fikstrabo, c) kiel elirmodelo de reala konstrukcio estu konstrukcio entute fiksita helpe de aldonitaj ligiloj, d) sekve korekti la elirmodelon per distribuo de neekvilibritaj fortoj ekestintaj en chiu aldonita ligilo Priskribo-simboloj aldonita ligilo, fiksanta turnon de nodo i ; nodoturno mi = 0 , turnmomento Mi  0 malfikso de ligilo en nodo i : Validas ekvilibro de momentoj: ekesto de nodoturno mi  0 kauze de neekvilibrita parto Mi = -Mij. Pro statika ekvilibro parto Mi elvokas reakciajn fiksmomentojn Mri en transaj nodoj r, s, k ... Du helptaskoj 1 Prikalkulu fiksmomentojn Mij, Mji lau eksteraj sharghoj Q 2 Prikalkulu distribuitajn fiksmomentojn Mri elvokitaj de Mi bazaj elementoj i j Mij Mji i j Mij 1 reala konstrukcio r i k s Mi elirmodelo Mri Mi 2 r i k rij = 4EJ/lij Mki ri = rij pij = rij/ri Msi s Mi pir/2 pik/2 Mri Mki pis/2 Msi

strukturo de konstruteorio CROSS-Metodo Kuplografo de momento-distribuadoj 1 1 3a akcepto s Ms kontinuu distribuadojn distribuadoj s-distribuo ne ? Mij<  jes fino 1 1 2a akcepto r Mr j Mj denove r-distribuo r-distribuo r elirmodelo 1a akcepto i j Mij Mji bazo Aro da traboj ij / fiksmomentoj Mij elvokitaj per eksteraj fortoj Q

strukturo de konstruteorio Dinamika ekvacio Se la ekstera forto Q(t) ekagos al konstrukcio rapide au mem estas funkcio de tempo, tiam ankau translokoj q(t) de konstrukciaj masopunktoj estas funcioj de tempo. Oni povas prikalkuli same rapidon kaj akcelon de masopunktoj. Plue, surbaze de Njuten-legho oni ricevos dinamikan ekvacion. La kuplografo de mekanikaj rilatoj (vidu ) posedas jam chiujn necesajn parametrojn por ekspliki la bazajn dinamikajn diferencialajn ekvaciojn: Oscilado libera Mq‘‘ = 0 Oscilado devigita Mq‘‘ + Q(t) = 0 Oscilado dampita Mq‘‘ + Cq‘ = 0 Oscilado dampit-devigita Mq‘‘ + Cq‘ +Q(t) = 0 xyz q K 0 / Q(t) statiko dinamiko ‚ q‘ q(t) ,, ‚ C M q‘‘ ‚ diferenco lau tempo t M - matrico de masopunktoj C - matrico de dampado K - matrico de rigideco