Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, nastavak 7. 5. Uzdužna sila

7. TORZIJA (UVRTANJE) Odgovarajuća jednadžba ravnoteže: Mt1 Mt2 Mt3 (Moment torzije djeluje u ravnini okomitoj na uzdužnu os štapa) Predznak: n +Mt (Moment torzije je + ako mu se vektor vrtnje poklapa sa smjerom vanjske normale – pravilo desnog palca) Otpornost materijala I 7. Torzija 5. Uzdužna sila

Dijagram momenata torzije crtamo po istom načelu kao i dijagram poprečnih sila: Mt1 Mt2 Mt3 Mt + Mt3 Mt1 - Mt2 Otpornost materijala I 7. Torzija

Moment torzije djeluje i na osovinu Moment torzije djeluje i na osovinu. Ako znamo snagu N i broj okretaja osovine po minuti n, uz oznake prema crtežu: F φ uz napomenu da moment torzije vrši rad na putu zaokreta, možemo pisati: r Mt F Otpornost materijala I 7. Torzija

7.1 – Analiza naprezanja i deformacija pri torziji štapa kružnog poprečnog presjeka opterećenog momentom torzije Pretpostavke: Štap je u pravcu, kružnog poprečnog presjeka; Štap je napravljen od Hooke-ovog homogenog, izotropnog materijala; Deformacije štapa su male → uzdužna vlakanca ne djeluju jedna na druge; Presjeci štapa ostaju ravni (vrijedi Navier-ova pretpostavka o ravnim presjecima). φ Mt P Otpornost materijala I 7. Torzija

Mt x φ φ’+dφ φ’ x dx L Otpornost materijala I 7. Torzija

Možemo kazati da je moment torzije u promatranom presjeku rezultat djelovanja tangencijalnih naprezanja. Pošto ne znamo njihovu raspodjelu, naš je slijedeći zadatak odrediti raspodjelu tangencijalnih naprezanja u poprečnom presjeku uslijed djelovanja momenta torzije. τ = 0 = 0 Zaključak: Postoji samo komponenta naprezanja koja je okomita na radijus vektor u promatranoj točki. Otpornost materijala I 7. Torzija

1) Statička jednadžba: τ dA ρ T C Pošto ne znamo zakon raspodjele posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka, trebamo problem promatrati s geometrijskog gledišta. A Otpornost materijala I 7. Torzija

Na promatranom štapu postaviti ćemo dva nezavisna, međusobno okomita, sustava linija: (1) sustav međusobno paralelnih izvodnica, i (2) sustav paralelnih kontura poprečnog presjeka (Slika 13.6, str. 250). Poprečni presjeci ostaju ravni i zaokrenuti; razmak između njih se nije promijenio jer u smjeru osi štapa nema nikakvih naprezanja. Izvodnice ostaju pravci ali imaju karakter zavojnice. Vidimo da se promatrani diferencijalni element nalazi u stanju čistog posmika. Otpornost materijala I 7. Torzija

Θ – kut zaokreta na jedinicu dužine štapa – jedinični kut zaokreta r Izvucimo promatrani diferencijalni dio štapa i pogledajmo što se na njemu događa: Promatrani presjek se zaokrenuo za kut dφ a element na plaštu se nalazi u stanju čistog posmika. dx dφ Mt a’ a b c d b’ τ β Θ – kut zaokreta na jedinicu dužine štapa – jedinični kut zaokreta r Mt Otpornost materijala I 7. Torzija

za čisti posmik je: - Hooke-ov zakon za posmik Dobili smo odnos između posmične deformacije i torzije, te dalje možemo srediti: za čisti posmik je: - Hooke-ov zakon za posmik što uvrstimo u prethodni izraz te dobivamo: Dobili smo izraz za naprezanja na plaštu. Negdje unutar štapa na udaljenosti ρ (pri čemu je 0 ≤ ρ ≤ r ) imamo naprezanja: Prema tome, možemo zaključiti da je raspodjela posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka nekog okruglog štapa uslijed djelovanja momenta torzije linearna. Otpornost materijala I 7. Torzija

polarni moment tromosti Raspodjela posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka nekog okruglog štapa uslijed djelovanja momenta torzije Uvrstimo li izraz: u statičku jednadžbu: T τ dobivamo: ρ pri čemu je: polarni moment tromosti Otpornost materijala I 7. Torzija

odakle slijedi da je jedinični kut zaokreta: Sada možemo napisati: odakle slijedi da je jedinični kut zaokreta: Ako umjesto Θ, uvrstimo: dobivamo izraz za promjenu kuta zaokreta uslijed momenta torzije: pri čemu je torzijska krutost. Otpornost materijala I 7. Torzija

odakle slijedi, pošto je: , izraz za kut zaokreta: Ako tražimo kut zaokreta između dva presjeka koja se nalaze na udaljenosti L, imamo: odakle slijedi, pošto je: , izraz za kut zaokreta: drugi oblik Hooke-ovog zakona za torziju (Napomena: kut zaokreta φ je deformacija kod torzije) Ako imamo štap sastavljen iz više odnosno n dijelova: Otpornost materijala I 7. Torzija

dobivamo izraz za posmična naprezanja: Iz izraza: i dobivamo izraz za posmična naprezanja: te tako možemo izračunati naprezanja u bilo kojoj točki presjeka, pri čemu je najveće posmično naprezanje jednako: odnosno: gdje je Wp – polarni moment otpora [m3] pri čemu je Wp definiran kao: Ip [m4] i Wp [m3] su geometrijske karakteristike presjeka. Otpornost materijala I 7. Torzija

Kod torzije moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti: 1) Kontrola naprezanja Dimenzioniranje (određivanje potrebnog momenta otpora) Nosivost (određivanje mom. torzije kojeg štap može preuzeti) 2) Kontrola krutosti Otpornost materijala I 7. Torzija

7.2 – Računanje momenata tromosti Prethodno smo definirali: Puni krug dA=2·π·ρ·dρ T dρ τ ρ Wp je po definiciji: d=2r Puni presjeci su neracionalni, te se prelazi na šuplje presjeke. Otpornost materijala I 7. Torzija

τ Šuplji presjek dA=2·π·ρ·dρ dρ ρ T ru rv Wp je po definiciji: Otpornost materijala I 7. Torzija

Izveli smo izraz za kut zaokreta: Primjer 1: Traži se: φA=? Ip1 Ip2 Mt Izveli smo izraz za kut zaokreta: A B L1 L2 Mt - Mt Otpornost materijala I 7. Torzija

Moment torzije na ležaju ćemo odrediti iz uvjeta: B A a b L=a+b Primjer 2: Zadano: Mt1>Mt2 Ip MtA Mt1 Mt2 Traži se: τmax=? Moment torzije na ležaju ćemo odrediti iz uvjeta: B A a b L=a+b MtA=Mt1-Mt2 MtA + Ma - Mb Mt2 Mt1 Kut zaokreta: ili: Otpornost materijala I 7. Torzija

7.3 – Potencijalna energija pri torziji Nas zanima situacija u elastičnom području. Mt φ A Mt rad vanjskih sila (u elastičnom području, pot. energija je jednaka radu vanjskih sila) Potencijalna energija Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od Mt ili φ. To je površina ispod Mt - φ dijagrama. Otpornost materijala I 7. Torzija

7.4 – Statički neodređeni slučajevi pri torziji Promatrati ćemo sastavljeni okrugli štap ukliješten na oba kraja. A B G1, Ip1 Kao ležajne reakcije mogu se pojaviti samo momenti torzije, MtA i MtB, dok su sve ostale reaktivne sile jednake nuli. Mt G2, Ip2 MtB 1) Statička jednadžba: MtA L1 L2 2 – 1 = 1x Vidimo da je postavljeni zadatak 1x statički neodređen te da treba postaviti još jedan uvjet deformacija – imamo više mogućnosti. Otpornost materijala I 7. Torzija

2) Geometrijska analiza: Ovaj sustav mora biti ekvivalentan zadanome, što znači da je uvjet deformacija: B A G1, Ip1 Mt G2, Ip2 φB=0 MtB L1 L2 3) Fizikalna jednadžba: 4) Rješenje: Otpornost materijala I 7. Torzija

Na kraju nacrtamo dijagram momenata torzije: L1 L2 B Mt MtA MtB A Mt + MtB Mt MtA - Otpornost materijala I 7. Torzija

Ovo smo mogli odrediti i na drugi način (slično, ali sve obrnuto bi bilo da smo oslobodili lijevu upetost): Mt MtA MtB 1) Statička jednadžba: 2 – 1 = 1x MtA 2) Geometrijska jedn.: φL=φD 3) Fizikalne jedn.: MtB Otpornost materijala I 7. Torzija

7.5 – Torzija štapova neokruglog popr. presjeka Pod djelovanjem momenta torzije kod štapa neokruglog poprečnog presjeka doći će do vitoperenja poprečnog presjeka (dogoditi će se da će neke točke izaći izvan ravnine poprečnog presjeka). Ako je poprečni presjek konstantan duž uzdužne osi i ako je djelovanje momenta torzije konstantno duž štapa, tada funkcija naprezanja neće biti funkcija od z već samo od x i y: Φ=Φ(x,y) Otpornost materijala I 7. Torzija

te uz rubni uvjet na čeonim presjecima: Polazeći od diferencijalnih jednadžbi ravnoteže, jednadžbi kompatibilnosti (neprekinutosti), fizikalnih jednadžbi i uzimajući funkciju naprezanja definiranu kao Φ=Φ(x,y), dolazimo do Poisson-ove diferencijalne jednadžbe torzije: odnosno uz rubni uvjet na plaštu (duž plašta funkcija naprezanja je konstantna, a za tu konstantu uzimamo da je =0): te uz rubni uvjet na čeonim presjecima: Otpornost materijala I 7. Torzija

pri čemu je ukupno posmično naprezanje definirano prema: Pri tome uzimamo da su posmična naprezanja definirana na slijedeći način: pri čemu je ukupno posmično naprezanje definirano prema: T x y σzy σzx A(x,y) Veza između komponenti posmičnih naprezanja i funkcije naprezanja Φ dana je izrazima: Ukoliko ovo možemo izvesti od početka do kraja, kažemo da imamo rješenje u zatvorenom obliku. To je do sada dobiveno samo za poprečne presjeke oblika: kvadrat, pravokutnik, trokut i elipsa. Otpornost materijala I 7. Torzija

Metoda analogije ili sličnosti Za sve ostale oblike poprečnog presjeka posmična naprezanja pri torziji određujemo: (a) numeričkim postupcima preko približnog izračunavanja (metoda diferencija, metoda konačnih elemenata, itd.), ili (b) pomoću neke analogije. Metoda analogije ili sličnosti Problem kojeg želimo riješiti, ali mu ne znamo rješenje. Sličan problem kojemu znamo rješenje. Rješenje Rješenje Otpornost materijala I 7. Torzija

Primjer: Ravni štap kvadratnog poprečnog presjeka Nedeformiran štap s dva sustava linija (Slika 13.23, str. 268): Deformiran štap (Slika 13.24, str. 269): Uglovi se nisu deformirali, prema tome, tamo su naprezanja jednaka nuli. Najveće deformacije, a time i najveća naprezanja su u sredinama stranica. Otpornost materijala I 7. Torzija

τ2 < τ1 , te slijedi: τ1 = τmax τ2 Promatrajmo sada dijagrame posmičnih naprezanja za pravokutni poprečni presjek: τ2 < τ1 , te slijedi: τ1 = τmax τ2 Za odnos b<h riješena je ova zadaća, a rezultati su prikazani tabelarno: 2 h b h/b k1 k2 1 ∞ 1/3 1/3 1 1 τ1 2 Otpornost materijala I 7. Torzija

Riješimo naš zadani pravokutni poprečni presjek: Neka je u našem slučaju odnos h/b≥10. Iz tablice očitamo da je k1=1/3 i k2=1/3. h b Rješenje je: Otpornost materijala I 7. Torzija

7.6 – Membranska (Prandtl-ova) analogija kod problema torzije Nad nekim otvorom (oblika promatranog poprečnog presjeka) napnimo tanku opnu – membranu: F p F Imamo jednadžbu membranskog stanja naprezanja: x y z Ako uzmemo da je membrana homogena, σxx=σyy=σ, dobivamo: x pri čemu je t·σ = F – sila na jedinici dužine membrane odnosno sila s kojom smo nategnuli membranu. y jednadžba homogene membrane Otpornost materijala I 7. Torzija

Postavimo izraz za zakrivljenost: x y z p F (w) ~0 Uz pretpostavku o malim progibima, dobivamo približne izraze za zakrivljenost: Pošto u ravninama xz i yz prve derivacije od w padaju jer opada vrijednost tangente možemo pisati: Otpornost materijala I 7. Torzija

parcijalna nehomogena dif. jednadžba membrane Ako dobivene izraze za zakrivljenost uvrstimo u jednadžbu homogene membrane, dobivamo: parcijalna nehomogena dif. jednadžba membrane uz uvjet na rubu: w=0 (progib membrane na rubu). Vidimo sličnost gornje jednadžbe s Poisson-ovom jednadžbom torzije: Ako pritisak p i silu zatezanja F odaberemo tako da je možemo zaključiti da je: Zaključak: Iz sličnosti problema torzije i napete membrane, dobili smo postupak za rješavanje problema torzije. Otpornost materijala I 7. Torzija

Postupak rješavanja problema torzije štapova neokruglih poprečnih presjeka: U nekom mediju se napravi otvor u obliku zadanog neokruglog poprečnog presjeka i nad njim se napne tanka membrana koja se optereti pritiskom p. Nakon što se membrana deformira / progne, promatraju se njene nivo linije i njihove strmine, nakon čega možemo izvući određene zaključke: 1) Smjer tangencijalnog naprezanja u nekoj točki poprečnog presjeka je određen s tangentom na nivo liniju membrane → nivo linija plohe Φ nam predstavljaju linije naprezanja; 2) Veličina tangencijalnog naprezanja u nekoj točki poprečnog presjeka je jednaka gradijentu funkcije naprezanja Φ odnosno najvećem nagibu u promatranoj točki Otpornost materijala I 7. Torzija

iz čega dalje slijedi odnos 3) Ako je onda je moment torzije jednak dvostrukom volumenu između ravnine poprečnog presjeka i napete membrane iz čega dalje slijedi odnos Iz svega ovoga možemo napisati izraz za posmična naprezanja: Nekoliko praktičnih napomena: 1) Tangencijalna naprezanja u vrhovima mnogokuta su jednaka nuli. 2) Tangencijalna naprezanja su veća gdje su nivo linije gušće. Otpornost materijala I 7. Torzija

Primjer 1: Uzmimo jednu bešavnu cijev i jednu prerezanu cijev duž cijele svoje dužine. Zanima nas koja cijev može preuzeti veći moment torzije. (Rješenje treba naći membranskom analogijom) Bešavna cijev Prerezana cijev Zaključak: Kako je Mt=2V a iz crteža se vidi da je Vbc > Vpc, to je Mtbc > Mtpc. Otpornost materijala I 7. Torzija

Primjer 2: Promatrajmo pravokutnik s odnosom stranica h/b≥10 Primjer 2: Promatrajmo pravokutnik s odnosom stranica h/b≥10. (vidi zadatak na 32 str.) (Rješenje treba naći membranskom analogijom) Izrežimo otvor oblika pravokutnika, napnimo i opteretimo membranu, te nacrtajmo linije jednakih progiba. h b τmax δ b/4 b Nagib tangente je: Volumen je: Otpornost materijala I 7. Torzija

Posmično naprezanje: Nagib tangente: Volumen: Konačno rješenje je: Otpornost materijala I 7. Torzija

(Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 13.8, str. 295-299) 7.7 – Spiralna opruga (Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 13.8, str. 295-299) Otpornost materijala I 7. Torzija

Nastavak slijedi u idućem file-u. Otpornost materijala I 7. Torzija